高等数学复习资料

本文格式为Word版，下载可任意编辑——高等数学复习资料《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

2.极限3.连续

二、题型与解法A.极限的求法几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与休止理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.limarctanx?xarctanx?x1（等价小量与洛必达）?lim??33x??0ln(x??061?2x)2xsin6x?xf(x)6?f(x)?0，求lim32x??0x??0xx2.已知limsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy'?limx??0解：x??0x33x2lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''?limx??0x??06x6

?216?3y''(0)??0?y''(0)?726?limlim6?f(x)y'y''72?lim?lim??36（洛必达）2x??0x??0x??0x2x222x2xx?13.lim()（重要极限）x??1x?1ax?bxx4.已知a、b为正常数，求lim()

x??02ax?bxx3解：令t?(),lnt?[ln(ax?bx)?ln2]

2x3333xx(alna?blnb)?ln(ab)x??0x??0ax?bx2（变量替换）?t?(ab)3/2limlnt?lim15.lim(cosx)x??0ln(1?x2)

1ln(1?x),lnt?解：令t?(cosx)21ln(cosx)2ln(1?x)limlnt?limx??0?tanx1???t?e?1/2（变量替换）

x??02x26.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?xx20f(t)dtxx??02??1

0f(t)dt（洛必达与微积分性质）

?ln(cosx)x?2,x?07.已知f(x)??在x=0连续，求a

?a,x?0解：令a?limln(cosx)/x??1/2（连续性的概念）

x??02

三、补充习题（作业）1.limx??0ex?1?x1?x?cosx??3（洛必达）

2.limctgx(x??011?)（洛必达或Taylor）sinxx?t23.limx??0x?edt0x1?e?x2?1（洛必达与微积分性质）

其次讲导数、微分及其应用

一、理论要求1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）

2.微分中值定理3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.y?y(x)由??x?arctant决定，求dy

2tdx?2y?ty?e?5232.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求

dy|x?0?1dx解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=13.y?y(x)由2B.曲线切法线问题

xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx

??/24.求对数螺线??e在（?，?）?（e,?/2)处切线的直角坐标方程。

???x?ecos??/2,(x,y)|?(0,e),y'|???/2??1解：????/2???y?esin?y?e?/2??x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0

f(1?sinx)?3f(1?sinx)x??0sinxlimC.导数应用问题

D.幂级数展开问题sin?x?tlimf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)t??0[t?3t]?4f'(1)?8?f'(1)?2?y?2(x?6)6.已知y?f(x)对一切x满足xf''(x)?2x[f'(x)]2?1?e?x，

若f'(x0)?0(x0?0)，求(x0,y0)点的性质。

解：令x?xex0?1??0,x0?00代入，f''(x0)?exx，故为微小值点。0??0??0,x0?0y?x37.(x?1)2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域x?(??,1)?(1,??)

y'?0?驻点x?0及x?3y''?0?拐点x?0；x?1：铅垂；y?x?2：斜

8.求函数y?(x?1)e?/2?arctanx的单调性与极值、渐进线。

2解：

y'?x?x1?x2e?/2?arctanx?驻点x?0与x??1，

渐：y?e?(x?2)与y?x?2

9.

dx2dx?0sin(x?t)dt?sinx22(sin(x?t)2?(x?t)2?13!(x?t)?????(?1)x?t)2n?1)6n((2n?1)!?????sin(x?t)2dt??17n?1(x?t)4n?1313(x?t)?3!7(x?t)?????(?1)(4n?1)(2n?1)!xx?t)2?1317?1)x4n?1?n0sin(3x?3!7x?????((4n?1)(2n?1)!????dx2(2n?1)2216nx2dx?0sin(x?t)dt?x?3!x?????(?1)(2n?1)!?????sinx

或：x?t?u?d0dx?xsinu2(?du)?dx22dx?0sinudu?sinx

E.不等式的证明F.中值定理问题10.求f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)

解：x2ln(1?x)?x2(x?x2?x3n?2?????(?1)n?1x2?o(xn?223n?)=

x3?x42?x5n3?????(?1)n?1xn?2?o(xn)?f(n)(0)?(?1)n?1n!n?211.

设

x?(0,1)，

求证（1?x)ln2(1?x)?x2，1111ln2?1?ln(1?x)?x?2

证：1）令g(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2,g(0)?0

g'(x),g''(x),g'''(x)??2ln(1?x)(1?x)2?0,g'(0)?g''(0)?0?x?(0,1)时g''(x)单调下降，g''(x)?0,g'(x)单调下降

g'(x)?0,g(x)单调下降，g(x)?0；得证。2）令h(x)?1ln(1?x)?1x,x?(0,1),h'(x)?0,单调下降，得证。

12.设函数f(x)在[?1，1]具有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1，

f'(0)?0，求证：在（-1，1）上存在一点?，使f'''(?)?3

证：f(x)?f(0)?f'(0)x?12!f''(0)x2?13!f'''(?)x3其中??(0,x),x?[?1,1]

