电磁场与电磁波习题及答案

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1麦克斯韦方程组的微分形式

是：.??H?J??D?t,??E???B?t,?B?0,?D??

2静电场的基本方程积分形式为：

?CEdl?0?SDds??

3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：

?en?D??3.?S??en?B?0?en?E?0??en?H?JS4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：4.D??E,B??H,J??E5电流连续性方程的微分形式为：

J????5.

??t

6电位满足的泊松方程为

?2?????；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界。

??1?1???2

1?n????22?n7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理

论依据是:唯一性定理。

8.电场强度E?的单位是V/m，电位移D?的单位是C/m2。9．静电场的两个基本方程的微分形式为??E?0?D??；

10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用

1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A，并令

B???A的依据是（?B?0）

2.“某处的电位??0，则该处的电场强度E??0〞

的说法是（错误的）。

3.自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a,线间距为D，则传输线单位长度的电容为（C??01?）。

lnD(?aa)

4.点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2）。

5.N个导体组成的系统的能量NW?12?qi?i，其中?ii?1是（除i个导体外的其他导体）产生的电位。6.为了描述电荷分布在空间滚动的状态，定义体积电流密度J，其国际单位为（a/m2）

7.应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。

8.假使某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零）。

8.真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2）。

10.半径为a的球形电荷分布产生的电场的能量储存于（整个空间）。

三、海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位幅与导幅比值？

三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：

E?exEmcos?t

则位移电流密度为：JDd???t??ex??0?rEmsin?t其振幅值为：Jdm???0?rEm?4.5?10?3Em传导电流的振幅值为：Jcm??Em?4Em因此：Jdm?3J?1.12?510cm四、自由空间中，有一半径为a、带电荷量q的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分）

四、解：由高斯定理

?SDdS?q得D?q4?r2D?erD?eqr4?r2空间的电场分布E?D??eqr

04??0r2导体球的电位

U???Edl???aaEdr???qaer4??2dr?q0r4??0a

导体球的电容C?qU?4??0a

1

2

五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a处，其间在x=x0处有一面密度为?C/m2的均匀电荷分布，如下图。求两导体板间的电场和电位。（20分）d?1解：?02dx21．旋度矢量的恒等与零梯度矢量的恒等与零。2．在静电场中，导体表面的电荷密度?与导体外的电位函数?满足的关系式。3．极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关系式为。

4．若密绕的线圈匝数为N，则产生的磁通为单匝时的倍，其自感为单匝的倍。

5．假使将导波装置的两端短路，使电磁波在两端来回反

d2?2?0?x?x0?;2?0dx?x0?x?a?

得：

?1?x??C1x?D1?0?x?x0?;

?2?x??C2x?D2?xx??a0??1?x?和?2?x?满足得边界条件为?1?0??0,?2?a??0;?1?x0???2?x0?,射以产生振荡的装置称为。

???2?x???1?x??????6．电介质的极性分子在无外电场作用下，所有正、负电??x?x0?x?x?0??荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶

极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。在外电场作用下，极性分子的电矩发生________________，使电偶极矩的矢量和不再为零，而产生__________。

7．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的_______条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的

解得C1???x0??x0?a??x,D1?0,C2??0,D2??0?0a?0a??a?x0?x?0a所以?1?x???0≤x≤x0?,?2?x???x0?a?x??0aE1????1?x???ex?x0≤x≤a?

d?1?x???a?x0???exdx?0a?0?x?x0?解是__________。

8．谐振腔品质因素Q定义为_______________。

E2????2?x???exd?2?x??x?ex0dx?0a?x0?x?a?

9．在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随改变的现象，称为色散效应。

10．在求解静电场的边值问题时，往往在所研究的区域之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，这种求解方法称为法。

11．若电介质的分界面上没有自由电荷，则电场和电位移应满足的边界条件分别为，。12．电磁波的恒定相位点推进的速度，称为，而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为。13在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式，它们分别是波、波和波判断题

1．应用分开变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必需是均匀、线性的。（）

2．一个点电荷Q放在球形高斯面中心处。假使此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。（）

2

六、有一平行金属板电容器，极板面积为l×b，板间

距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如下图。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。

六、解：平行板电容器的电容为：

(l?x)bbxC??0??所以电容器内的电场能量为：

dd2bU012We?CU0?[?0(l?x)??x]22d

?We?不变可求得介质片受到的静电由Fi??gi力为：Fx?

?We?xU0不变?b(???0)U

2d203

3．在线性磁介质中，由

L??I的关系可知，电感系数不

仅与导线的几何尺寸、材料特性有关，还与通过线圈的电流有关。（）

4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数?与透射系数?之间的关系为1+?=?。（）

5．损耗媒质中的平面波，其电场强度和磁场强度在空间上相互垂直、时间上同相位。（）

6.均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。（）7位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。（）8．在时变电磁场中，只有传导电流与位移电流之和才是连续的。（）

9．若有两个带电导体球的直径，与球间距离差不多，它们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形成的两个点电荷之间的静电力。（）

第三套1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导

磁率为?，则磁感应强度B?和磁场H?满足的方程为：。

2．设线性各向同性的均匀媒质中，?2??0称为方程。

???3．时变电磁场中，数学表达式S?E?H称为。

4．在理想导体的表面，的切向分量

等于零。?r?5．矢量场A()穿过闭合曲面S的通量的表达式为：

。

6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。

7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。

8．假使两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。

9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。

11．已知麦克斯韦其次方程为??E????B??t，试说明其物理

意义，并写出方程的积分形式

11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。

?其积分形式为：?E??d?l???B?dS?

