2020初中数学中考专题复习-图形变换旋转综合题解答题专项训练附答案详解

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题解答题专项训练(附答案详解)1.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE.(1)如图1,连接BG,DE.求证：BG=DE；(2)如图2,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD,BG=BD求/BDE的度数；(3)在(2)的条件下，当正方形ABCD的边长为、五时，请直接写出正方形CEFG的边长..如图，已知/人08=60°,在NAOB的平分线OM上有一点C,NDCE=120°,当NDCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、0B相交于点D、E.(1)当NDCE绕点C旋转至UCD与0A垂直时(如图1),请猜想OE+OD与0C的数量关系，并说明理由；(2)由(图1)的位置将NDCE绕点C逆时针旋转0角(0＜。＜90°),线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由..如图，E是正方形ABCD申CD边上任意一点.A DS C(1)以点A为中心，把4ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形；(2)在BC边上画一点尸，使4CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，请简要说明你取该点的理由..如图，已知点A(1,0),B(0,3),将4AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△COD,设E为AD的中点.(1)判断AB与CD的关系并证明；(2)求直线EC的解析式..(1)如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，求NEAF的度数.(2)如图②，在Rt△ABD中，NBAD=90°,AB=AD,^M,N是BD边上的任意两点，且NMAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至4ADH位置，连接NH,试判断MN2,ND2,DH2之间的数量关系，并说明理由.(3)在图①中，若EG=4,GF=6,求正方形ABCD的边长.周①) 逵③.矩形ABCD中，AB=2,AD=4,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF(其中E、G、F分别与A、B、D对应).(1)如图1,当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；(2)如图2,当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H,求GH的长；(3)如图3,记O为矩形ABCD对角线的交点，S为^OGE的面积，求S的取值范围.@1 @2 中7.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC使NBOC=65°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处.(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则NMOC=；(2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是NMOB的角平分线，求旋转角NBON和NCON的度数；1(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，NNOC=4NAOM，求NNOB的度数.圄1 图3 图3.如图1,长方形纸片ABCD的两条边AB、BC的长度分别为a、b(0<a<b)，小明它沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片(如图2),再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点A、B、D、E在同一条直线上，且点B与点D重合，点B、F、C也在同一条直线上.图3(1)将图3中的△ABC沿射线AE方向平移，使点B与点E重合，点A、C分别对应点M、N,按要求画出图形，并直接写出平移的距离；(用含a或b的代数式表示)(2)将图3中的△DEF绕点B逆时针方向旋转60°,点E、F分别对应点P、。，按要求画出图形，并直接写出NABQ的度数；(3)将图3中的△ABC沿BC所在直线翻折，点A落在点G处，按要求画出图形，并直接写出GE的长度.(用含a、b的代数式表示).(1)问题发现如图①，在Rt△ABC中，NA=90°,AB=kAC,点D是AB上一点，DE//BC.填空：BD,CE的数量关系为；位置关系为；(2)类比探究如图②，将△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为a(0°＜仁90°),连接BD,CE，请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为a，直线BD，CE交于点F,若AC=1,AB=，当NACE=15°时，请直接写出BF的长..如图，在^ABC中，NACB=90°,AC=BC,以C为顶点作等腰直角三角形CMN.使NCMN=90°,连接BN,射线NM交BC于点D.(1)如图1,若点A,M,N在一条直线上，①求证：BN+CM=AM；②若AM=4,BN=3，求BD的长；(2)如图2,若AB=4,CN=2,将^CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长..如图，在Rt△ABC中，NACB=90°,NBAC=30°,点O是边AC的中点.(1)在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转废得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C.求n的值.(2)将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AApA.、Cq.求证：四边形AA1CC1是矩形；(3)在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A,连结ac2、a2c、cc2.①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；②若AB=4•巧，请直接写出AA2的长.

.在^ABC和^ADE中AC=BC,AE=DE,NACB=NAED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点，连接CE、FE.(1)若AD=3五,BE=4,求EF的长(2)求证：CE=v'2EF(3)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转,使^AED的一边AE恰好与△ABC的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(2)中的结论是否仍然成立，并说明理由..如图，AB是。O的直径，点C是。O上一点，A.CBC，点D是AB上一点(点D与A,B不重合)，连接CD.(1)用尺规作图，线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点孔连接BE；(保留作图痕迹，不写作法.)(2)当AD=BF时，求NBEF的度数.(3)求证：AD2+BD2=2CD2..在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD,

旋转角为a(0°<a<180°),得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.(1)如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为(2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC,①求证：△ACD^ACAE；②直接写出线段DH的长度为(3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.15.边长为6的等边△15.边长为6的等边△ABC中,,分别在AC,BC边上，DE〃AB,EC=(1)如图1,将^DEC沿射线EC方向平移，得到△DEC',边D'E'与AC的交点为M，边C'D'与NACC'的角平分线交于点N.当CC'多大时，四边形MCND'为菱形？并说明理由.(2)如图2,将^DEC绕点C旋转Na(0°<a<360。)，得到△D'E'C,连接AD',BE'.边D'E'的中点为P.①在旋转过程中，AD'和BE'有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD'的值.(结果保留根号)16.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使NBOC=135°,将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方.(1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°,如图2所示，此时NBOM=；在图2中，OM是否平分/CON?请说明理由；(2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在NAOC的内部，请探究：NAOM与NCON之间的数量关系，并说明理由；(3)将图1中的三角板绕点O按每2秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角NAOC,则Z的值为(直接写出结果)17.如图，一伞状图形，已知/人08=120°,点P是/AOB角平分线上一点，且OP=2,NMPN=60°,PM与OB交于点F,PN与OA交于点E.(1)如图一，当PN与PO重合时，探索PE,PF的数量关系.(2)如图二，将NMPN在(1)的情形下绕点P逆时针旋转a度(0<a<60°),继续探索PE,PF的数量关系，并求四边形OEPF的面积.图一 图二18.在4ABC中，AB=AC,在BC边上有两动点D、E,满足2NDAE=NBAC,#△AEC绕A旋转，使得AC与AB重合，点E落到点E’.(1)求证：NDAE'=NDAE；(2)当NBE,D=20°时，求NDEA的度数；(3)当BD=1,EC=2,△BE,D又为直角三角形时，求NBAC的度数.

