2006年流体力学上课（4）教材讲义

第四章流体动力学基础4.1流体的运动微分方程4.1.1理想流体运动微分方程设六面体的中心点，速度、压强p（abcd和a’b’c’d’面）形心点的压强为：

受压面上的压力：质量力：由牛顿第二定律：化简得：

同理：将加速度展开为欧拉法表达式：4.1.2粘性流体运动微分方程同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变：动压强：应力和变形速度的关系附加法应力：切应力：粘性流体运动微分方程：用向量表示：例：理想流体速度场为：，a，b为常数，质量力忽略不计，试求等压面方程。解：全微分形式：积分得：令p＝常数，得到等压面方程：例：试证明不可压缩流体恒定均匀管流中，（1）任一点平行流动方向与垂直流动方向的法向应力相等，都等于该点的动压强p；（2）过流断面上，动压强按静压强规律分布。解：（1）选定直角坐标系代入连续性方程，得：法向应力和线变形的关系：

得：解：（2）均匀流恒定流得：

积分b式：得：代入a式：得：4.2元流得伯努利方程4.2.1理想流体运动微分方程1、质量力只有重力：2、不可压缩流体，恒定流动：ρ＝常数，，则：

3、恒定流，流线与迹线重合

得：或：（理想流体元流伯努利方程）4.2.2伯努利方程的物理意义和几何意义：单位重量流体具有的位能

：单位重量流体具有的压能

：单位重量流体具有的动能：单位重量流体具有的机械能。例：应用比托管测量点流速

4.2.3粘性流体元流的伯努利方程4.3总流的伯努利方程4.3.1渐变流及其性质4.3.2总流的伯努利方程过流断面的微元面积、位置高度、压强即流速分别为dA1、z1、p1、u1；dA2、z2、p2、u2。势能积分：动能积分：动能校正系数：水头损失积分：例：用直径d＝100mm的水管从水箱引水，水箱水平与管道出口断面中心的高差H＝4m，保持恒定，水头损失hw＝3m水柱。试求管道的流量。解：1-1断面：z1＝H，p1＝0，v1≈0；2-2断面：z2＝0，p2＝0，v2代入，得：流速：流量：例：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量Q＝5.56L/s，泵的安装高度Hs＝5m，吸水管直径d＝100mm，吸水管的水头损失hw＝0.25m水柱。试求水泵进口断面2-2的真空度。解：1-1断面：z1=0，p1=pa(绝对压强)，v1≈02-2断面：z2=H，p2=待求，v2=Q/A=0.708m/s

例：文丘里流量计，进口直径d1＝100mm，喉管直径d2＝50mm，实测测压管水头差Δh＝0.6m（或水银压差计的水银面高差hp＝4.76cm），流量计的流量系数μ＝0.98，试求管道输水的流量。解：解：能量方程连续性方程：用测压管：流量：4.3.5总流伯努利方程应用的补充论述1-1，2-2断面上的伯努利方程：用水头表示形式用压强表示形式：代入，得：（1）当气流的密度和外界空气的密度相同，方程为：（2）当气流的密度远远大于外界空气的密度，方程为：或：例：自然排烟锅炉，烟囱直径d＝1m，烟气流量Q＝7.135m3/s，烟气密度ρ＝0.7kg/m3，外部空气密度为ρa＝1.2kg/m3，烟囱的压强损失。为使烟囱底部入口断面的真空度不小于10mm水柱，试求烟囱的高度。解：1-1断面：2-2断面：代入，解得：2、有能量输入或输出的伯努利方程3、两断面间有分流或汇流的伯努利方程对1’-1’断面和2-2断面列伯努利方程：

4.4总流的动量方程元流1-2在dt时间动量的增量为：不可压缩，引入动量校正系数：由动量定理：例：水平设置的输水弯管，转角θ＝60o，直径由的d1＝200mm变为d2＝150mm。已知转弯前断面的压强p1＝18kN/m2（相对压强），输水流量Q＝0.1m3/s，不计水头损失，试求水流对弯管作用力的大小。

解：总流动量方程得投影式1-1，2-2断面的能量方程：

其中：解得：水流对弯管的作用力：例：水平分岔管路干管直径d1＝600mm，支管直径d2＝400mm，分岔角α＝30o，已知分岔前断面的压力表读数值pM＝70kN/m2，干管流量Q＝0.6m3/s，不计水头损失。试求水流对分岔管的作用力。解：设分岔管对水流的作用力为Ox方向的动量方程：1-1，2-2或3-3断面的伯努利方程得：那么水流对分岔管段得作用力：Rx＝4.72kN，方向与ox方向相同例：水平方向的水射流，流量Q1，出口流速v1，在大气中冲击在前后斜置的光滑平板上，射流轴线与平板成θ角，不计水流在平板上的阻力。试求（1）沿平板的流量；（2）射流对平板的作用力。解：分别对1-1，2-2和3-3断面列伯努利方程，可得：（1）求流量Q2和Q3列x方向的动量方程：连续性方程：流量为：设平板对水流的作用力为R’oy方向的动量方程：射流对平板的作用力大小相等，方向相反，即指向平板。思考：如下图所示，水从固定喷嘴定常喷出，垂直冲击一块平板。水离开喷嘴的速度V1=20m/s,喷嘴出口面积A1=0.005m2。假定水冲击平板后，沿平板流动。水的密度ρ=1000kg/m3,试确定支撑这块平板所需的水平力？思考：有一金属水箱，高1m，横截面积为1m2，质量为40kg。水箱放在一磅秤上，如下图所示。水从顶部面积A1=0.005m2的开口处流入。入口处水的流速V1=5m/s，出口处水的流速随水箱中的水位不断上升而增加，当达到定常流动时，水箱内水位为0.9m，试问此时磅秤的读数为多少牛顿？假定水的密度为1000kg/m3.4.5理想流体的无旋流动4.5.1理想流体无旋流动的伯努利方程对恒定流动：无旋条件：得：同理：则：流体为不可压缩流体，质量力只有重力：积分可得：或：4.5.2流速势函数根据曲线积分，无旋条件：是表达式：成为全微分的充分必要条件即：比较：得：即：定义：为流速势将：代入连续性方程：得：即：例：已知流速场。试求（1）判别流动是否无旋；（2）若是无旋流动求流速势Ψ，并指出Ψ是否调和函数。解：（1）判别是否有旋：（2）流速势：（3）是否调和函数：4.5.3流函数对于平面流动，连续性方程：移项可得：是表达式：成为函数全微分的充分必要条件：比较：得：流函数：性质（1）流函数的等值线是流线流函数的等值线方程：则：性质（2）两条流线的流函数的差值，等于通过该两流线间的单宽流量

通过的流速为通过的流量：性质（3）平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交由等流函数线方程：某一点的斜率：由等势线方程：同一点等势线斜率：乘积：性质（4）平面无旋流动，流函数是调和函数无旋流动：