高二数学必修五

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篇一：高中数学必修五知识点公式总结

必修五数学公式概念

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理推论：①

abc

.??

sinAsinBsinC

abc

???2R（R为三角形外接圆的半径）sinAsinBsinC

asinAbsinBasinA

,?,?②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC③?

bsinBcsinCcsinC

abca?b?c

???④a:b:c?sinA:sinB:sinC⑤sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。任何一个三角形都有六个元素：三条边(a,b,c)和三个内角(A,B,C).在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

4、任意三角形面积公式为：

111abc?bcsinA?acsinB?absinC?ABC

2224R

r

??(a?b?c)?2R2sinAsinBsinC

2S

1.1.2余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

222222222

a?b?c?2bccosA，b?a?c?2cacosB，c?a?b?2abcosC.

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

余弦定理推论：cosA?，cosB?，cosC?

2bc2ac2ab

1.2应用举例

1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）

3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角4、视角：如图4，观测物体的两端，视线张开的角度称为视角。5、铅直平行：于海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比?i?

??h?

?.l?

（5）坡角与坡比

其次章数列

2.1数列的概念与简单表示法

1、数列的定义：依照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在其次位的数称为这个数列的第2项，?，排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，?，an，?，简记为?an?.

2、数列的通项公式：假使数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

3、数列的递推公式：假使已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an?1（或前几项）（n?2）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为an?2an?1?1（n?1）

4、数列与函数：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集?1,2,3,4,…,n?）为定义域的函数an?f?n?，当自变量依照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。通项公式可以看成函数的解析式。

5、数列的单调性：若数列?an?满足：对一切正整数n，都有an?1?an（或an?1?an），则称数列?an?为递增数列（或递减数列）。

判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；②作差比较法，即作差比较an?1与an的大小；

2.2等差数列

1、等差数列的定义：一般地，假使一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。定义式为an?an?1?d（n?2，n?N*）或an?1?an?d（n?N*）

*

3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项an?1，an，an?1（n?2,n?N），则an?1，an，an?1成等差数列?2an?an?1?an?1（n?2）??an?是等差数列。

4

5*

6、等差数列的性质：（1）若n，m，p，q?N，且m?n?p?q，则am?an?ap?aq；（2）若m?n?2p，则am?an?2ap；

（3）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等差关系；（4）若?an?成等差数列?an?pn?q（公差为p，首项为p?q）；（5）若?cn?成等差数列，则?an?也成等差数列；

（6）假使?an??bn?都是等差数列，则?pan?q?，?pan?qbm?也是等差数列。

2.3等差数列的前n项和

?S1?n?1?1、一般数列an与sn的关系为an??.

?Sn?Sn?1?n?2?

2、等差数列前n项和的公式：Sn?

n?a1?an?n?n?1??na1?d

22

n?n?1?dd??

d?n2??a1??n，222??

3、等差数列前n项和公式的函数特征：（1）由Sn?na1?令A?

dd2

，则?an?为等差数列?Sn?An?Bn（A、B为常数，其中d?2A，B?a1?，22

a1?a?b）.若A?0，即d?0，则Sn是关于n的无常数项的二次函数。若A?0，即

d?S?

d?0，则Sn?na1.（2）若?an?为等差数列，?n?也是等差数列，公差为

2?n?

（3）若?an?为等差数列，Sk,S2k?SK,S3k?S2k,?也成等差数列

（4）若Sn?m，Sm?n，则Sm?n???m?n?（5）若Sm?Sn，则Sm?n?0（6）若?an??bn?是均为等差数列，前n项和分别是An与Bn，则有

amA2m?1

?bmB2m?1

（7）在等差数列?an?中，a1?0，d?0，则Sn存在最大值，a1?0，d?0，则Sn存在最小值。

2.4等比数列

1、等比数列：一般地假使一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比寻常用字母q表示?q?0?.定义式：

an

?q，(n?2,an?0,q?0).an?1

Gb

??G2?ab?G?aG

2、等比中项：假使在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比数列。a，G，b

成等比数列?

