微分方程建模

微分方程建模第1页，共73页，2023年，2月20日，星期四适用微分方程建模的情况在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。第2页，共73页，2023年，2月20日，星期四引例一.嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7:30被发现。法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体体温为，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为，室温在几小时内始终保持

.此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？一.嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7:30被发现。法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体体温为，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为，室温在几小时内始终保持

.此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？第3页，共73页，2023年，2月20日，星期四第4页，共73页，2023年，2月20日，星期四

人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即

第5页，共73页，2023年，2月20日，星期四第6页，共73页，2023年，2月20日，星期四微分方程建模重点一、建模问题（清楚），目标（明确）二、建模假设（简化，可求解）三、微元法（无穷小分析）第7页，共73页，2023年，2月20日，星期四1.微分方程建模中假设的提出与修改问题

“商品价格变化的两大特点”：

平衡价格应是商品供需平衡的价位；趋于过程应具有惯性特征：呈现阻尼震荡过程特征

建立在市场经济下价格变动模型

具体问题：试图建立一个数学模型，描绘在健全的市场经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低的价格将会自动趋于平衡

。

建模目的：建立一个价格随时间演变,以阻尼振荡方式逐渐趋于理性的商品供需平衡价格的模型。第8页，共73页，2023年，2月20日，星期四

(3)商品价格的变化速度p’(t)

与市场的过剩需求

D(t)

–S(t)

有关.（最重要的关系）

假定它们之间成正比

:

(2)商品供应S(t)

随价格p(t)

的增大而上升.

假定它们之间的关系也近似为

线性关系;

建模假设：(1)商品需求D(t)

随价格p(t)

的增大而下降.

假定它们之间的关系近似为

线性关系

:(1)商品需求D(t)

随价格p(t)

的增大而下降.

假定它们之间的关系近似为

线性关系

:第9页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型建立：

第10页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型分析：

当

时,

当时,

结论未能达到建模目的！说明商品价格是单调

地趋向平衡价格.

第11页，共73页，2023年，2月20日，星期四

建模假设的修改：

(3)*商品价格的变化速度p’(t)

与市场的过剩需求

D(t)

–S(t)对时间t

的累积量有关(即考虑过剩需求的时间滞后效应).

(2)商品供应S(t)

随价格p(t)

的增大而上升.

假定它们之间的关系也近似为

线性关系;(1)商品需求D(t)

随价格p(t)

的增大而下降.

假定它们之间的关系近似为

线性关系

:

假定它们之间成正比

:第12页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型再建立：

商品价格随时间演变而处在等幅震荡

之中。结论还未能达到建模目的！第13页，共73页，2023年，2月20日，星期四

建模假设的再次修改：

假设(1)、(2)不变；(3)**商品价格的变化速度p’(t)

不仅与市场过剩需求

D(t)–S(t)

对时间t

的累积量有关,

还与当时的价格与平衡价格p*

的偏差程度有关

(即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),

假定它们之间也成正比，且比例系数

仍假定它们之间成正比

;(强调政府宏观调控只是微调)。第14页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型又一次建立：

商品价格随时间演变而呈现阻尼震荡

现象

。该结论达到建模目的！模型可采用

第15页，共73页，2023年，2月20日，星期四2.微分方程模型在模型分析中的主要问题之一

——

稳定性分析

用微分方程方法建立的动态模型问题模型分析中的一个重要问题是：当时间充分长后

，动态过程的变化趋势

是什么？

微分方程模型中,

方程(组)+初始条件→解

初始条件的作用在于确定解,它的微小变化会产生不同的解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影响作用.

问题是这种对解的发展性态的影响作用是长期存在

的,

还是当时间充分大以后,影响作用会“消逝”

?

（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义

第16页，共73页，2023年，2月20日，星期四

有时候,初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变大后,产生显著的差异,这时称系统是不稳定

的;

有时候,初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大后而消失,这时称该系统是稳定的.