转n°(0<n<180)得线段PQ，连接AP,BQ.(2)M为线段BQ的中点，连接pm.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=1AP，并说明理由.20.操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.(1)连接AE,求证：AAEF是等腰三角形；猜想与发现：(2)在(1)的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1：DM、MN的数量关系是_；

结论2：DM、MN的位置关系是二拓展与探究：(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.21.已知：如图1,OM是NAOB的平分线，点C在OM上，OC=5,且点C到OA的距离为3.过点C作CD±OA,CE±OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE等于多少;(1)把图1中的/DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时(如图2),上述结论是否成立？并说明理由;(2)把图1中的/DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时:①请在图3中画出图形;②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明..如图①，在AABC中，AB=AC=2,/BAC=120°,点d、E分别是AC、BC的中点，连接DE.AB AD⑴在图①中，Be的值为一；乐的值为一(2)若将ACDE绕点C逆时针方向旋转得到ACD1E1，点d、e的对应点为D1、E1,AD在旋转过程中旅的大小是否发生变化？请仅就图②的情形给出证明.1(3)当ACDE在旋转一周的过程中，A，J，E三点共线时，请你直接写出线段be1的长..如图，在边长为1的正方形网格中，A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1).(1)将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；(2)线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标..(1)解方程：％2-5%-6=0(2)如图，△ABC中NC=90°①将△ABC绕A点逆时针旋转90°,画出旋转后的三角形△AB'C；②若BC=3,AC=4,B点旋转后的对应是B，，求BB'的长3C V.如图，已知点D是线段BC上一点，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=90o.

(1)线段AB(1)线段AB绕点逆时针旋转。可与线段AC重合.(2)若ZBAD=70。，则ZCAE=(3)若EC=4,BD=2DC,贝UBC=.在等边VABC中，D是边AC上一点，连接BD，将VBCD绕点b逆时针旋转60。，得到VBAE，连接ED，若BC=5,BD=4，有下列结论：①AEPBC；②ZADE=NBDC；③VBDE是等边三角形；④VADE的周长是9.其中，正确结论的个数是(9.其中，正确结论的个数是(nn)27.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(1)求证:DE，AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转a角(0°<a<360°)得到正方形OEFG',如图2.①在旋转过程中，当NOAG'是直角时，求a的度数；②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说明理由..正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和2<2，点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE.(1)如图1,求证：DG±BE；(2)如图2,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求线段BE的长.图I 图2.如图，在RtAABC中，NC=90。，ACAB=35。，BC=7.线段ad由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125。得到，AEFG由AABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.AC(1)求/DAE的大小；(2)求DE的长.30.如图，两个形状，大小完全相同的含有30°,60°的三角板如图①放置，PA,PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转。(1)试说明：NDPC=90°；(2)如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分/APD,PE平分/CPD，求/EPF。(3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3o/so

同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2o/s,在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运)，问^CPD的值是否变化？/BPN若不变，求出其值，若变化，说明理由。31.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10.(1)尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P‘AB(不要求写作法，但需保留作图痕迹).(2)求点P与点P'之间的距离及NAPB的度数.32.在菱形ABCD中，NBAD=a,E为对角线AC上的一点(不与A,C重合)将射线EB绕点E顺时针旋转P角之后，所得射线与直线AD交于F点.试探究线段EB与EF的数量关系.(1)如图1,当a=0=90°时，EB与EF的数量关系为(2)如图2,当a=60°,0=120°时，①依题意补全图形；②探究(1)的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例证明.已知矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6图1 图；操作将矩形纸片沿EF折叠使点B落在边CD上.探究(1)如图1,若点B与点D重合，你认为^EDA1和^FDC全等吗？如果全等，请给出证明；如果不全等，请说明理由；(2)如图2，CD上是否存在一点B1，当点B落在B1处时，△FCB1与工B1DG全等？若存在，求出B1C的长度；若不存在，说明理由..阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，小胖发现若NBAC=ZDAE,AB=AC,AD=AE,则UBD=CE.⑴在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2,AB=BC,NABC=NBDC=60°,求证：AD+CD=BD；(3)如图3,在4ABC中，AB=AC,NBAC=m°，点E为^ABC外一点，点D为BC中点，ZEBC=ZACF,EDLFD,求NEAF的度数(用含有m的式子表示)..如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把AADE顺时针旋转到AABF的位置.FB c(1)连结EF，试判断AAEF的形状；(2)若四边形AECF的面积为36,DE=2，求AE的长.

.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BA=BC=3石2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得^MNC,连结BM，求BM的长.37.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BP,DQ.A B A B著用图(1)依题意补全图1;(2)①连接DP,若点P,Q,D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；②若点P,Q,C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为:38.已知NABC中，AB=AC,D、E是BC边上的点，将NABD绕点A旋转，得到NACD,连结DE.(1)如图1,当/BAC=120。，/DAE=60。时，求/dfAE的度数；(2)如图2,当DE=D'E时，求证：ZDAE=1ZBAC.2(3)如图3,在Q)的结论下，当ZBAC=90。,BD与DE满足怎样的数量关系时，△D'EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由).如图，四边形ABCD中，ZABC=ZADC=45。，将NBCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到NACE.

