高二数学必修5不等式与不等关系总复习学案

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高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8特性质;

2.一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数yax2bxc(a0)、相应的方程2

之间的关系：

3.一元二次不等式恒成立状况小结：

a0

ax2bxc0（a0）恒成立．

0a02

a0axbxc0（）恒成立．

0

4.一般地，直线ykxb把平面分成两个区域（如图）：

ykxb表示直线上方的平面区域；ykxb表示直线下方的平面区域．说明：（1）ykxb表示直线及直线上方的平面区域；

ykxb表示直线及直线下方的平面区域．

（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

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5.基本不等式：

(1).假使a,bR，那么ab2ab．

2

2

ab

(a0,b0)．2

（当且仅当ab时取“〞）

(2).

二.例题与练习

例１．解以下不等式：

(1)x7x120；(2)x2x30；(3)x2x10；(4)x2x20．

解：(1)方程x7x120的解为x13,x24．根据yx27x12的图象，可得原不等式x7x120的解集是{x|x3或x4}．(2)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x2x30．方程x2x30的解为x13,x21．

2

根据yx2x3的图象，可得原不等式x2x30的解集是

2

2

2

2

22

22

2

{x|3x1}．

(3)方程x2x10有两个一致的解x1x21．

2

根据yx2x1的图象，可得原不等式x2x10的解集为．

2

(4)由于0，所以方程x2x20无实数解，根据yx2x2的图象，可

2

2

2

得原不等式x2x20的解集为．练习1.（1）解不等式

（2）解不等式

2

x3x3

0呢？）0；（若改为

x7x7

2x3

1；x7

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x70,x70,

解:(1)原不等式{x|7x3}或

x30x30

(该题后的答案:{x|7x3}).

x10

0即{x|7x10}.x7

2

例2.已知关于x的不等式xmxn0的解集是{x|5x1}，求实数m,n之值．

(2)

解：不等式xmxn0的解集是{x|5x1}

2

x15,x21是x2mxn0的两个实数根，

51mm4

．由韦达定理知：

51nn522

练习2．已知不等式axbxc0的解集为{x|2x3}求不等式cxbxa0

的解集．

b

23ab5a

c

解：由题意23，即c6a．

aa0

a0

22

代入不等式cxbxa0得：6ax5axa0(a0)．

112

即6x5x10，所求不等式的解集为{x|x．

32x4y3

例3．设z2xy，式中变量x,y满足条件3x5y25，求z的最大值和最小值．

x1

解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x0,y0时，

yx1z2xy0，即点(0,0)在直线l0：2xy0上，

作一组平行于l0的直线l：2xyt，tR，

C

可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2xy0，即t0，Ax4y30而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，3x5y250当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大，xO当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，

所以，zmax25212，zmin2113．

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x4y3

练习3．设z6x10y，式中x,y满足条件3x5y25，求z的最大值和最小值．

x1

解：当l与AC所在直线3x5y250重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B(1,1)时，对应z最小，

∴zmax6x10y50，zmin6110116．

例4．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴ab2ab，bc2bc，

2

2

2

2

222

c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca

222

所以，abcabbcca．

11

练习4．若x2y1，求的最小值。

xy

11x2yx2y

解：∵x2y1，∴

xyxy

2yx2yx123()3xyxy

x12yx

当且仅当xy，即2

yx2y1

2

11∴当x1,y时，

取最小值3.

xy

三.课堂小结

1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，把握一元二次不等

式的解法；

2.把握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;

3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；把握好简单的二元线性规划问题的解法;解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;

4.把握好基本不等式及其应用条件；

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四.课后作业

1.假使a0,b0，那么，以下不等式中正确的是（A）

11

（B

（C）a2b2（D）|a||b|ab11

2.不等式的解集是（D）

x2

A．(,2)B．(2,)C．(0,2)D．(,0)(2,)

（A）

3.若a、b、cR,ab，则以下不等式成立的是(C)（A）

ab11

2.（D）a|c|b|c|..（B）a2b2.（C）2

c1c1ab

4.若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为(D)

（A）3-1(B)3+1(C)23+2(D)23-2

12x1

0的解集是_________.(KEY:{x|1x)x12

xy30x2y50

6.已知实数x,y满足，则y2x的最大值是_________.(KEY:0)

x0y0

5.不等式

7.设函数f(x)lg(2x3)的定义域为集合M，函数g(x)

合N．求：（1）集合M，N；（2）集合MN，MN．

2

的定义域为集x1

32

2x30}{x|0|}{x|x3或x1}N{x|1

x1x1

3

（Ⅱ）MN{x|x3};MN{x|x1或x