在实际问题中,初始状态不能精确地而只能近似地确定,

所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的实际意义。

也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关紧要的。第17页，共73页，2023年，2月20日，星期四

微分方程稳定性理论可以使我们在很多情况下不求解方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是稳定

或不稳定的结论。

研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于该方程解有无解析表达式的研究兴趣。

在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方程是一类称为自治系统的方程。

自治方程是指方程中不显含自变量t

的微分方程，例如第18页，共73页，2023年，2月20日，星期四

自治方程中的解随时间变大如果有稳定的变化趋势，则这个解的最终趋势值只能是该方程的平衡点。的平衡点是指代数方程

的根（可能不止一个根）；的平衡点是指代数方程组的解（可能不止一组解）。

一阶自治方程和二阶自治方程组解的稳定性理论

结果可简介如下：

第19页，共73页，2023年，2月20日，星期四

非线性方程(一个方程)情况

形式

:x’(t)=f(x(t))

平衡点:解f(x)=0,得x=x0.注意:有时该方程的根不止一个.

稳定意义

:当t→∞

时,如x→x0,则称

x0

是稳定的平衡点;否则称

x0

是不稳定平衡点.第20页，共73页，2023年，2月20日，星期四

由此,当f’(x0)＜0时,x→x0;当f’(x0)＞0时,x→+∞.(c)一阶非线性问题的稳定性结论

:

根据有关数学理论,

一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶

线性问题结论完全相同..

研究方法

:(a)作f(x)

的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式):

f(x)≈f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f’(x0)(x-x0);(b)线性问题研究:求解x’=f’(x0)(x–x0),解得

第21页，共73页，2023年，2月20日，星期四非线性方程(两个方程)组情况

平衡点:解f(x,y)=0,得x=x0g(x,y)=0,y=y0.y’(t)=g(x(t),y(t))

形式:x’(t)=f(x(t),y(t)),

稳定意义

:当t→+∞时,如x→x0,y→y0,则称

(x0,y0)是稳定的平衡点;否则称(x0,y0)

是不稳定平衡点.

上面的方程组有时可能不止一组解.第22页，共73页，2023年，2月20日，星期四

研究方法

:

作f(x,y)与g(x,y)的线性替代（利用二元函数的泰勒展开式）:

f(x,y)≈f’x(x0,y0)·(x-x0)+f’y(x0,y0)·(y-y0);g(x,y)≈g’x(x0,y0)·(x-x0)+g’y(x0,y0)·(y-y0).(b)

线性问题研究:

记a1=f’x(x0,y0),a2=f’y(x0,y0),b1=g’x(x0,y0),b2=g’y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1b2

-a2b1,

并无妨设x0=0,y0=0;

第23页，共73页，2023年，2月20日，星期四求解

其中λ1,λ2

为特征方程r2+pr+q=0的两根.这里λ1+λ2=-p,λ1•λ2=q

或写为第24页，共73页，2023年，2月20日，星期四(1)当p＞0,q＞0

时,

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,λ1•λ2=q,

推得λ1

与λ2

均为负数，

故当t→+∞时，eλ1t

与eλ2

t

均趋于零，

系统稳定

;

如果p2–4q＜0，由λ1+λ2=-p,λk=α±βi

中α为负数（k=1，2），

故当t→+∞时，eλk

t=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）也均趋于零，系统仍为稳定的；第25页，共73页，2023年，2月20日，星期四(2)

当p＜0时,

如果p2–4q≥0，由λ1+λ2=-p,可推出

λ1

与λ2中至少有一个为正数，

故当t→+∞时，eλ1t

与eλ2t中至少有一个趋于+∞，系统不稳定;

如果p2–4q＜0，仍由λ1+λ2=-p,可推出

λk=α±βi（k=1，2）中α为正数，

故当t→+∞时,eλkt=eαt（sinβt±cosβt）（k=1，2）趋于+∞，仍可推出系统不稳定。第26页，共73页，2023年，2月20日，星期四(3)当q＜0时,此时必定有p2–4q≥0，

此时系统也必不稳定。

由λ1•λ2=q,可推出λ1

与λ2中至少有一个为正数，

故当t→+∞时，eλ1t

与eλ2t

中至少有一个趋于

+∞

，第27页，共73页，2023年，2月20日，星期四

当p＞0,q＞0时,

相应的平衡点是稳定的；

当p＜0或当q＜0时,

相应的平衡点是不稳定的。综述之，在线性方程组非临界（p≠0)情况中

第28页，共73页，2023年，2月20日，星期四

(C)非线性问题的稳定性结论

:(i)若相应的线性问题是稳定的,则对应非线性问题也是稳定的；(ii)若相应的线性问题是不稳定的,则对应非线性问题也是不稳定的.

