非线性方程（组）数值解法

本文格式为Word版，下载可任意编辑——非线性方程（组）数值解法第七章非线性方程（组）数值解法

教学目的1.把握解非线性方程（组）的二分法和插值法；2.把握解非线性方程（组）的一般迭代法及有关收敛性的证明与牛顿法；3.把握解非线性方程（组）的牛顿法4.了解加速收敛的方法。

教学重点及难点重点是解非线性方程（组）的牛顿法；难点是迭代法的收敛性的证明。

教学时数14学时教学过程

§1基本知识

1.1非线性方程，非线性方程组

好多科学理论和工程技术问题都最终化成非线性方程f(x)?0或非线性方程组

F(x)?0的求解。下面举一些应用例子。

例1

对理论数据或观测数据

yk?f(xk),k?1,2,?,m的

和选定的拟合函数g(x,a1,a2,?,an)(n?m),要求确定参数a1,a2,?,an使目标函数

***1mI(a1,?,an)??[g(xi,a1,?,an)?yi]2

2i?1达到最小：

***I(a1,a2,?,an)?min?I(a1,?an)ak?R,k?1,?,n?(1.1)

这是一个典型的最小二乘问题。当g(x,a1,?,an)不是a1,?,an的线性函数时，微小化问题（1.1）不能通过解线方程组而直接求解。

假设g(x,a1,?,an)关于参数a1,?,an连续可微，并记

n?I(a1,?,an)?g(xi,a1,?,an)fi(a1,?,an)???[g(xi,a1,?,an)?yi]

?aj?aji?1j?1,2,?,n

微小化问题（1.1）转化成了非线性方程式：

?f1(a1,?,an)?0?????f(a,?,a)?0n?n1或gradI(a1,?,an)?0

（1.2）

若（1.1）有解a1,?an,则a1,?an,也是（1.2）的解，但（1.2）还可能有其它解。方程组（1.2）是一典型的非线性方程组。

例2

设f(x,y,y?)是y,y?的非线性函数，用差分法解二阶常微分边值问题

****?y???f(x,y,y?),??y(0)??,y(1)??取h?0?x?1(1.2)

1,xi?ih,i?0,1,?,n?1,用yi的似y(xi)，用中心差分n?1yi?1?yi?1y?2yi?yi?1和i?122hh分别近似y?(xi)和y??(xi),我们可得方程组

?y0???yi?1?yi?1?2y?2y?y?hf(x,y,),i?1,?,n?i?1ii?1ii2h???yn?1??（1．4）

这是一个关于y1,y2,?,yn的非线性方程组。

将非线性积分方程用数值求积公式进行离散，将非线性偏微分方程用差分法或有限元法

进行离散，都最终化成非线性方程组。

1．2非线性方程（组）求解的特点

线性方程组Ax?b解的存在性、唯一性很简单（至少在理论上）判断：即detA?0则解存在唯一；rank(A,b)?rank(A)则无解；detA?0且rank(A,b)?rank(A)，则解存在不唯一。对非线性方程组F(x)?0是否有解，解是否唯一都不易确定；此外，除极少数状况外，没有类似于解一元二次方程的求根公式或类似于解线性方程组的直接解法。

非线性方程（组）的求解方法是从一个初始近似解出发，重复某种计算过程来不断改进似解，类似于解线性方程组的迭代法。期望在有限次改进后，能计算出一个满足误差要求的近似值。这种不断改进近似解的过程称为迭代过程，这种求解方法称为迭法。

为了保证迭代过程能进行下去，近似解向确凿解收敛，要求迭代法有好的迭代公式，好的初始解。在选择迭代法时要考虑计算效率和数值稳定性。

1.3映射的Jacobi阵和F导数

n设fi(x1,?,xn)i?1,?,n是D?R上的n个多元函数。对任意

x?(x1,?,xn)T?D,F(x)?(f1(x),?,fn(x))T是Rn中的一个向量。我们称

?f1(x)?F(x)??????x1?,x?????D(1.6)

????fn(x)?????xn??为映射F(x)在点x的Jacobi阵。

定义1设x是D的一个内点，F(x)在x点有Jacobi阵J(x),若对任意??0，存在

??0成立

F(x)?F(x)?J(x)(x?x)??x?x,?x?D,x?x??