⑴请求出旋转角的度数；(2)请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；⑶若AD=2，CD=3,试求出四边形ABCD的对角线BD的长..如图1,AABC为等腰直角三角形，/ACB=90。，F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论，(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2的情形，BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，证明你的判断.(3)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按逆时针方向旋转105。，得到如图3的情形，点E恰好落在斜边AB上，若AC=BC=2<3+2，求正方形CDEF的边长..如图1,^ABC和AADE是两个完全重合在一起的等腰直角三角形，^ACB=ZAED=90。.现将AABC固定，将AADE绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为Za(0O<Za<135。)，过点b作BF//DE交ec的延长线于点F，连接be,DF.(1)如图2,当Za=90O时，判断四边形BEDF的形状，并说明理由;(2)如图3,当00</a<135。时，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由..如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：尸ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB=421，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C.(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.图1 国？.AABC与AADE都是等腰直角三角形，且AC=AB，AD=AB，连接口0点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点(1)如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ;(2)把等腰RtAADE绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断APMN的形状，并说明理由；(3)把等腰RtAADE绕点A在平面内任意旋转，AD=2，AB=6，请直接写出逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.5①线段DB和DG的数量关系是②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形ABCD为菱形，ZADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将ZBDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2,点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度..已知：如图，在AABC中，/BAC=120。，以BC为边向形外作等边三角形ABCD,把AABD绕着点D按顺时针方向旋转60。后得到AECD,若AB=3,AC=2，求/BAD的度数与AD的长..如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为」.

(1)当点D恰好落在EF边上时，求旋转角上的值;(2)如图2,G为BC的中点，且0°＜上＜90°,求证：GD'=E'D；(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，ADCD'与ACBD'能否全等?若能，直接写出旋转角状的值；若不能，说明理由..如图1,直角三角形ABC中，ZC=90°,CB=1,ZBAC=30°.(1)求AB、AC的长;(2)如图2,将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD.①连接CE,BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F,请你作出符合题意的图形并求出DE的长.(1)(问题发现)如图1,△ABC和^ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90°,延长CA到点F,使得AF=AC,连接DF、BE,则线段BE与DF的数量关系为，位置关系为;(2)(拓展研究)将^ADE绕点A旋转，(1)中的结论有无变化？仅就图(2)的情形给出证明;(3)(解决问题)

当AB=2,AD=21,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时，直接写出线段DF的长.49.如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC.AD在同一条直线上，点当AB=2,AD=21,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时，直接写出线段DF的长.49.如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC.AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH.S®(1)猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论;(3)若AD=2,AC=4,将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数..△ABC中，AC=BC,ZACB=g，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转a得到线段DE，连接AE、BE、CD.(1)如图①，点D与点A在直线BC的两侧，a=60。时，A E普用图7万的值是 ;直线AE与直线CD相交所成的锐角的度数是 度;AE(2)如图②，点D与点A在直线BC两侧，a=90。时，求万万的值及直线AE与直线CD相交所成的锐角ZAMC的度数;1 3…一，，一(3)当a=90°,点D在直线AB的上方，5心=-S^A比，请直接写出当点C、D、E△ABD2, △ABC在同一直线上时，BE在同一直线上时，BE面的值.已知，如图：在△ABC中，AC=3,BC=6,NC=600;(1)将4ABC绕着点C旋转，使点A落在直线BC上的点段,点B落在B',在下图中画出旋转后的△A'B'C出旋转后的△A'B'C.(2)直接写出AfB的长，A,B=,.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片AABC和ADEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把ADEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与向旋转，这时AC与DF相交于点O.(1)当ADEF旋转至如图②位置，点B(E),C,D在同一直线上时，ZAFD与NDCA的数量关系是(2)当ADEF继续旋转至如图③位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.(3)在图③中，连接BO,AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明..如图1,O为直线AB上一点，OC为射线，ZAOC=40°,将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方.BAo B管用囹(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分ZAOC(如图2),试说明OE平分ZBOC；(2)将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在ZBOC内部，且ZCOD1=3ZBOE时，求ZAOE的度数：(3)将图1中的三角板和射线OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？.如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度aG。<^<90。)得到正方形AB'C'D'.(1)如图1,B'C'与AC交于点M,CD'与ad所在直线交于点N,若MN//B'D',求a-,(2)如图2,C'B'与CD交于点。，延长C'B'与BC交于点乙当a=30。时.②若AB=6,求PQ的长度..正方形ABCD中，△ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到△ABM,点M、B、C在一条直线上，且△AEM与^AEF恰好关于AE所在直线成轴对称。已知EF=7,正方形边长为8。*BEC(1)写出图中形状、大小都相等的三角形(2)求^EFC的面积。.如图，已知一个正方形ABCD,^P是边BC上一点.将AABP绕点A逆时针方向旋转90°得到AAB1p(点B,P的对应点分别是B、p)(1)画出旋转后所得到的^AB1P;(2)联结PP，设AB=a,BP=b，试用a、b表示\APP的面积；1 1(3)若AAPP的面积为18，AABP的面积为5,试求PC的长.1.如图，在长方形ABCD中，AB=a,BC=b(a>b)，将长方形ABCD绕点D逆时针旋转90°,点A、B、C分别对应点E、F、G.⑴画出长方形EFGD;(2)连接BD、DF、BF,请用含有a、b的代数式表示ABDF的面积;(3)如果BF交CD于点H,请用含有a、b的代数式表示CH的长度..如图1,在锐角△ABC中，AB=5,AC=4<2,ZACB=45°(1)计算：求BC的长;(2)操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2,当点C1在线段CA的延长线上时.①求ZCC1Al的度数；②求四边形A1BCC1的面积；(3)探究：如图3,点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1Bq中，点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.