在非临界情况下（p≠0)，第29页，共73页，2023年，2月20日，星期四

微分方程稳定性理论的应用实例——渔场防止捕捞过渡问题

建模目的：建立一个在有捕捞的情况下，渔场中鱼量随时间变化的数学模型，藉此研究鱼量数随时间变化的发展趋势。

建模假设：(1)在无捕捞条件下，鱼数量x(t)

的增长服从

Logistic

规律：

(2)有捕捞时，单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比：第30页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型建立与分析：

令

当k＜r时,f’(x1)=r–k>0,x1

为不稳定点,

f’(x2)=k–r<0,x2

为稳定点；

当k＞r时,f’(x1)=r-k<0,x1

为稳定点，

f’(x2)=k–r>0,x2

为不稳定点.第31页，共73页，2023年，2月20日，星期四

捕捞问题的深化——二元方程组情况

建模假设：(1)在无捕捞条件下，鱼量数

x(t)

的增长服从

Logistic

规律：

(2)有捕捞时，单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比：(3)捕捞时，捕捞率k与时间t有关，其关于时间的增长率与捕鱼获得的净利润成正比：(4)鱼的销售单价与单位捕捞率的费用分别为常数

p与c：第32页，共73页，2023年，2月20日，星期四

模型建立与分析：

令

故平衡点(0,0)是不稳定的；第33页，共73页，2023年，2月20日，星期四

当pN＜c时,p2>0,q2>0;q3<0;(x2,k2)

是稳定的，(x3,k3)

是不稳定的；第34页，共73页，2023年，2月20日，星期四

当pN>c时,q2<0;p3>0,q3>0;(x2,k2)

是不稳定的，(x3,k3)

是稳定的；第35页，共73页，2023年，2月20日，星期四3.偏微分方程建模问题——休渔期鱼群分布规律模型

建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。建模假设：(1)海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；海岸0外海x(2)

规定休渔区域在沿海l

公里以内；休渔边界x=

l

外，鱼群将全部被外海渔船打尽；

(3)

任何地点x、任何时刻

t

的鱼群密度分布函数

u(x,t)

为可微函数；第36页，共73页，2023年，2月20日，星期四(4)初始时刻的鱼群密度分布函数u(x,0)为已知函数

u0(x)；(5)t时刻、x处鱼群密度

u(x,t)的增长速度为已知函数f(u);(6)t时刻、x处鱼群数向外游动的扩散量

与ux(x,t)成正比，比例系数为常数a2

：这个假设类似于热量扩散问题中的Fourier法则。第37页，共73页，2023年，2月20日，星期四建模过程

单位时间里，[a,b]段上鱼群数的变化量为：

这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留在[a,b]

段内的鱼群数：

另一项为单位时间里，[a,b]

段内的新生鱼群数：第38页，共73页，2023年，2月20日，星期四

其中初边值条件为：第39页，共73页，2023年，2月20日，星期四0lxt

这个偏微分方程的初、边值问题是适定的，即问题的解是存在、唯一的，且连续依赖于初边值数据。第40页，共73页，2023年，2月20日，星期四4.自由边界问题

自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散过程、土壤封冻解冻过程等等的物理、化学现象之中，

甚至还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等的经济现象之中。

（1）一相Stefan问题

考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。第41页，共73页，2023年，2月20日，星期四

建模假设：

（1）假定冰区域温度恒等于零度；

（2）假定水区域中热量传导服从

Fourier

定律，即

单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点之间的温差成正比；由此可推出以下等式：

（3）假定水的密度ρ、比热c

、热传导系数

k

和为了融化冰为水的潜热

L均为常数。第42页，共73页，2023年，2月20日，星期四

取细棍的一小段[x,x+Δx],设细棍的截面积为s0

厘米2

；

记q(x,t)