0?f(?1)?f(0)?1f''(0)?1f'''将x=1，x=-1代入有26(?1)

1?f(1)?f(0)?12f''(0)?16f'''(?2)两式相减：f'''(?1)?f'''(?2)?6

???[?，?f'''(?)?11，?2]2[f'''(?1)?f'''(?2)]?3

13.e?a?b?e2，求证：ln2b?ln2a?4e2(b?a)

证：Lagrange:f(b)?f(a)?f'(?)

b?a2ln2b?ln2a2ln?令f(x)?lnx,?b?a?令?(t)?lnt1?lntln?22,?'(t)??0??(?)??(e)??22t?te4(b?a)（关键：构造函数）2eln2b?ln2a?

三、补充习题（作业）1.f(x)?ln1?x3,求y''(0)??221?xt??x?esin2t在(0,1)处切线为y?2x?1?02.曲线?t??y?ecos2t3.y?xln(e?11)(x?0)的渐进线方程为y?x?xe4.证明x>0时(x2?1)lnx?(x?1)2

2(x2?1)证：令g(x)?(x?1)lnx?(x?1),g'(x),g''(x),g'''(x)?

x322g(1)?g'(1)?0，g''(1)?2?0

x?(0,1),g'''?0,g''?2??x?(0,1),g'?0?g''?0??g?0??x?(1,??),g'''?0,g''?2??x?(1,?),g'?0第三讲不定积分与定积分

一、理论要求1.不定积分2.定积分

把握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）

会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法

A.积分计算

B.积分性质

C.积分的应用1.

?dxx(4?x)??dx4?(x?2)2?arcsinx?22?C2.?e2x(tanx?1)2dx??e2xsec2xdx?2?e2xtanxdx?e2xtanx?C

3.设f(lnx)?ln(1?x)x，求?f(x)dx解：?f(x)dx??ln(1?ex)exdx?e?xln(1?ex)??(1?ex1?ex)dx?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C4.??arctanx1x2dx??1xarctanx|?b1x?11?blim????1(x?1?x2)dx?4?2ln25.f(x)连续，?(x)??1f(x)0f(xt)dt,且limx??0x?A，求?(x)并探讨?'(x)在x?0的连续性。

x解：f(0)??(0)?0,y?xt??(x)??0f(y)dyx

?'(x)?xf(x)??x0f(y)dyx2??'(0)?A2?limx??0?'(0)?A/2??'(0)6.dxdx?0tf(x2?t2)dt??dx2dx?0f(x2?t2)d(t2?x2)?dx22dx?0f(y)d(y)?xf(x2)7.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x)?0，且

xf'(x)?f(x)?3a2x2，又f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：df(x)3a31dx(x)?2?f(x)?a2x2?cx??0f(x)dx?2?c?4?a?f(x)?3a12x2?(4?1)x?V'?(??0y2dx)'?0?a??58.曲线y?x?1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线y?x/2绕x轴旋转的表面积为?202?yds?5?

曲线y?x?1绕x轴旋转的表面积为?12?yds?2?6(55?1)总表面积为

三、补充习题（作业）

?6(115?1)lnsinx?sin2xdx??cotxlnsin2x?cotx?x?C

x?5dx2.?2x?6x?131.3.

?arcsinxxdx

第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求1.向量代数

理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分

熟练把握复合函数与隐函数求导法理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值把握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离2.多元函数微分

3.多元微分应用4.空间解析几何

二、题型与解法A.求偏导、全微分

1.f(x)有二阶连续偏导，z?f(exsiny)满足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1e?c2eu?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0决定，求dz/dx

B.空间几何问题

4.求和。

x?y?z?a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之

解：x/x0?y/y0?z/z0?a?d?a

5.曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,2)处的法线方程。

C.极值问题

6.设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点与极值。

三、补充习题（作业）

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,?xy?z?g()),求yx?x223.z?u,u?lnx?y,??arctany,求dzx第五讲多元函数的积分

一、理论要求1.重积分

熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

??D?bdxy2(x)f(x,y)dy???y1(x)f(x,y)dxdy???a2r2(?)???1d??r1(?)f(r,?)rdr?by2(x)z2(x,y)?dxdy?a?y1(x)?z1(x,y)f(x,y,z)dz?z2?2(z)r2(z,?)?f(x,y,z)dxdydz???dz?d??f(r,?,z)rdrz1?1(z)r1(z,?)???2(?)r2(?,?)2???d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?,?)rsin?dr????V会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）

z?f(x,y)?A???2.曲线积分

D21?z'2x?z'ydxdy

理解两类曲线积分的概念、性质、关系，把握两类曲线积分的计算方法

b?L:y?y(x)??f(x,y(x))1?y'2xdxa????x?x(t)f(x,y)dl??L:???f(x(t),y(t))x't2?y't2dt??y?y(t)??L:r?r(?)??f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?????L3.曲面积分

