湖南大学《随机过程》课程习题集

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主讲教师：何松华教授

第一章：概述及概率论复习

1.1设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，

求其中有次品的概率。

1.2设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再

放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求

乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放

回，求连续n次取得合格品的概率。1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且

?A?Be??xF(x)??0?其中??0为常数，求常数A、B的值。1.6设随机变量X的分布函数为

x?0x?0

F(x)?A?Barctg(x)(-?0)，求Y的概率密度分布。1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为

fXY(x,y)?Asin(x?y)(0?x??2,0?y??2)

(1)求系数A，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相关函数

及相关系数。

1.14设X为拉谱拉斯随机变量，fX(x)??2e??|x|(-??x??)(??0)；求：(1)X的特征

函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)探讨特征函数实部与虚部的奇偶性。

其次章：随机过程的基本概念

2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车

站。假使每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。

2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦

波可以看作一个随机过程X(t)?Acos(?t??)，其中A、?、?为相互独立的随机变量，且

?2a/A02fA(a)???0a?(0,A0)?1/100??(250,350)，f?(?)??，

0otherwiseotherwise??1/(2?)??(0,2?)f?(?)??otherwise?0求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程

?cos(?t)出现正面X(t)??出现反面?2t设“出现正面〞和“出现反面〞的概率各为1/2。(1)确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2)确定X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。2.4设随机过程Z(t)?Xcos(?t)?Ysin(?t)(-??t??)，其中?>0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成Z(t)?Vcos(?t??)，(1)求随机变量V、?的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。

2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。

2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0?t

X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(?T)?0}(T>0)；(3)假使在t=T时，观测到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(T)?0}(T>0)。

4.28设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为

?S?0???/2?|?|??0???/2GX(?)??0otherwise?0求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。

4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX(?)，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。4.30设X(n)为均值为0、方差为?2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：

E[X(n)Y(n)]?h(0)?，?Y??222?h(n)

2n?0?4.31均值为0、方差为?2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|7.13设经过RC滤波器后的高斯白噪声为Y(t)，其相关函数RY(?)?e??|?|，规定t3?t2?

t2?t1??，Y(t3)?Y3、Y(t2)?Y2、Y(t1)?Y1，式中t3?t2?t1。试证：

fY1|Y2,Y3(y1|y2,y3)?fY1|Y2(y1|y2)

7.14考察以下随机过程，确定是否为独立增量过程，假使是，求其均值与方差。(1)随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Xj描述：

?1第j次投掷结果为正面Xj???1第j次投掷结果为反面?由此确定的累积记数过程为Yn??Xj。

j?1n(2)Z0?1，随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Zj描述：

3?Xj2Zj?Zj?1

7.15设有一参数离散、状态连续的随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x,x>0}X(1),X(2),…,X(m)的联合概率密度函数为

??x1x2...xm?1e?(xmxm?1?xm?1xm?2?...?x2x1?x1)f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)??0??0?x1,...,xm?1,xm

otherwise(1)求边际概率密度分布f1(x2)、f2(x2)；(2)求边际概率密度f1,2,...,m?1(x1,x2,...,xm?1)；(3)求转移概率密度fm|m?1(xm|xm?1)，并问该过程是否为马尔可夫过程。

7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，…；

(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存

在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。

7.17设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1,2}，初始状态概率分布为

P{X(0)?0}?1/4,P{X(0)?1}?1/2,P{X(0)?2}?1/4

一步转移概率矩阵为

?1/43/40??P??1/31/31/3????01/43/4??(2)(1)计算概率P{X(0)?0,X(1)?1,X(2)?1}；(2)计算P01

7.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为

1?0P???1?p0?1?00?p??0??(1)试求P(2)，并证明P(4)?P(2)；(2)求P(n)，n?1。

7.19设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1}，其一步转移概率矩阵为

?p1?p?P???1?pp??证明：

?1n?(2p?1)?2???1?(2p?1)n??21??(2p?1)n?2?

1?(2p?1)n??2?P(n)7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依靠于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。假使过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气状况下，今日的天气与昨日一致的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。

7.21设{Xn,n?N}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c}，转移矩阵为

?1/21/41/4??P??2/301/3????3/52/50??(1)求P{X1?b,X2?c,X3?a,X4?c,X5?a,X6?c,X7?b|X0?c}(2)求P{Xn?2?c|Xn?b}

7.22设{Xn}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c,d,e}，转移概率矩阵为

0??1/201/20?01/403/40???P??001/302/3?，求其闭集。

??1/41/201/40????1/301/301/3??7.23确定以下马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于十分返的。其一步转移概率矩阵分别为。

0?0?01/21/2??00?；(2)?1/201/2(1)P??P????1/21/2??1/21/20???0?000011?0??1/21/20?1/21/20?1?0?；P????1/41/41/41/4?0????0?010??00?0??0??0?0??0?0?1/201/20?1/43/40?1/41/21/40??1/21/2000???0?；(5)P??0010(4)P??1/201/20???0001/21/201/32/3???0??001/21/2?000?0??17.24设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，其相应的概率分布为

(?t)k??tP{N(t)?k}?e

k!试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。

7.25设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程X(t)，

X(0)?0，在N(t)过程中，每发生一事件，X(t)就变化一随机数量，对应第n次事件的

随机变量为Yn，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与N(t)间是相互独立的，这样

X(t)??Yn

n?1N(t)假设每个随机变量Yn具有一致的概率密度函数fY(y)，对应的均值、均方值分别为mY、

mY2，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。7.26设N1(t)与N2(t)是两个相互独立的、比率分别为?1和?2的泊松过程(1)证明NS(t)?N1(t)?N2(t)是比率为?1??2的泊松过程；(2)证明ND(t)?N1(t)?N2(t)不是泊松过程7.27设在时间t内向电话总机召唤k次的概率为