.将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知/BAC=/B1A1C=30°.固定三角板A1B1c，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转(旋转角小于90°)至如图2所示的位置，AB与AC、A1B1分别交于点D、E,AC与A1B1交于点F.(1)当旋转角等于20°时，ZBCB1=(2)当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由.且⑷)图1 02.如图1,直线DE上有一点0,过点O在直线DE上方作射线OC,ZCOE=140°,将一直角三角板A0B的直角顶点放在点0处，一条直角边0A在射线0D上，另一边0B在直线DE上方，将直角三角板绕着点0按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为Z秒.酉1 苗2(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，0A恰好平分ZC0D,求此时ZB0C的度数；(2)若射线0C的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线0A、0C、0D中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线0C也绕0点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线0C平分ZB0D.直接写出t的值.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角)参考答案(1)见解析；(2)/BDE=60。；(3)<3-1.【解析】【分析】⑴根据条件，证明ABCG=ADCE(SAS)，即可得到结论；(2)连接BE，由BG=DE,BG=BD,得：DE=BD,由CG//BD，得：/DCG=ZBDC=45。，/BCG=90。+45。=135。,/BCE=/BCG，进而，可得:ABCG=ABCE(SAS)，即可得到结论；⑶过点G作GMXBC,交BC的延长线于点M,设CM=x,则GM=x,CG=五x,在在RtBGM中，根据勾股定理，列出方程，即可求解.【详解】•・•四边形ABCD和CEFG是正方形•.BC=DC,CG=CE,/BCD=/ECG=90o,•・/BCG=/DCE,在ABCG和ADCE中，[BC=DC/BCG=/DCE,CG=CEABCG=ADCE(SAS)•.BG=DE；(2)连接BE，如图2,・,BG=DE,BG=BD,•.DE=BD,・•CG//BD,•・/DCG=/BDC=45o,•・/BCG=90o+45o=135o,/BCE=360o-135o-90o=135o=/BCG,在ABCG和ABCE中，产二BC/BCG=/BCECG=CE•・ABCG=ABCE(SAS),•.BE=BG,•.DE=BD=BE,•・ABDE是等边三角形，•・/BDE=60o；(3)过点G作GMLBC,交BC的延长线于点M,如图2,:/BCG=135o,.•.NGCM=45°,设CM=x，贝UGM=x,CG=22x,・•正方形ABCD的边长为y'2,•・BC=j2,BG=BD=2,•在RtBGM中，BM2+GM2=BG2,・・(、；2+x)2+x2=22，解得：xJ'%'6,x= 6(舍)1 2 2 2•・CG=22x=<3-1,即：正方形CEFG的边长是：,/3-1.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键.(1)OE+OD=$3OC,见解析；(2)OD+OE=J3OC或OE-OD=j30C,见解析【解析】【分析】(1)先判断出NOCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出OD=OE=亘OC,即可得出2结论；(2)分两种情况画图，同(1)的方法得OF+OG=J3OC,再判断出^CFD04CGE,得出DF=EG,最后等量代换即可得出结论.【详解】解：(1)OE+OD=J3OC.理由如下：VOM是NAOB的平分线，1AZAOC=ZBOC=-ZAOB=30°,2VCDXOA,AZODC=90°AZOCD=60°AZOCE=ZDCE-ZOCD=60°,在RtAOCD中，OD=OCcos30°=亘OC,2同理：OE=23oC,2AOD+OE=x.;3OC；(2)OD+OE=<3OC或OE-OD=43OC.理由如下：①如备用图1,过点C作CFXOA于点F,CGXOB于点G,AZOFC=ZOGC=90°VZAOB=60°,AZFCG=120°,同(1)的方法得，OF=亘OC,OG=上3OC,2 2AOF+OG=<3OC,VCFXOA,CG^OB,且点C在/AOB的平分线上，ACF=CG,VZDCE=ZFCG=120°,AZDCF=ZECG,.•.△CFDSCGE(ASA)ADF=EG,AOF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-GE,AOF+OG=OD+OE,AOD+OE=<3OC；②如备用图2,过点C作CF±OA于点F,CG±OB于点G,AZOFC=ZOGC=90°VZAOB=60°AZFCG=120°,同(1)的方法得，OF=23OC,OG=」3OC,2 2AOF+OG=<3OC,VCFXOA,CG^OB,且点C在/AOB的平分线上，.•・CF=CG,VZDCE=ZFCG=120°,AZDCF=ZECG,.•.△CFDSCGE(ASA).•・DF=EG,.•・OF=DF-OD=EG-OD,OG=OE-GE,AOF+OG=OE-OD,AOE-OD=v'3OC；综上所述：线段OD、OE与OC之间的数量关系为：OD+OE=<3OC或OE-OD=<3OC.【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键.3.见解析【解析】【分析】(1)利用旋转的性质得出△ABE'的位置；(2)根据全等三角形的判定与性质得出^AEF/^AE'F(SAS),以及EF=E'F=BF+DE,进而得出EF+EC+FC=BC+CD.【详解】解：(1)如图所示：△ABE'即为所求；(2)作NEAE'的平分线交BC于点尸，则4CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，在^AEF和^AE'F中AE=AE'•:<ZEAF=ZE'AF,AF=AF.•.△AEFSAE'F(SAS),.•・EF=E'F=BF+DE,••・EF+EC+FC=BC+CD.3 D" C考点：作图-旋转变换.(1)AB=CD,AB±CD,证明详见解析；(2)y=x+1.【解析】【分析】(1)根据旋转的性质即可证得△COD/△AOB，即可证得AB=CD,ZA=ZDCO,从而证得/A+ZD=90°得到ZDFA=90°,证得AB±CD；(2)根据全等三角形的性质得到OB=OD,OA=OC,进一步得到C(0,1),E(-1,0),然后根据待定系数法即可求得.