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

二、题型与解法A.重积分计算

B.曲线、曲面积分??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'2'2x?zydxdyGauss:??SE??dS?Dxy????V??E?dV(通量，散度）Stokes:?LF??dr??????S(??F)?dS(旋度）1.I????(x2?y2?y2?)dV,?为平面曲线??2z?0绕z轴旋转一周与z=8

?x的围域。解：I??882?2z0dz??x2?y2?2z(x2?y2)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?322.I???x?y2D4a2?x2?y2dxdy,D为y??a?a2?x2(a?0)与

2y??x围域。（I?a2(?16?12)3.f(x,y)???x2y,1?x?2,0?y?x,其他，

?0求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x(49/20)

4.I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

LL从A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1从O沿y?0至AI?dxdy??L???L1????(b?a)?2a(?bx)dx?(L1D02?2)a2b??32a

5.I??xdy?ydxL4x2?y2,L为以(1,0)为中心，R(?1)为半径的圆周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:??2x?rcos??y?rsin?，

L???L1?L??L1?0??L??L1??

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，

??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有连续一

阶导数，limf(x)?1,求f(x)。

x??0????0???F?dS??????FdV????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV解：

s??112xexx(e?1)y'?(?1)y?e?y?xxx

第六讲常微分方程

一、理论要求1.一阶方程2.高阶方程3.二阶线性常系数

熟练把握可分开变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法

会求y(n)?f(x),y''?f(x,y')(y'?p(x)),y''?f(y,y')(y'?p(y))y''?py'?q?0??2?p??q?0??1??2?y1?c1e?1x?c2e?2x(齐次)??x???1??2?y1?(c1?c2x)e??x????i??y?e(c1cos?x?c2sin?x)1?f(x)?Pn(x)e?x?????y2?Qn(x)e?x?(非齐次)?????1or?2?y2?Qn(x)xe?x?2?x???and??y?Q(x)xe122n?f(x)?e?x(pi(x)cos?x?pj(x)sin?x)?x(非????i????y2?e(qn(x)cos?x?rn(x)sin?x???x????i????y2?xe(qn(x)cos?x?rn(x)sin?x(n?max(i,j)齐次)

二、题型与解法A.微分方程求解

1.求

22(3x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?03通解。

（xy?xy?x?c)2.利用代换y?ux化简y''cosx?2y'sinx?3ycosx?e并求通cosxxcos2xex?2c2sinx?解。（u''?4u?e,y?c1）cosx5cosx3.设y?y(x)是上凸连续曲线，(x,y)处曲率为

11?y'2，且过(0,1)处

切线方程为y=x+1，求y?y(x)及其极值。

2解：y''?y'?1?0?y?ln|cos(?4?x)|?1?11ln2,ymax?1?ln222

三、补充习题（作业）

y?x?o(?x),y(0)??,求y(1)。(?e4）1.已知函数y?y(x)在任意点处的增量?y?21?x2.求y''?4y?e2x的通解。（y?c1e3.求(y??2x??c2e2x?12xxe）412(x?1)）2x2?y2)dx?xdy?0(x?0),y(1)?0的通解。（y?4.求y''?2y'?e2x?0,y(0)?y'(0)?1的特解。（y?

11?(3?2x)e2x44第七讲无穷级数一、理论要求1.收敛性判别

级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交织级数判别法

幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开

了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求[?l,l]的Fourier级数与[0,l]正余弦级数

2.幂级数

3.Fourier级数

第八讲线性代数一、理论要求1.行列式2.矩阵

会用按行（列）展开计算行列式

几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相像矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件把握将矩阵化为相像对角矩阵的方法

把握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

3.向量

把握线性相关、线性无关的判别4.线性方程组

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩

了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

把握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型

二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理

把握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法

第九讲概率统计初步一、理论要求

1.随机事件与概率了解样本空间（基才能件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算

会计算古典型概率与几何型概率把握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念

理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度

把握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数

3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

理解随机变量的独立性及不相关概念

把握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布

4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念

把握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理6.数理统计概念

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理

了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解?分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布把握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间把握假设检验的基本步骤

了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

27.参数估计

8.假设检验

第十讲总结

1.极限求解

变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）

?2.导数与微分

3.一元函数积分1.nlim1???n[(x?an)?(x?2a(n?1)aan)?...?(x?n)?x?2(几何级数)

2.lim20?arccosx)1/x?e??/2x??((对数替换)

tan?x3.limx??1(2?x)2

x?14.lim(3?x)2x???6?x

5.lim(xn?an)?nan?1(x?a)(x?a)2x??a??1?cos2x?x2,x?06.f(x)???4,x?0，求limf?x??0(x)

???x0costdt?x(x?0)复合函数、隐函数、参数方程求导

1.[(a)x(b)a(xbxa)b]'

2.

yx?arctanx?sin(x?y)?0，求dy/dx3.???x?etcost?esint决定函数y?y(x)，求?y?tdy4.已知2x2y?lny?1，验证4xy2?(2x2y?1)y'