两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。3、通项公式：an?a1q

n?1

?

a1n

?q其中首相为a1，公比为q.q

*

4、等比数列的性质：an?amqn?m（n，m?N）.

2.5等比数列的前n项和

?na1?q?1??

1、等比数列的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq

1n??q?1??

1?q?1?q

2、等比数列的前n项和的函数特征：当q?1时，Sn?

a1?1?qn?1?q

?

a1a

?1qn.记1?q1?q

A?

a1

，即Sn??Aqn?A.1?q

3、等比数列的前n项和的性质：在等比数列中：

（1）当Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?均不为零时，数列成等差数列。公比为qk.（2）Sn?m?Sn?qnSm?Sm?qmSn（3）

am

?qm?n或am?an?qm?n（m、n?N*）an

（4）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq（5）若?an?为等差数列，则C

??为等比数列

an

（6）若?an?为正项等比数列，则?logCan?是等差数列（7）若?an?、?bn?均为等比数列，则??an??

????an?k

??0a、a、a?b、??n?n??nn???等???an??bn?

篇二：高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧(含答案)猛烈推荐

数学数列部分知识点梳理

一数列的概念

1）数列的前n项和与通项的公式①Sn?a1?a2???an；an??

?S1(n?1)

?Sn?Sn?1(n?2)

2）数列的分类：①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1?an.②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1?an.③摇摆数列:例如:?1,1,?1,1,?1,?.④常数数列:例如:6,6,6,6,??.⑤有界数

1）通项公式an?a1?(n?1)d，a1为首项，d为公差。前n项和公式Sn?

1n或2

1

n(n?1)d.2

2）等差中项：2A?a?b。Sn?na1?

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：an?1?an?d（n?N?，d是常数）??an?是等差数列；⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列.

4）等差数列的性质：

⑴数列?an?是等差数列，则数列?an?p?、?pan?（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即⑶an?am?(n?m)d；an?an?b(a,b是常数)；Sn?an2?bn(a,b是常数，

an,an?k,an?2k,an?3k,?为等差数列，公差为kd.

a?0)

⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；

?Sn?

?是等差数列；?n?

Sa

⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶?S奇?nd,偶?n?1；

S奇an

⑸若等差数列?an?的前n项和Sn，则?

S偶n?1

当项数为2n?1(n?N?)，则S奇?S偶?an,.?

S奇

n

(7)设

(8)设则有(9)

；

是等差数列的前项和，则

；

，公差为

，前项和为；

，则

是等差数列，则

，

（

是常数）是公差为

，

的等差数列；

，

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列①．

为等差数列，公差为

②．

）为等差数列，公差

；

（即

③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列1）通项公式：an?a1qn?1，a1为首项，q为公比。前n项和公式：①当q?1时，Sn?na1

a1(1?qn)a1?anq②当q?1时，Sn?.?

1?q1?q

2）等比中项：G2?a?b。

3）等比数列的判定方法：⑴定义法：

2

；

an?1

?q（n?N?，q?0是常数）??an?是等比an

数列；⑵中项法：an?1?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比数列.

4）等比数列的性质：

⑴数列?an?是等比数列，则数列?pan?、?pan?（q?0是常数）都是等比数列；

n?m

a?a?q(n,m?N?)nm（2）

（3）若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；

（4）若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k是等比数列.（5）设（6）设

，

是等比数列，则

也是等比数列。

则

也是等比数列（即等比数

是等比数列，是等差数列，且

列中等距离分开出的子数列仍为等比数列）；（7）设

（8

）设

则有

；

，公比为

；（即

；

）为

，前项和为

，则

是正项等比数列，则

，

是等差数列；，

，

（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列①．

②．等比数列，公比为

为等比数列，公比为

三、解题技巧：

A、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特别数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（假使?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比数列）即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适

???1?用于数列?（其中?an?等差）。可裂项为：?和a?a?nn?1?