【详解】AB=CD,AB±CD.,/△COD是由△AOB绕点O逆时针旋转90°所得F・•・△COD"AOB・•・AB=CD.延长CD交AB于FAZA=ZDCOAZA+ZD=90°AZDFA=90°AAB±CD；):△CODSAOB，AOB=OD,OA=OC又：A(1,0),B(0,3)AOA=1=OC,OB=3=OD,C(0,1)贝UAD=OA+OD=1+3=4又：E是AD的中点，AAE=2AE(-1,0)设直线EC的解析式为y=kx+b—k+b=0 [k=1则有1k+b=1解得]b=1A直线EC的解析式为尸x+1.【点睛】本题考查了旋转作图和一次函数的知识，解题的关键是仔细审题得出旋转的三要素，掌握旋转后点的坐标的特点.(1)45°.(2)MN2=ND2+DH2.理由见解析；(3)12.【解析】【分析】(1)先根据AGXEF得出△ABE和^AGE是直角三角形，再根据HL定理得出△ABE04AGE,故可得出NBAE=NGAE,同理可得出NGAF=NDAF,由此可得出结论;(2)由旋转的性质得出NBAM=NDAH,再根据SAS定理得出^AMN04AHN,故可得出MN=HN.再由NBAD=90°,AB=AD可知NABD=NADB=45°,根据勾股定理即可得出结论；(3)设正方形ABCD的边长为x，则CE=x-4,CF=x-6，再根据勾股定理即可得出x的值.【详解】解：(1)在正方形ABCD中，ZB=ZD=90°,VAGXEF,.•.△ABE和^AGE是直角三角形.在R3ABE和R3AGE中，JAB=AG\AE=AE'.△ABE"AGE(HL),.\ZBAE=ZGAE.同理，ZGAF=ZDAF.1.\ZEAF=ZEAG+ZFAG=-ZBAD=45°.2MN2=ND2+DH2.由旋转可知：ZBAM=ZDAH,,?ZBAM+ZDAN=45°,.\ZHAN=ZDAH+ZDAN=45°..\ZHAN=ZMAN.在^AMN与^AHN中，JAM=AH/HAN=/MAN,AN=AN.△AMN"AHN(SAS),•・MN=HN.VZBAD=90°,AB=AD,AZABD=ZADB=45°..\ZHDN=ZHDA+ZADB=90°.•・NH2=ND2+DH2..•・MN2=ND2+DH2.(3)由(1)知，BE=EG=4,DF=FG=6.设正方形ABCD的边长为x,则CE=x-4,CF=x-6.,?CE2+CF2=EF2,；.(x-4)2+(x-6)2=102.解这个方程，得x1=12,x2=-2(不合题意，舍去).•・正方形ABCD的边长为12.【点睛】本题考查的是几何变换综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，难度适中.― 3 - -6.(1)4-2v3;(2)y;(3)4-<5<S<4+.5【解析】【分析】(1)在RtADCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；(2)首先证明AH=CH,设AH=CH=m，则DH=AD-HD=4-m,在RtADHC中，根据CH2=CD2+DH2,构建方程求出m即可解决问题；(3)如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE'G'的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题.【详解】解：(1)如图1中，,・•四边形ABCD是矩形，ABC=AD=CG=4,ZD=90°,VAB=CD=2,，DG=\：CG2—CD2=<42-22=2<3,AAG=AB-BG=4-2<3,故答案为：4-2<3.(2)如图2中，E图2由四边形CGEF是矩形，得到NCGE=90°,・•点G在线段AE上，AZAGC=90°,CA=CA,CB=CG,.\RtAACG0R3ACB(HL).AZACB=ZACG,・•AB〃CDAZACG=ZDAC,AZACH=ZHAC,•・AH=CH,设AH=CH=m，则DH=AD-AH=5-m,在RtADHC中，•・,CH2=DC2+DH2,.•.m2=22+(4-m)2,5 •・AH=-,GH=vAH2-AG2=2(3)在RtAABC中，AC=、、,A&十BC2=2V5，℃=|AC=、区,由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，1 1 - -即^OGE的面积最小，最小值=5xOGxEG=-x2x(4-75)=4-<5.1当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE'G'的面积最大.最大值=5xE'G'xOG'=2x2x(4+<5)=4+%，5.综上所述，4-芯<S<4+<5.【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.(1)比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键;(2)能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；(2)理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小(大)时G点的位置是解决此问的关键.7.(1)25°；(2)25°；(3)70°.【解析】试题分析：(1)根据NMON和NBOC的度数可以得到NMON的度数；(2)根据角平分线的性质，由NBOC=65°,可以求得NBOM的度数，然后由NNOM-90。,可得NBON的度数，从而得解；1(3)由NBOC=65。，ZNOM=90°,ZNOC=4NAOM,从而可求得NNOC的度数，然后由NBOC=65°,从而得解.试题解析：(1)QNMON=90,ZBOC=65°ZMOC=ZMON-ZBOC=9O°-65°=25°QZBOC=65°,OC平分NMOB•二NMOB=2NBOC=130°，NBON=NMOB-NMON=130°-90°=40°•二NCON=NCOB-NBON=65°-40°=25°(3)QNNOC」ZAOM ，ZAOM=4ZNOCQNBOC=65°4，ZAOC=ZAOB-ZBOC=180°-65°=115°QZMON=90°•二ZAOM+ZNOC=ZAOC-ZMON=115°-90°=25°，4ZNOC+ZNOC=25°，ZNOC=5°，ZNOB=ZNOC+ZBOC=70°点睛：此题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键.(1)画图见解析；平移的距离是b；(2)画图见解析；？A8Q30?；(3)画图见解析:GE的长度是(b—a).【解析】【分析】解：(1)根据平移作图的步骤进行平移作图即可，观察对应点之间的距离判断即可(2)根据旋转作图的步骤进行旋转作图即可，计算ZABQ的度数，可以通过通过旋转作图过程，求出ZQBF的度数.(3)根据翻折作图的步骤找到A点的对应点G,然后连接CG即可.【详解】(1)①找出已知图形中的相关的点A,B,C;②过这些点作与已知平移方向平行的线段,使这些平行线段的长度都等于平移的长度b.③依照图形依次连接对应点，得到新的图形,这个图形就是已知图形的平移图形.按要求画出正确的图形.平移的距离是b.

