电磁场数学方法作业题数学物理方法作业题

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第一章分开变量法

1、求解定解问题：

utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（P-223）?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为x0的一点以力F0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提醒：定解问题为

utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?F0l?x0x,(0?x?x0),??Tlu(x,0)???F0x0(l?x),(x?x?l),0??Tlut|t?0?0.](P-227)

3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。[定解问题为

k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tC???](P-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题

??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0.??3?x?u?u?Asin,?0.?t?0l?tt?0?

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4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提醒：定解问题为

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](P-236)?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力F0而伸长，求解杆在放手后的振动。[提醒：定解问题为

?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??](P-238)x?uxF?0?u(x,0)??0dx??0dx,?xYS?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然中止，求解杆的振动。[提醒：定解问题为

?vtt?a2x?0,(0?x?l),??v(0,t)?0,(l,t)|x?l?0,](P-242)?v(x,0)?v0,??vt(x,0)|t?0?0.?7、求解细杆导热问题，杆长l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度为u1和u2。[提醒：定解问题为

?ut?a2uxx?0,??u|x?0?u1,u|x?l?u2,](P-251)?u|t?0?u0.?8、在矩形区域0?x?a,0?y?b上求解拉氏方程?u?0，使满足边界条件

u|x?0?Ay(b?y),u|x?a?0.u|y?0?Bsin?xa,u|y?b?0.(P-265)

9、均匀的薄板占据区域0?x?a,0?y??，边界上温度u|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?u0，

limu?0。[提醒：泛定方程为：uxx?uyy?0.](P-269)

y??10、矩形膜，边长l1和l2，边缘固定，求它的本征振动模式。[提醒：定解问题为

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utt?a2(uxx?uyy)?0,(0?x?l1,0?y?l2),u|x?0?0,u|x?l1?0,u|y?0?0,u|x?l2?0.11、细圆环，半径为R，初始温度分布已知为f(?)，?是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。求解环内温度变化状况。[提醒：其定解问题为

](P-271)

?ut?a2u???0,0???2?,?ut?f(?),](P-274)??u(??2?)?u(?).?12、在圆形域内求解?u?0使满足边界条件

(1)u|??a?Acos?,(2)u|??a?A?Bsin?。[提醒：泛定方程为u???1u???0???a?u?0,??.](P-275)2????0???2??1?13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持u0，求稳定状态下的板上温度分布。[提醒：定解问题为

11?u?u???????2u???0,(0???R,0????),??u|??0?0,](P-276)??u|????0,(0???R),?u|??R?u0,0????).??14、在以原点为心，以R1和R2为半径的两个同心圆所围城的环域上求解?u?0，使满足边界条件u|??R1?f1(?),u|??R2?f1(?)。[提醒：泛定方程为

2u???1?u???R1???R2?u?0,??.](P-282)2??0???2????115、两端固定的弦在线密度为?f(x,t)???(x)sin?t的横向力作用下振动，求解其振动状况，研究共振的可能性，并求共振时的解。[提醒：定解问题为

?utt?a2uxx??(x)sin?t,??u|x?0?0,u|x?l?0,](P-292)?u|?0,u|?0.t?0tt?0?16、两端固定弦在点x0受谐变力?f(x,t)??f0sin?t作用而振动，求解振动状况。[提醒：外加力的线密度课表为?f(x,t)??f0sin?t?(x?x0)，所以定解问题为

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?utt?a2uxx?f0sin?t?(x?x0),?u|x?0?0,u|x?l?0,](P-297)??u|t?0?0,ut|t?0?0.?bb217、在矩形域0?x?a,??y?上求解?u??2且u在边界上的值为零。(P-303)

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其次章球函数

??1、在本来是匀强的静电场E0中放置导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强

静电场。[提醒：定解问题为

?2u?0,（1）

?u|r????E0z??E0rcos?,(设导体放入前，u|r?0=0),（2）和（3）](P-369)?u|r?a?C.?2、在点电荷4??0q的电场中放置导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距d(d?a)，求解这个静电场。[提醒：定解问题为

??2v?0,?q??u??v,](P-370)D??v|?0,?r?a??v|r???0.3、求解

??2u?0,(r?a),(P-372)?2u|?cos?.?r?04、在球坐标系中利用分开变量法求以下定解问题。

??2u?0(0?r?a)??1??2?ur?a?4sin??cos?sin???（08~09）

2????u有限?r?0

5、用一层不导电的物质把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为v1和v2，试解电场中的电势分布。[提醒：定解问题为

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??????2ui?0,(r?a),?ui|r?0有限，(自然边界条件)(P-373)?????v,(0???)或(0?x?1),1??2?u|?.?ir?a???v,(????)或(?1?x?0)?2??2?6、半球的球面保持一定温度u0，半球底面（1）保持0C，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。[提醒：定解问题为

??2?u?0,(r?a),???u|r?0有限，u|r?a?u0,](P-375)?u|??0.????2第三章柱函数

1、半径为R的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面u|t?0?(1??2/R2)H，初速为零，求解膜的振动状况。[提醒：定解问题为

1?2u?a(u?u)?0,???tt?????u|??0有限，u|??R?0,](P-399)?2??u|t?0?H(1?2),ut|t?0?0.?R?12、利用递推公式证明J2(x)?J0??(x)?J0?(x)并计算?x4J1(x)dx

x3、半径为R的圆形膜，在?0,?0受到冲量K作用，求解其后的振动。[提醒：定解问题为

utt?a2?2u?0,（1）

（膜边缘固定），??u|??R?0,（2）?u|有限，???0?（初位移为零），?u|t?0?0,?（3）](P-401)k?u|=?(?-?)??(?-?)。00?tt?0p??04、半径为R的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。[提醒：定解问题为

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?utt?a2?2u?0,(0????,0???R),?u|??0有限，u|??R?0,](P-403)??u|??0?u|????0.?5、半径为R而高为H的圆柱体下底和侧面保持零度，上底温度分布为f(?)??2，求柱体内各点的稳恒温度。[提醒：定解问题为

??2u?0,?2?u|Z?0?0,u|Z?H??,](P-404)?u|有限，u|?0.??R???06、圆柱体半径为R，高为H，上底有均匀分布的强度为q0的热流流入，下底有同样热流流出，柱侧保持为0C，求柱内的稳恒温度。[提醒：定解问题为

?????u|???zZ?0???u|???zZ?H???2u?0,q(热流方向与z轴反向)，R](P-409)

q0(热流方向与z轴同向)，Ru|??R?0.7、确定球形铀块的临界半径。[提醒：铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸，其定解问题为

?ut?a2?2u??u,](P-422)?u|?0.?r?R8、均质球，半径为r0，初始温度分布为f(r)，把球面温度保持为零度而使它冷却，求解球内各处温度变化状况。[提醒：定解问题为

?ut?a2?2u?0,??u|r?r0?0,](P-424)??u|t?0?f(r).9、半径为r0的球面径向速度分布为???0中辐射出去的声场中的速度势，设r0?由因子

1(3cos2??1)?cos?t，试求解这个球在空气4?(波长)。此题径向速度对空间中的方向的依靠性

1(3cos2??1)即P2(cos?)描写，因而是轴对称四级声源。[提醒：三