积分变换习题解答1

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1．求矩形脉冲函数f(t)??解：

?j?t?j?tA1?e????eF(?)?F?f(t)???f(t)e?j?tdt??Ae?j?tdt?A?????0j???j??0?A,0?t???的Fourier变换.

??0,其他????2.设F???是函数f?t?的Fourier变换，证明F???与f?t?有一致的奇偶性.

证明：F???与f?t?是一个Fourier变换对，即F???????1??f?t?e?j?tdt，f?t??F???ej?td????2π??假使F???为奇函数，即F??????F???，则

f??t??1??1??j???t?j????tF?ed???F??ed???????2π???2π???1??（令???u）??F?u?ejutdu

2π??（换积分变量u为?）??所以f?t?亦为奇函数.

1??j?tF?ed???f?t????2π??假使f?t?为奇函数，即f??t???f?t?，则

F???????????j??t?j??tf?t?e??dt???f??t?e??dt??????（令?t?u）??f?u?e?j?udu

??（换积分变量u为t）?????f?t?e?j?tdt??F?????所以F???亦为奇函数.

同理可证f?t?与F???同为偶函数.

4．求函数f?t??e?t?t?0?的Fourier正弦变换，并推证

???0?sin??π??d??e???0?1??22解：由Fourier正弦变换公式，有

?t??ftsin?tdt?eFs(?)?Fs?ft?????0sin?tdt???0????e?t??sin?t??cos?t??????1??21??20由Fourier正弦逆变换公式，有

f?t??Fs?1??Fs(?)???2??2???sin?tF(?)sin?td??d?s2??00ππ1??由此，当t???0时，可得

???0?sin??ππ??d??f????e???0?21??225．设F??f?t????F(?)，试证明：

1）f?t?为实值函数的充要条件是F(??)?F(?)；2）f?t?为虚值函数的充要条件是F(??)??F(?).

证明：在一般状况下，记f?t??fr?t??jfi?t?其中fr?t?和fi?t?均为t的实值函数，且分别为f?t?的实部与虚部.因此

F??????????f?t?e?j?tdt??fr?t??jfi?t??cos?t?jsin?t?dt????????????f?t?cos?t?fi?t?sin?t????dt?j?????fr?t?sin?t?fi?t?cos?t??dt???r?Re??F??????jIm??F?????

????fr?t?cos?t?fi?t?sin?t?其中Re?F?????????dt，?a???Im??F???????????f?t?sin?t?fi?t?cos?t??dt?b????r1）若f?t?为t的实值函数，即f?t??fr?t?,fi?t??0.此时，?a?式和?b?式分别为

Re??F?????????f?t?cos?tdt??r????Im?F???????f?t?sin?tdt

??r所以

F?????Re??F???????jIm??F??????

?Re??F??????jIm??F??????F???

反之，若已知F?????F???，则有

Re??F???????jIm??F???????Re??F??????jIm??F?????

此即说明F???的实部是关于?的偶函数；F???的虚部是关于?的奇函数.因此，必定有

F?????????fr?t?cos?tdt?j?f?t?sin?tdt????r亦即说明f?t??fr?t?为t的实值函数.从而结论1）获证.

2）若f?t?为t的虚值函数，即f?t??jfi?t?,fr?t??0.此时，?a?式和?b?式分别为

??Re??F?????????fi?t?sin?tdtIm??F?????????fi?t?cos?tdt??所以

F?????Re??F???????jIm??F??????

??Re??F??????jIm??F?????

??Re??F??????jIm??F?????

????F???

反之，若已知F??????F???，则有

Re??F???????jIm??F????????Re??F??????jIm??F?????

此即说明F???的实部是关于?的奇函数；F???的虚部是关于?的偶函数.因此，必定有

F??????????fi?t?sin?tdt?j?f?t?cos?tdt，????i亦即说明f?t??jfi?t?为t的虚值函数.从而结论2）获证.

6.已知某函数的Fourier变换F(?)?解：F(?)?f?t???sin?sin??，求该函数f?t?.

?为连续的偶函数，由公式有

π??1??sin?j?tF?ed??cos?td?????2??π0?1??sin?1?t??1??sin?1?t??d??d???2π0?2π0?但由于当a?0时

??sina???sina???sintπd??d(a?)?dt??0??0??0t2当a?0时

??sina???sin(?a)?πd???d????0??0?2?1t?1?2，???sina??1d??0,所以得f?t???，当a?0时，?t?1

0??4?0，t?1??7．已知某函数的Fourier变换为F????π??δ????0??δ????0???，求该函数f?t?.

解：由函数δ?t?t0?g?t?dt?g?t0?，易知

1??f?t??F???ej?td??2π??1??1??j?tj?t?πδ???ed??πδ???ed?????00??2π??2π??

11?ej?t?ej?t?cos?0t

????02???028．求符号函数（又称正负号函数）sgn?t???变换.

??1,t?0?1,t?0的Fourier

解：简单看出sgn?t??u?t??u??t?，而F[u(t)]?F(?)?1??a1?πδ(?).j????9．求函数f?t???δ?t?a??δ?t?a??δ?的t??δt??????222?????a?Fourier变换.

解：

1????a??a???j?t?F????F?ft?δt?a?δt?a?δt??δt???ed????????????2????2?2??????1??j?t?e?e?j?t?e?j?t?e?j?ta2?t??at?at??t??2???a?2??

a?cosa??cos?.

210.求函数f?t??costsint的Fourier变换.解:已知

F??sin?0t???jπ??δ????0??δ????0???

由f?t??costsint?sin2t有F?f?t????δ???2??δ???2??????2211.求函数f?t??sin3t的Fourier变换.

j?t?解:已知F?e???2πδ????0?,由

01πj?ejt?e?jt?j3jt3f?t??sint???e?3ejt?3e-jt?e?3jt???8?2j?3即得

πj?F?ft?????4??δ???3??3δ???1??3δ???1??δ???3???

π??12.求函数f?t??sin?5t??的Fourier变换.

?3?解:由于

π?13?f?t??sin?5t???sin5t?cos5t

3?22??3π?πj????δ???5??δ???5??.故F?f?t????δ???5??δ???5????22??j??t???F???，其中?e14.证明：若F????t?为一实数，则

1??cos?t?F????F?????F???????2F??sin??t????1?F????F??????2j?其中F????为F???的共轭函数.

证明：由于F???????ej??t??e?j?tdt

F????????????ej??t?j?tedt??????e?j??t??e?j?tdte?j?tdt??cos??t?e?j?tdt?F??cos??t?????????e1?F????F??????????2?j??t??e2?j??t?同理可证另一等式.

17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.

?12π?ht,0?t?T解：?0?,f?t???T

T?0,其他?1C0?T?T01f?t?dt?T1T?T01hhtdt?T21TC