(2)①在已知图形上找到旋转中心B,点C、点A;②作出这些点的对应点,对应点的找法是:以旋转中心为顶点，以BC为一边，向逆时针方向作角的另一边,使这些角等于60度,且使另一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度，在这些”另一边”的端点P就是点C的对应点;同理找到点A的对应点Q.③顺次连接对应点P、Q、B.VZABC=90°,又•「BQ是由BF绕点B逆时针旋转60°得到的.\ZQBF=60°・•.牙队6。=NABC-/QBF=90-60鞍30.(3)以点B为圆心，以BA长为半径作弧，交BE与点G,连接CG,ACGB即为所求的图形.如图：由题意知BE=b,AB=a•••△CGB是由△CAB翻折而来，.•・BA=BG=a,，GE的长度是BE-BG=(ba).【点睛】本题考查了平移、旋转、翻折的作图方法以及它们的性质应用，解决本题的关键是熟练掌握平移、旋转、翻折的方法和性质，能够找到相等的量和角.(1)问题发现：BD=k•CE；BD±CE；(2)类比探究：(1)中的结论还成立，理由见解析；(3)拓展延伸：BF的长为<2或金L2.2【解析】【分析】BDCE(1)由平行线分线段成比例可得 =—，由已知条件即可得BD=k<EC；由NA=90°即ABAC可得出BDXCE；BDAB(2)通过证明^ABDs^ACE,可得 = =k,即可得BD=k<EC；再证出NBFC=90°,CEAC即可得出BDXCE；(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得NACE=NABD,即可证NBFC=90°,由直角三角形的性质和勾股定理可求BF的值.【详解】(1)问题发现：解：•「DE〃BC,BDCE*•• 二,ABAC,/AB=k•AC,BD=k•CE,VZA=90°,AB±AC,BD±CE；故答案为：BD=k•CE；BD±CE；(2)类比探究：解：(1)中的结论还成立，理由如下：延长CE交BD于忆如图②所示：由旋转的性质可知，ZBAD=ZCAE,・•DE〃BC,ADAE*..———,ABACADAB,AEAC△ABD^AACE,BDAB.——= =k,ZABD=ZACE,CEACBD=k•EC；VZCBF+ZBCF=ZABD+ZABC+ZBCF=ZACE+ZBCF+ZABC=ZACB+ZABC=90°,•ZBFC=90°,.BD±CE；(3)拓展延伸：解：由旋转的性质可知：ZBAD=ZCAEADAB••-.二,AEAC△ABDsAACE,ZACE=15°=ZABD,VZABC+ZACB=90°,ZFBC+ZFCB=90°,ZBFC=90°,ZBAC=90°,AC=1,AB=%3,tanZABC= ,3ZABC=30°,ZACB=60°,分两种情况：①0°<aW90°时，如图②所示：•在RtABAC中，ZABC=30°,AC=1,・•・BC=2AC=2,V在RtABFC中，ZCBF=30°+15°=45°,BC=2,・•・BF=CF=21；②490°时，如图③所示:设CF=m在BF上取点G,使ZBCG=15°VZBCF=60°+15°=75°,ZCBF=ZABC-ZABD=30°-15°=15°,AZCFB=90°,AZGCF=60°,ZCBF=ZBCG,ACG=BG=2a,GF=<3a.ABF=BG+GF=(2+j3)a,VCF.2+BF2=BC2Aa2+(2a+<3a)2=22,解得：a2=2-v3,..a= 2—\;3,ABF=(2+<3)2——33=v'(2+<3)2(2—行)=<2+<3=；"2即：BF的长为％，工或【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定难度，证明^ABD^AACE是解题的关键.(1)①证明见解析；②且89；(2)2.16【解析】【分析】(1)①如图，过点C作CFXCN,交AN于点F,由等腰直角三角形的性质，可求NCNM=45°,CM=MN,即可证NFCN=NACB,NCFN=NCNF=45°,根据“SAS诃证ACF04BCN,可得AF=BN,根据等腰直角三角形的性质可得MF=MN=CM,即可证BN+CM=AM；②由题意可求出CM=MN=5，由全等三角形的性质可得NCAF=NCBN,即可证NMCD=NCBN,则CM〃BN,可得△MCDs^NBD,根据相似三角形的性质和勾股定理可求BD的长；(2)分NBDH=90°,NDHB=90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求CD的长.【详解】证明：(1)①如图，过点C作CF±CN,交AN于点F,C「△CMN是等腰直角三角形，AZCNM=45°,CM=MN,:CF±CN,ZACB=90°,AZFCN=ZACB,ZCFN=ZCNF=45°,AZACF=ZBCN,CF=CN,且AC=BC,•・△ACFSBCN(SAS),AAF=BN，VCF=CN,CM±MN,AMF=MN=CM，AAM=AF+FM=BN+CM