C?S?t12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。群速vg与相速vp的关系式为：v?vpg

1??dvpvpd?14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？

14．答：位移电流：J??D?d??t位移电流产生磁效应代

表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

三、计算题（每题10分，共30分）15．按要求完成以下题目（

1）判断矢量函数B???y2e?x?xze?y是否是某区域的磁通量密度？（2）假使是，求相应的电流分布。解：（1）根据散度的表达式??B???Bx?By?Bz将矢?x??y??z量函数B?代入，显然有??B??0故：该矢量函数为某

区域的磁通量密度。（2）电流分布为：

J??1????B（2分）0

e?xe?ye?z

?????x?y?z（2分）?y2xz0?1???xe?x??2y?z?e?z?（1分）016．矢量

A??2?ex?e?y?3e?z，

3

B??5e??e?????B?x?3e?yz，求（1）A?B（2）A解：1?A??B??7e?x?2e?y?4e?z2A?B??10?3?3?10

17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式

为E???e??jkzx3E0?e?y4E0?e1.试写出其时间表达式；2.说明电磁波的传播方向；

解：（1）该电场的时间表达式为：E??z,t??Re?E?ej?t?

E??z,t???e?x3E0?e?y4E0?cos??t?kz?由于相位因子为e?jkz，其等相位面在xoy平面，传播

方向为z轴方向。

18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量

解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导

体表面，由高斯定理可知在球内四处有：?D??dS??0S故球内任意一点的电位移矢量均为零，即E??0r?a由于电荷均匀分布在r?a的导体球面上，故在r?a的球面上的电位移矢量的大小四处相等，方向为径向，

即D??D0?er，由高斯定理有?D??dS??Q即

S4?r2D?0?Q整理可得：D?DQ0e?r?4?r2?err?a

19．设无限长直导线与矩形回路共面，（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（画×）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即

为?ey方向。在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出：?B??d?l????I0I即：B?e?0yc2?x通过矩形回路中的磁通量

d?ba/2????B??dS???x??dz????0I?0Sa/22?xdxdz?Ia2?lndd?b20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数满足拉普拉斯方程设：电位函数为??x,y?，满足方程：

2??2x,y?????2???

?x2?y2?0（2）利用分开变量法：

4

d2f??x,y??f?x?g?y?dx2?k2xf?0d2g根据边界条件

dy2?k2yg?0k22x?ky?0?x?0??x?a??y????0，??x,y?的通解可写为：

???x,y???A?n???n?ynsin?x?an?1?a?e

??再由边界条件：

y?0??Ansin??n??ax??n?1??U0

求得A2UnA0n?n??1?cosnπ?

槽内的电位分布为

??x,y????2U?n??0?nn?1?consπ?sin?x??ayn?1??a?e1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为

?，则电位移矢量D?和电场E?满足的方程为：。

2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为?，媒质的介电常数为?，电荷体密度为?V，电位所满足的方为。

3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为。

4．在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。5．表达式

?A??r???dS??S称为矢量场A(?r)穿过闭合曲面S的。

6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。

7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。

8．假使两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。

9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。

简述题（每题5分，共20分）

答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S穿出去的通量

4

5

等于由S外流入S内的通量。?B?其数学表达式为：

?dS??0

S12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空

间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电

场。方程的微分形式：??E????B??t

14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

15．矢量函数A???yx2e?x?yze?z，试求（1）??A?（2）??A?

?解：1、??A??Ax?Ay??x?Az?y??z（3分）??2xy?y（2分）e?xe?ye?z2、??A??????x?y?z(3分）

?yx20yz?e?xz?e?zx2（2分）16．矢量A??2e??x?2e?z，B?e?x?e?y，求（1）A??B?（2）求出两矢量的夹角

??解：1

A?B?2e?x?2e?z??e?x?e?y?(3分）?e?x?e?y?2e?（2分）z2根据A??B??ABcos?

A??B???2e?x?2e?z???e?x?e?y??2cos??21所以

??60?222?2

17．方程给出一球族

解：（1）?u?e??u?u?ux?x?e?y?y?e?z?z（3分）?e?x2x?e?y2y?e?z2z（2分）（2）n???u?u所n??e?x2?e?y4e?x?e?y24?16?5

18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r?（1）求出

电力线方程；（2）画出电力线。

1E??q4???q?erqr?0r24??3?0r4??3?e?xx?e?yy?e?zz?由力线0r方程得x?y?z对上式积分得

dxdydzy?C1xz?C式中，C1,C2为任意常数。

2y-2

（2）电力线图18-2所示。

19?．设点电荷位于q金属直角劈上方，如图1所示，求画出镜像电荷所在的位置直角劈任意