我们就称F(x)的Jacobi阵J(x)为F(x)在x点的F导数（Fretcher导数），并记为

F?(x)。

可以证明，若

?fi?x,1?i,j?nj在x邻近都存在而且在x点连续，则F(x)的Jacobi阵J(x)是F(x)的F导数。当F(x)在x存在F导数时，仿射映射

L(x)?F(x)?F?(x)(x?x)(1.8)

是映射F(x)在x邻近的一个很好的迫近。1.4收敛性和收敛阶

解非线性方程（组）的迭代法产生迭代序列{x(k)}?k?0,x(k)?(x(k)(k)T1,?,xn)。

定义2若存在x*?(x**T(k)1,?,xn)，点列{x}?k?0成立

limx(k)k???x*?0(1.9)

我们就称点列{x(k)}?k?0收敛于点

x*。并且记为：

limk??x(k)?x*,或x(k)?x*,当k??

收敛序列的收敛速度用收敛阶来刻划。

定义3若limk??x(k)?x*,x(k)?x*,k?0,1,?,我们称{x(k)}?k?0收敛于x*是：

（1）线性的，若

(1.7)limx(k?1)?x*x(k)k???x*?C?(0,1)

（2）超线性的，若limx(k?1)?x*x(k)k???x*?0

（3）p阶收敛的，若

limx(k?1)?x*x(k)k???x*p?C?0,p?1

二阶收敛也称平方收敛。在本章中，我们只探讨解非线性方程（组）的一般方法，既适用于代数多项式方程（组），也适用于超越方程（组）。求解代数多项式方程有一些特别方法，我们不作探讨。§2非线性方程的二分法和插值法2.1二分法给定非线性方程

f(x)?0

假设f(x)在[a,b]上连续，而且f(a)f(b)?0。由连续函数介值定理知，至少存在某个x*?(a,b)使f(x*)?0即[a,b]内至少有方程（2.1）的一个根。我们称[a,b]为f(x)的一个含根区间。显然对（2.1）在[a,b]中的任一根x*来说有

x*?a?bb?a?22二分法是一个把含根区间不断缩短，使含根区间中点成为一个满足误差要求的近似解的

方法。具体过程描述如下：

令a0?a,b0?b,h?b?a。设已得含根区间[ai,bi]，i?0,1,?,kl满足

?(1)[ai,bi]?[ai?1,bi?1],i?1,?,k??i?(2)bi?ai?2h,i?0,1,?,k?(3)f(a)f(b)?0,i?0,1,?,kii?1令xk?(ak?bk),计算fk?f(xk)，取

2ak?1?xk,bk?1?bk,若fkf(ak)?0或

(2.2)

(2.3)?

ak?1?ax,bk?1?xk,若fkf(ak)?0显然（2.2）对i?k?1仍成立。

(2.3)??

重复由[ak,bk]生成[ak?1,bk?1]的上述过程，就生成了近似解序列?xk?k?0。当m?n时，

?xn,xm?[an,bn],xm?xn?2?n?1h，从而?xk?k?0是收敛序列，记其极限为x*。显然

?f(x*)?0,且x*?xn?2?n?1h。

对给定允许误差界??0，只要2?n?1(b?a)??就有

(2.4)

x*?xn??二分法算法：

f(x)?C[a,b],f(a)f(b)?0,??0为给定允许误差。

1?令s=sign(f(a)),h?(b?a)/2,x?a?h;2?若h??，则输出x，停机；

3?计算f(x)，置h:?h/2；

4?若s?f(x)?0,置x:?x?h，否则置x:x?h;

5?转2?。

例3

用二分法解方程x?cosx?0,??