②AM=4,BN=3,BN+CM=AM,^2・，・CM=MN=5,2AZCAF=ZCBN,VZCAF+ZACF=ZCFN=45°,ZBCN+ZMCD=ZMCN=45°AZCAF=ZMCD,且ZCAF=ZCBN,AZMCD=ZCBNACM〃BN：.△MCDs&NBD,ZCMD=ZBND=90°CMMD5•一 A ——BNND3AMD=5ND35VMD+ND=MN=一2ANDAND1516, . ., . . 3<89在RtADNB中，BD=JNB2+DN2=——、 16(2)(2)若ZBDH=90°,如图，此时点M与点D重合，•:△CMN是等腰直角三角形，CN=2ACM=MN=、红ACD=v；2,若ZBHD=90°,如图，AZBDH=45°AZCDN=45°=ZNACD=CN=2.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质以及分类思想，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.(1)n=60°；(2)见解析；(3)①m=120°,四边形AA2CC2是矩形；②AA2=3<?.【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质求出ZCOC1即可.(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.(3)①求出ZCOC2即可，根据矩形的判定证明即可解决问题.②解直角三角形求出A2c2,再求出AA2即可.【详解】(1)解：如图1中，C1的-11图1由旋转可知：△1B1cl/△ABC,AZA1=ZA=30°,•・•OC=OA,OA1=OA,・•・OC=OA1,AZOCA1=ZA1=30°,AZCOC1=ZA1+OCA1=60°,An=60°.(2)证明：如图2中，图2OC=OA,OA1=OC1,A四边形AA1CC1是平行四边形，:OA=OA1,OC=OC1,AAC=A1C1,A四边形AA1CC1是矩形.(3)如图3中，图3①：OA=OA2,AZOAA2=ZOA2A=30°,AZCOC2=ZAOA2=180°-30°-30°=120°,Am=120°,:OC=OA,OA2=OC2,A四边形AA2CC2是平行四边形，:OA=OA2,OC=OC2,・•・AC=A2C2,・•・四边形AA2CC2是矩形.②：AC=AC0=AB-cos30°=4卤x亘=6,22 2/.AA=AC«cos30°=6x=3\3.2 22 2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.(1)2.5；(2)见解析；(3)成立，见解析【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求得DE长，再根据勾股定理求得BD长，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求；(2)通过角之间的关系证出/ECF=45。=/CEF,判断出AECF是等腰直角三角形，斜边和直角边的关系即为结论；(3)连接CF,延长EF交CB于点6通过辅助线构建全等模型，即VE0F三VGBF，通过全等三角形的性质证明；也可证明VACF=VBCF，利用全等三角形的对应边相等，再结合垂直平分线的性质证明.【详解】解：(1)Q/AED=90。AE=DE,AD=3<2,AE=DE=3,在RtVBDE中,QDE=3,BE=4,,\BD=5又QF是线段BD的中点,EF=；BD=2.5;(2)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=<2FE心C图1BQ/AED=ZACB=90。..■''：、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，点F是BD的中点，点F是圆心,，EF=CF=FD=FB,:.乙FCB=/FBC,/ECF=/CEF:/DCE=/DBE../FCB+/DCE=/FBC+/DBE=45。../ECF=45。=/CEF,••△ECF是等腰直角三角形，CE=<2EF.A AH]2Z(3)(1)中的结论仍然成立.解法1:如图2-1,连接CF,延长EF交CB于点G,Q/ACB=ZAED=90。.DE//BC,../EDF=ZGBF,在VEDF和VGBF中，叱EDF=/GBFDF=BF，、/EFD=ZGFB:VEDF=VGBF,EF=GF,BG=DE=AE,QAC=BC,:.CE=CG・./EFC=90o,CF=EF,:ACEF为等腰直角三角形，:./CEF=45°,:CE=<2EF；解法2:如图2—2,连结CF、AF,Q/BAD=/BAC+/DAE=45°+45°=90°,点F是BD的中点，:FA=FB=FD,在VACF和VBCF中，|FA二FBIAC=BC，CF=CF:VACF=VBCF.:/ACF=/BCF=1/ACB=45°,2•.•FA=FB,CA=CB,ACF所在的直线垂直平分线段AB,同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,VDAXBA,AEFXCF,：VCEF为等腰直角三角形:CE=纪2EF.【点睛】本题考查了几何图形的综合变换，通过全等三角形得出对应线段相等求解，掌握全等三角形常见模型及能构建出全等模型是解答此题的关键.(1)如图，见解析；CE、BE为所作；(2)ZBEF=67.5°；(3)见解析.【解析】【分析】(1)延长线段DC,以C为圆心，以适当的长为半径画弧交CD于两点M、N.2)分别以两点为圆心，以大于二分之一MN同样长为半径画弧，两弧交于P,作射线CP，以C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线CP与点E，连接BE即可.(2)根据圆中，直径对直角推导出，△ACB为等腰直角三角形，根据旋转的性质得到，C。=CE,ZACD=ZBCE,由此判断呢△ACD/△BCE,得到/CBE=ZA=45°,再根据AD=BF推出NBEF=NBFE,最后计算NBEF的度数即可.(3)根据勾股定理可得BE2+DB2=DE2,根据题意和直角三角形的边角关系可得BE=AD,DE=QCD,然后换算解决即可.【详解】(1)解：如图，CE、BE为所作；(2)解：.「AB为直径，AZACB=90°,「AcBC,AAC=bc,・•・△ACB为等腰直角三角形，AZA=ZABC=45°,「线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,AZDCE=90°,CD=CE,AZACD=ZBCE,在^ACD和^BCE中产二CB/ACD=/BCE,CD=CE:、△ACD"BCE(SAS),•・AD=BE,ZCBE=ZA=45°,,?AD=BF,：.BF=BE,：.ZBEF=ZBFE,.•・ZBEF=1(180°-45°)=67.5°；2(3)证明：VZABC=45°,ZCBE=45°,.ZDBE=90°,.BE2+DB2=DE2,BE=AD,DE=J2CD,.AD2+BD2=2CD2.【点睛】本题考查了垂线的画法，旋转的性质，勾股定理及三角形全等判定，解决本题的关键是①熟练掌握旋转的性质；②熟练掌握三角形全等的判定③正确理解掌握勾股定理的形式.5 5514.(1)3-<5(2)①证明见解析，②工；(3)存在，—.6 8【解析】【分析】⑴根据勾股定理求出DE的长度，即可求解.(2)①根据HL即可判定三角形全等.②设DH=x,CH=AH=3—x,在RtAADH中根据勾股定理即可求解.3(3)如图③中，连接PA,作BMXPE交PE的延长线于M.根据题意可得：PF=PG=-,5 1 5则PA=PE=-,SAPBE=-PEBM=]BM,当BM的值最大时，△PBE的面积最大，求出BM的最大值即可.【详解】⑴DE二、AE2—AD2;y32—22二<5,CE=CD-DE=3-<5.故答案为3-<5(2)①证明：如图②中，•・•当点E落在线段CF上，AZAEC=ZADC=90°,在RtAADC和RtAAEC中，JAC=CAICD=AE,ARtAACD0R3CAE(HL)；图③(3)存在.理由：如图③中，连接PA,作BMXPE交PE的延长线于M.由题意：PF=PG=—,5VAG=EF=2,ZG=ZF=90°,APA=PE=-,25ASApbe=2-PE-BM=4BM，A当BM的值最大时，△PBE的面积最大，VBM<PB,PB<AB+PA,511 11 11APB<3+-=—,ABM<—,ABM的最大值为不，此时点B、A、P三点共线，55AAPBE的面积的最大值为弁.8【点睛】考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大.(1)当CC'=<3时，四边形MCND是菱形，理由见解析；(2)①AD'=BE',理由见解析;②2^21.【解析】【分析】(1)先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM,即可求出CC'；(2)①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD04BCE'即可得出结论；②先判断出点A,C,P三点共线，先求出CP,AP,最后用勾股定理即可得出结论.【详解】(1)当CC'=<3时，四边形MCND'是菱形.理由：由平移的性质得，CD〃C'D',DE〃D'E',,/△ABC是等边三角形，AZB=ZACB=60°,AZACC'=180°-ZACB=120°,/CN是NACC'的角平分线，AZD'E'C'=1ZACC'=60°=ZB,2AZD'E'C'=ZNCC',・，・D'E'〃CN,・•・四边形MCND'是平行四边形，VZME'C'=ZMCE'=60°,ZNCC'=ZNC'C=60°,...△MCETMNCC'是等边三角形，.•・MC=CE',NC=CC',/E'C'=2<3,二•四边形MCND'是菱形，••・CN=CM,.•・cc'=；e'C'=*3；(2)①AD'=BE',理由：当a于181时\由旋转的性质得，ZACD'=ZBCE',由（1）知，AC=BC,CD'=CE',.•.△ACD'SBCE',.•・AD'=BE',当a=180°,AD'=AC+CD',BE'=BC+CE',即：AD'=BE',综上可知：AD'=BE'.②如图连接CP,A在^ACP中，由三角形三边关系得，APVAC+CP,，当点A，C，P三点共线时，AP最大，如图1,D1在^D'CE'中，由P为D'E的中点，得APXD'E',PD'=<3,.•・CP=3,.•・AP=6+3=9，在RtAAPD'中，由勾股定理得，AD'=、-Aip2+PDf2=2<21.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A,C,P三点共线时，AP最大.（1）90°,平分，理由见解析；（2）见解析；（3）9或81【解析】