为热流密度（卡/秒·厘米2,单位时间内通过单位面积的热量），

则在Δt时间内，沿x方向流入小段[x,x+Δx]的总热量数近似为：q(x,t)·s0·Δt（卡）,

流出小段[x,x+Δx]的总热量数近似为：

q(x+Δx,t)·s0·Δt（卡）,

流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升高，这个热量差可以根据下式计算：（ρ·Δx·s0）·c·[u(x,t+Δt)–u(x,t)]（卡），第43页，共73页，2023年，2月20日，星期四

这样便可得：

根据Fourier定律，有：这个方程称为热传导方程第44页，共73页，2023年，2月20日，星期四

在融化而成的水域里，水的温度u(x,t)

服从热传导方程：ut=a2uxx,x(0,s0),t(0,+).

为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。

在左边界上水温为已知函数：u(0,t)=u1(t)>0;

假定水温的初值为已知函数：u(x,0)=

u0(x)；

由于右边界端处的热传导，冰在不断融化，故水域的右边界是一条移动边界，或称为自由边界。

这条自由边界本身也是需要求解的未知一元函数！第45页，共73页，2023年，2月20日，星期四0L冰水xts0x=s(t)

易知，在移动的右边界s(t)

上水温函数应满足：

u(s(t),t)=0；为了决定自由边界的位置，还需导出边界上另一个条件。t1t2t3t4第46页，共73页，2023年，2月20日，星期四

设在Δt时段内，移动边界向右移动了一段路程

Δx，

Δx为了融化边界移动中消失的冰，需要一份热量，其数量应是：

在Δt时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的总热量根据Fourier定律，应是：

两者应该相等：第47页，共73页，2023年，2月20日，星期四

令Δt→0，可得：于是，融化水区域上任意点处温度u(x,t)随时间t

演变的模型为：xtx=s(t)0s0

偏微分方程理论研究证明了这个问题也是适定的。第48页，共73页，2023年，2月20日，星期四

（2）两相Stefan问题

如果冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导过程，则一相Stefan问题就变成了两相Stefan问题。xtx=s(t)0s0L这个问题的适定性也已获得证明。第49页，共73页，2023年，2月20日，星期四

（3）细胞体内氧气的扩散与吸收问题

细胞体内氧气的会向周边扩散，在扩散的同时，细胞体也在吸收氧气以维持生命；如果细胞得不到氧气的供给将会死亡。建立一个描绘该扩散—吸收过程的数学模型。

为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。第50页，共73页，2023年，2月20日，星期四

建模假设：

（1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边扩散至浓度小的右边；在扩散中，扩散流量

q

的大小与左、右两点的氧气浓度c

的差成正比；即：

（2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体吸收氧气的速度为一常数D

；

（3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体即行死亡，不再参与氧气扩散过程。（k为扩散系数）第51页，共73页，2023年，2月20日，星期四细胞体末端

氧气

考虑细胞体在位置

x

处、长为Δx

的一段细胞上扩散和吸收氧气情况。

在Δt

时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是:

经扩散流出这段细胞内的氧气数量是:

这段细胞内氧气的变化量是：

这段细胞氧气的吸收量是：第52页，共73页，2023年，2月20日，星期四

进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系：

根据假设（1），

氧气扩散、吸收方程第53页，共73页，2023年，2月20日，星期四0xts0

在细胞体左端，在t=0

起断绝氧气输入，故有：

在细胞体右末端x=s

处，始终有条件：

随着氧气的缺乏，右末端的细胞逐渐死亡，故有末端的位置随时间而变动，形成一条自由边界：

x=s(t).第54页，共73页，2023年，2月20日，星期四

氧气扩散、吸收问题：

寻求未知函数对：{c(x,t)，s(t)}，使得它们满足：第55页，共73页，2023年，2月20日，星期四

在初边至充分光滑情况下，这个问题的适定性