11111?(?)?

an?

an?1danan?1d

B、等差数列前n项和的最值问题：

1、若等差数列?an?的首项a1?0，公差d?0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大??

?an?0

；

?an?1?0

q

的非零自然数时Sn最大；2p

（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，则当n取最靠近?

2、若等差数列?an?的首项a1?0，公差d?0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小??

?an?0

；

a?0?n?1

q

的非零自然数时Sn最小；2p

（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，则当n取最靠近?C、根据递推公式求通项：1、构造法：

1°递推关系形如“an?1?pan?q〞，利用待定系数法求解2°递推关系形如“，两边同除p

n?1

已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.

或待定系数法求解

a1?1,an?1?2an?3n，求数列?an?的通项公式.

3°递推已知数列?an?中，关系形如“an?2?p?an?1?q?an〞，利用待定系数法求解4°递推关系形如an?pan?1?qanan?,两边同除以anan?1（1p,q?0)数列?an?中，a1?2,an?1?

已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求数列?an?的通项公式.已知数列?an?中，an?an?1?2anan?an?的通项公式.（1n?2),a1?2，求数列?

2an

(n?N?)，求数列?an?的通项公式.

4?an

2、迭代法：

a、⑴已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式

aaaaa

b、已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.an?n?n?1?n?2???3?2?a1

an?1an?2an?3a2a1

an?1

已知数列?an?满足：n?(n?2),a1?2，求求数列?an?的通项公式；

an?1n?1

3、给出关于Sn和am的关系

设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?)，设

bn?Sn?3n，

求数列?bn?的通项公式．

五、典型例题：A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）

已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n；2）根据数列的性质求解（整体思想）

已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n?.B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差

已知Sn为等差数列?an?的前n项和，bn?

Sn

(n?N?).求证：数列?bn?是等差数n

列.

2）证明数列等比

数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

D、求数列的前n项和

求数列{2n?2n?3}的前n项和Sn.（拆项求和法）求和：S=1+

111????（裂项相消法）1?21?2?31?2?3???n

x2

设f(x)?，求：⑴f()?f()?f()?f(2)?f(3)?f(4)；2

1?x

⑵f()?f()???f()?f(2023).)?f()?f(2)???f(2023

倒序相加

（

法）

若数列?an?的通项an?(2n?1)?3n，求此数列的前n项和Sn.（错位相减法）已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题

数列?an?中，an?2n?49，当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时，n?

练习

1数列{an}满足a1?2，an?an?1?1?0，(n∈N)，则此数列的通项an等于()

An2?1Bn?1C1?nD3?n2个数a,b,c，既是等差数列，又是等比数列，则a,b,c间的关系为()

Ab?a?c?bBb2?acCa?b?cDa?b?c?03差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是()A130B170C210D260

1

4差数列?an?中，已知a1?,a2?a5?4,an?33，则n为（）.

3

A48B49C50D51

1a?a?a?a

5知等比数列{an}的公比q??,则1357等于()

3a2?a4?a6?a8

11

A?B?3CD3

33

6各项都为正数的等比数列?an?中，若a5a6?9,则log3a1?log3a2???log3a10?（）.

A12B10C8D2?lo3g57和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则

这两个数的和等于（）.

A80B70C18D168两各等差数列{an}、{bn}前n项和分别为An、Bn，满足

a11

的值为（）b11

An7n?1?(n?N?)，Bn4n?27

则

A

73478BCD42371

9Sn是等差数列?an?的前n项和，S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于

（）.

A15B16C17D18

1111

10列1,3,5,7,?,前n项和为（）

24816

1111

An2?n?1Bn2?n?1?Cn2?n?n?1

2222

篇三：高一数学知识点总结--必修5

高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则有

asin?

?

bsin?

a2R?

csinC

?2R．

2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

②sin??