?kk!e??,k?0,1,2,...，其中??0为常数，

在任意相邻的时间间隔内的召唤次数是相互独立的，求在2t时间内召唤n次的概率P2(tn)。7.28设X1、X2、…、XN是相互独立、分别听从参数为?1、?2、…、?N的泊松分布

P{Xi?k}??ikk!e随机变量，证明随机变量Y??Xi听从参数为????i的泊松分布。

??NNi?1i?17.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N听从泊松分布，即

P{N?k}??kk!e??，每个电子携带的能量构成随机序列X1、X2、…、Xk；已知各Xi间

2N相互独立且与N相互独立，E[Xi]??、D[Xi]??；S??Xi，求S均值与方差。

i?17.30给定一个随机过程X(t)的任意两个时刻t1'和t2'，若对于任意时刻t'?t1'，X(t')与

X(t2')?X(t1')统计独立，试证明X(t)为马尔可夫过程。7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为

?(???0)2?K(?)?C0exp???

2???其输入端接入电流I(t)??q?(t?tj)，q为电子的电荷，已知泊松脉冲序列Z(t)?

j??(t?t)的相关函数为R(?)??j2Z???(?)，假使中频放大器输出电流V(t)的均值mV和

j方差?V2都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数?。

7.32已知X(t)为泊松过程，假使t2?t1，且n和k为非负整数，证明：

P{X(t1)?k,X(t2)?n?k}?e??t2?k?n(t2?t1)nt1k

n!k!7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为1/2，逆时针退一格的概率为1/2。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。

7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针退一格的概率为1?p。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。

6.2设平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端参与一窄带高斯随机过程

X(t)，其概率密度函数为

(x?a)2fX(x)?exp{?}22?X2??X1在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当a?0时结果有何变化。6.3设对称限幅器的特性为

X(t)??x0??x0?Y(t)?g[X(t)]??X(t)?x0?X(t)?x0

?xX(t)?x0?0(1)已知输入随机过程X(t)的一维概率密度fX(x,t)，求输出随机过程Y(t)的一维概率密度fY(y,t)。(2)当输入随机过程X(t)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为RX(?)时，求输出过程Y(t)的相关函数RY(?)。6.4设有理想限幅器

?1X(t)?0Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?假定输入X(t)为零均值平稳高斯随机过程。(1)求Y(t)的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：RY(?)?2?arcsin[rX(?)]。

6.5设有零均值高斯平稳随机过程X(t)，其自相关函数为RX(?)，它的一维概率分布函数为FX(x)，定义一个无记忆非线性系统Y(t)?FX[X(t)]?1/2，试用Price定理证明Y(t)的相关函数为

RY(?)??R(?)?1arcsin?X?2?2R(0)?X?6.6平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端参与一零均值平稳高斯随机过程

X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值

及相关函数。

6.7全波线性检波器的传输特性为y?|x|，在检波器输入端参与一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。6.8半波线性检波器的传输特性为

y?x?|x|?xx?0??0x?02?在检波器输入端参与一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。

6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为GX(?)?N0/2的高斯白噪声X(t)，求输出随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

6.10设随机变量X和Y是零均值、方差为?2的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为fX(x)和fY(y)，且E[XY]??，证明：

E[fX(X)fY(Y)]?12?4???42

6.11设功率谱密度为N0/2的白噪声通过一个物理带宽为??/2的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为y?x2的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。

6.12设X(t)为均值为mX、相关函数为RX(?)的平稳高斯过程，将其参与到模型为

?1X(t)?0Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数RY(?)。6.13平方律检波器的传输特性为y?包络A(t)听从瑞利分布

a2fA(a)?2exp{?2}(a?0)

?2?ab2x，在检波器输入端参与一窄带随机信号，其中2求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。

6.14同步检波器如下图所示，设X(t)为窄带平稳随机信号，其相关函数为

??2??|?|?RX(?)??Xe?cos(?0?)?sin(?0|?|)?(????0)

?0??求检波器输出端的相关函数及平均功率。

6.15设全波线性检波器的传输特性为y?|x|，检波器的输入为a?N(t)，其中a??0为直流电平信号，N(t)为零均值平稳高斯随机过程，其方差为?2，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比状况)。

第七章：马尔可夫过程

7.1设由独立随机序列Xi构成一个新的序列Yi，且定义为

Y1?X1,Yn?CYn?1?Xn(n?2)

试证明随机序列Yi为马尔可夫序列。

7.2设X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tn?tn?1?...?tn?k，试证明

ftn|tn?1,...,tn?k(xn|xn?1,...,xn?k)?ftn|tn?1(xn|xn?1)

即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。

7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，假使“现在〞的X(t)值为已知，则该过程的“过

去〞和“将来〞是统计独立的，即假使t1?t2?t3，其中t2代表“现在〞，t1、t3代表“过去〞和“将来〞，若X(t2)?x2为已知，试证明

ft1,t3|t2(x1,x3|x2)?ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3|x2)

7.4设齐次马尔可夫链有四个状态S1、S2、S3、S4，其转移概率矩阵为

?1/41/401/2??0?100???1/201/20???1/41/41/41/4??(1)假使该链在第n时刻处于S3状态，求在n+2时刻处于状态S2的概率；(2)假使该链在第n时刻处于S1状态，求在n+3时刻处于状态S3的概率。7.5X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tm?tm?1?tm?2，试证明

ftm?1,tm?2|t1,t2,...,tm(xm?1,xm?2|x1,x2...,xm)?ftm?1,tm?2|tm(xm?1,xm?2