机械能竞赛（于万堂）

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机械能一．几种力的功（１）重力的功（２）弹簧弹力的功

弹簧在弹力F?kx的作用下，从位置

ＯＦx1x2

x1运动到了位置x2，这一过程中弹簧弹力

做负功，做的负功的绝对值等于如图梯形部分的面积。所以有：

W??(

kx1?kx21122)(x2?x1)?kx1?kx2222Ｏx1x2ｘ

1、锤子每次从同一高度下落打击木桩，每次有8000的能量传给木桩，且木桩受到的阻力f与插入地面的深度x成正比，求木桩每次打入的深度比？

2、如下图，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块，木块体积为V，高为h，其密度为水的密度?的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，用一细棒把木块缓慢地压至容器底部，求木棒的压力做了多少功?

二、动能定理

用动能定理解决问题的优越性在于对力作用的中间过程不予考虑，只要考虑初状态和末状态，这给问题的解决带来了不少的便利

例题、两个质量均为ｍ的小球，用细绳连接起来，置于光滑的水平面上，绳刚好被拉直，用一个恒力Ｆ作用在连绳的中点，Ｆ的方向水平且垂直于绳的初始位置，Ｆ力拉动原来处于静止状态的小球，问在两个小球第一次相撞前的瞬间，小球垂直于Ｆ作用线的方向上的分速度是多大？（绳子长为２Ｌ）ｍ

Ｌ

ＦＬ

ｍ

三、势能和机械能守恒

1.一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观测，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。。2.一个盛满水的圆柱形水桶，桶底和壁都很轻很薄，桶的半径为R，高为h，桶的上缘处在湖面下深度为H处，假使用轻绳将它缓慢的上提，直到桶的底面刚离开水面，若不计水的阻力，求上提过程中拉力所做的功。

3.一个质量m=200.0千克，长l0=2.00米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图7-8）。桶内的横截面积S=0.500米2（桶的容积为l0S），桶本身（桶壁与桶底）的体积V0=2.50×10-2米3。桶内封有高度l=0.200米的空气，池深H0=20.00米，大气压强p0=10.00米水柱高，水的密度ρ=1.000×103千克/米3。重力加速度g取10.00米/秒2。若用图中所示的吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值。试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水（包括池水及桶内水）的机械能改变了多少（结果要保存三位有效数字）。不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。0

0ll0

图7-8

3.弹簧的弹性势能

假设弹簧的弹性系数为k，当弹簧发生了x大小的形变时，其所具有的弹性势能为

pHEp?

12kx2如下图，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上，已知A、B的质量分别为m1和m2。问应在物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的状况？弹簧的质量略去不计。

四、功能原理和能量守恒定律

1.如图为用于节水喷水“龙头〞的示意图，喷水口距离地面高度为h，用效率为η的抽水机，从地下H深的井里抽水，使水充满喷水口，并以恒定的速率从该“龙头〞沿水平喷出，喷水口截面积为S，其喷灌半径可达10h。求带动抽水机的电动机的最小输出功率。（已知水的密度为?，不计空气阻力。）

ABhH

10h

2、两个质量分别为m1和m2的重物悬挂在细绳的两端，已知

m1?m2，绳子绕过一个半径为r的滑轮，如下图，在滑轮的

轴上固定了四个长为L，分布均匀的辐条，辐条的端点固定有质量为m的小球，重物m1和m2的运动是由本身的重力产生的，轴的摩擦、绳及辐条和滑轮的质量均不计，绳与滑轮间不发生相对滑动，求两个重物运动的加速度？m

m2

3、M和m用绳通过定滑轮连接，m放在倾角为??370的固定斜面上，Ｍ＝５ｋｇ，ｍ＝１ｋｇ，ｍ和斜面的动摩擦因数??0.5，而物体Ｍ沿杆ＡＢ无摩擦滑动，ＯＡ间距离为Ｌ＝４ｍ，问当Ｍ由静止开始沿如下图的位置下滑ｈ＝３ｍ时，它的速度为多大？ＯＭＡＢｍ

?

4、一个质量为m的小金属球，穿在一个半径为R的光滑竖直圆形金属圈中，小球可以滑动，它的初始位置在P0点，?P0OA?600，此时连接A点与小球的弹簧没有形变，然后释放，如下图，数据：忽略弹簧的质量和球、m?1kg,k?50N/m;R?50cm。

P0圈间的摩擦。

（1）推导小球可以到达B点时，上述各量必需满足什么条件，证明已经给出的数据满足这一条件。（2）求小球到达B点时的速率？

B

1、足球运动员在离球门L=11m的罚球点确凿地从其正前方球门的横梁的下缘踢进一球，

横梁的下缘离地面高为h?2.5m，足球的质量为M?0.5kg，不计空气阻力，问必需传给这个球的能量至少是多少？

A2.图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O2B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．

1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O1的连线与竖直线的夹角表示）．

2．凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O2的距离如何？

AO1OO2B

3.如图，长度为L轻杆上端连着一个质量为m的体积可忽略的的小重物B。杆的下端被用铰链固定于水平面上的A点，同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M，令作微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C、C与水平地面间均没有摩擦，而B与C刚脱离的瞬间，杆与地面的夹角恰好为300，求B与C的质量之比？

BCA4.倔强系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端系一质量为m的物体。物体可在有摩擦的水平桌面上滑动（如图5-7）。弹簧为原长时物体位于O点，现在把物体沿弹簧长度方向向右拉到距离O点为A0的P点按住，放手后弹簧把物体拉住。设物体在其次次经过O点前，在O点左方停住。计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。（1）探讨物体与桌面间的摩擦系数μ的大小应在什么范围内。

（2）求出物体停住点离O点的距离的最大值。并回复：这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值？为什么？m

OP

图5-7

5.如下图，AB两物体的质量分别是m1和m2。中间用一根原长为L0，劲度系数为k的轻质弹簧连接在一起，并置于光滑的水平面上处于自然静止状态。某时刻突然给物体A一个水平向右的速度v0。同时加一个水平向右的力，使物体A保持以速度v0作匀速运动，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。试求：(1)AB间的最大距离为多大？

(2)从开始运动至AB间距达到最大距离的过程中，外力F做了多少功？

FBA

6.两带正电的小球A和B，质量分别为m1和m2。电量分别为q1和q2。开始时两球相距L0。并使它们在光滑水平面上静止，现给小球A一个向左的初速度v0，同时加一个外力F，以确保小球A以v0的速度向左做匀速运动，试问：（1）求AB两球间的最小距离为多大？

（2）从开始运动至AB间距达到最小距离的过程中，外力F做了多少功？

v0ABF

7.如图7-3所示，在水平桌面上放一质量为M，截面为直角三角形的物体ABC，AB与AC间的夹角为θ，B点到桌面的高度为h。在斜面AB上的底部A处放一质量为m的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面AB方向的初速度v0，假使小物体与斜面间以及ABC与水平桌面间的摩擦都不考虑，则v0至少要大于何值才能使小物体经B点滑出。B

Mv0m

AC

图7-