【分析】⑴利用旋转的性质可得NBOM的度数，然后计算NMOC的度数判断OM是否平分NCON；(2)利用NAOM=45°-ZAON和NNOC=45°-ZAON可判断NAOM与NCON之间的数量关系；(3)ON旋转22.5度和202.5度时，ON平分NAOC,然后利用速度公式计算r的值【详解】(1)如图2,ZBOM=90°,OM平分NCON.理由如下：ZBOC=135°,•••/MOC=135°-90°=45°,而NMON=45°,NMOC=NMON;故答案为90°;(2)ZAOM=ZCON理由如下：如图3,ZMON=45°,ZAOM=45°-ZAON,AZAOC=45°,AZNOC=45°-ZAON,AZAOM=ZCON(3)T=22.5°;2.5°=9(秒)或t=(180°+22.5°):2.5°=81(秒)答为90°；9秒或81秒【点睛】本题考查了角的计算:熟练拿角平分线的定义和旋转的性质.(1)PE=PF；(2)<3.【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得到ZPOF=60°,推出APEF是等边三角形，得到PE=PF；(2)过点P作PQ±OA,PHXOB,根据角平分线的性质得到PQ=PH,ZPQO=ZPHO=90°,根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形°epf=S四边形oqph，求得OQT，QP=<3，根据三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解：(1)VZAOB=120°,OP平分ZAOB,AZPOF=60°,VZMPN=60°AMPN=ZFOP=60°•••△VZMPN=60°AMPN=ZFOP=60°•••△PEF是等边三角形，;.PE=PF；(2)过点P作PQ±OA,PH±OB,VOP平分/AOB,APQ=PH,ZPQO=ZPHO=90°,VZAOB=120°,AZQPH=60°,Z.ZQPE+ZFPH+ZEPH, .\ZQPE=NEPF,在^QPE与八HPF中叱EQP=ZFHP</QPE=/HPF,PQ=PH.•.△QPESHPF(AAS),APE=PF,S四边形OEPF=S四边形OQPH,VPQXOA,PH±OB,OP平分NAOB,AZQPO=30°, u 1 :AOQ=1,QP=<22-12=<3,ASAOPQ=-x1xv3=—,2 2A四边形OEPF的面积=2SAOPQ=<3【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.(1)见解析；(2)ZDEA=80°；(3)NBAC=90°或120°【解析】【分析】(1)由旋转的性质和角的和差即可得出结论；(2)设NDEA的度数为尤由旋转的性质得到AE,=AE,ZBAE,=/CAE,ZAE,B=/AEC,进而得出/DAE,=ZDAE.用SAS证明△ADE&△ADE，得到ZDE,A=ZDEA=x°，进而得到ZAEC=(x+20)°.根据平角的性质得到x的值，即可得出结论；(3)由旋转的性质及一个三角形中大边对大角得到ZBE,D不可能是直角.然后分两种情况讨论：①若ZE,BD是直角；②若ZE,DB是直角.【详解】•・•将^AEC旋转得到^AE,B,AZE,AB=ZEAC,AZE,AD=ZEAC+ZBAD.又72ZDAE=ZBAC,AZDAE,=ZDAE；(2)设ZDEA的度数为x.・,△AEC旋转得到^AE,B,AAE,=AE,ZBAE,=ZCAE,ZAE,B=ZAEC.2ZDAE=ZBAC,AZDAE,=ZDAE.又7AD=AD,•・△ADE’"ADE,AZDE,A=ZDEA=x°.XVZAE,B=ZAEC,ZBE,D=20°,AZAEC=(x+20)°.XVZAEC+ZAED=180°,Ax+(x+20)=180,Ax=ZDEA=ZDE,A=80°；(3),・,△AEC旋转得到^AE,B,ABE’=EC.又：BD=1,BE,=2,AZBE,D不可能是直角.①若ZE,BD是直角.,?AB=AC,AZABC=ZC.•:△AEC旋转得到^AE,B,AZABE,=ZC.VZE,BD是直角，AZABC=ZABE,=45°,AZBAC=90°.②当ZE,DB是直角时，设AB与DE,