，sin??

b2R

，sinC?

c2R

；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；④

a?b?csin??sin??sinC

sin?sin?sinC

111

?bcsin??absinC?acsin?．222?

a

?

b

?

c

．

3、三角形面积公式：S???C

4、余定理：在???C中，有a2?b2?c2?2bccos?，b2?a2?c2?2accos?，

c?a?b?2abcosC．

2

2

2

5、余弦定理的推论：cos??

b?c?a

2bc

222

，cos??

a?c?b

2ac

222

，cosC?

a?b?c

2ab

222

．

6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a2?b2?c2，则C?90?为直角三角形；

②若a2?b2?c2，则C?90?为锐角三角形；③若a2?b2?c2，则C?90?为钝角三角形．

其次章：数列

1、数列：依照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摇摆数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．

11、假使一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个

常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若

b?

a?c2

，则称b为a与c的等差中项．

13、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d．

通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?

an?amn?m

an?a1n?1

；④n?

an?a1

d

?1；

．

14、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等差

数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式：①Sn?

n?a1?an?

2

；②Sn?na1?

n?n?1?2

d．

16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??*?，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，

S奇S偶

?anan?1

．②若项数为2n?1?n??*?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，

S奇S偶

?

nn?1

（其中

S奇?nan，S偶??n?1?an）．

17、假使一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个

常数称为等比数列的公比．

18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G2?ab，则

称G为a与b的等比中项．

n?1

19、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1q．

n?m

20、通项公式的变形：①an?amq；②a1?anq

??n?1?

；③q

n?1

?

ana1

；④q

n?m

?

anam

．

*

21、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），则am?an?ap?aq；若?an?是等比数

*

列，且2n?p?q（n、p、q??），则an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m

2

项和构成的数列成等比数列。

?na1?q?1?

?

22、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．

1n??q?1??

1?q?1?q

q?1时，Sn?

a11?q

?

a11?q

q，即常数项与q项系数互为相反数。

nn

23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2n?n??

*

?，则S

S偶

奇

?q．

n

②Sn?m?Sn?q?Sm．③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．

24、an与Sn的关系：an??

??Sn?Sn?1??S1

?n?2??n?1?

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c，列三个方程求解；③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aq2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为an?1?an?d形式，可用等差数列的通项公式代入求解；②若化简后为an?1?an?f(n),形式，可用叠加法求解；

③若化简后为an?1?an?q形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为an?1?kan?b形式，则可化为(an?1?x)?k(an?x)，从而新数列{an?x}是等比数列，用等比数列求解{an?x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得）3、由求和公式求通项公式：

①a1?S1②an?Sn?Sn?1③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。4、其他

（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；

例如：an?an?1?n?1有：an?an?1?n?1a2?a1?3a3?a2?4?

an?an?1?n?1

各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?

n

?b，q为相除后的常数，列两个方程求解；

?n?4??n?1?

（2）an?an?1

2

?anan?1形式，同除以anan?1，构造倒数为等差数列；

an?an?1anan?1

?2?

1an?1

?

例如：an?an?1?2anan?1，则

?1?

，即??为以-2为公差的等差数列。an

?an?

1

（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：构造：an?x?q?an?1?x?为等比数列；

例如：an?2an?1?2，通过待定系数法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比为2。（4）an?qan?1?pn?r形式：构造：an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?为等比数列；

nn

（5）an?qan?1?p形式，同除p，转化为上面的几种状况进行构造；

由于an?qan?1?pn，则

anp

n

?

qan?1pp

n?1

?1，若

qp

?1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方

法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若?②若?

?ak?0

，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足?d?0a?0??k?1

?a1?0?a1?0

?ak?0

，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足?d?0a?0??k?1

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an??2n?1??3；

n

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an?

1n?n?1?

?1n?

1n?1

，an?

1

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等；

2?2n?12n?1?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以便利求和的部分，如：

an?2?n?1等；

n

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中