高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型经典

一,向量重要结论rrrrrrrrr2r2规定0，（1）、向量的数量积定义：ab|a||b|cos0aaaa|a|rrrr，则cosab（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为rrrr|a||b|rr（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在独一的R，使ba。（4）、两向量平行的充要条件：向量rr(x2,y2)平行x1y2x2y1a(x1,y1),b0（5）、两向量垂直的充要条件：向量rrrrabab0x1x2y1y20rrrrrrrr（6）、向量不等式：|a||b||ab|，|a||b||ab|rrrr（7）、向量的坐标运算：向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2y1y2rrrrr=ab（8）、向量的投影：︱b︱cosr∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为|a|射影9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝rr｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚可否有“非零向量”这个条件．（注意与0的差异）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量｜a0｜＝1（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都能够移到同素来线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量能够进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量注：剖析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量u1,k或um,n，要会求出直线的斜率；（2）给出OAOB与AB订交,等于已知OAOB过AB的中点;（3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;（4）给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;（5）给出以下状况之一：①AB//AC；②存在实数rr,使ABAC；③若存在实数且uuuruuuruuurA,B,C,,使OAOB,等于已知三点共线.1,OC（6）给出OPOAOB，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB1（7）给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角。（8）给出MAMBAMB的均分线/MP,等于已知MP是MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;1uuuruuuruuuruuur（10）在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;2OB22（11）在ABC中，给出OAOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直均分线的交点）；（12）在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；uuuruuur（14）在ABC中，给出OPOAABACR)等于已知AP经过ABC的内心；(uuuruuur)(|AB||AC|（15）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角均分线的交点）；uuur1uuuruuur,等于已知AD是ABC中BC边的中线。（16）在ABC中，给出AD2ABAC（17）若是e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底18）向量平行与直线平行有差异，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的状况19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址有关（20）1.rrrrrr结合律不成立：abcabc；2.rrrrrr消去律不成立abac不能够获得bc3.rrrrrrab=0不能够获得a=0或b=0题型1.基本见解判断正误：1）共线向量就是在同一条直线上的向量。2）若两个向量不相等，则它们的终点不能能是同一点。3）与已知向量共线的单位向量是独一的。uuuruuur（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。uuuruuur5）若ABCD，则A、B、C、D四点组成平行四边形。6）由于向量就是有向线段，所以数轴是向量。rrrrrr（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。rrrr（8）若mamb，则ab。2rrn。（9）若mana，则mrrrr（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。rrrrrr（11）若ab|a||b|，则a//b。rrrrrr（12）若|ab||ab|，则ab。题型2.向量的加减运算1.rrrr设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则|ab|。2.uuuruuuruuuruuuruuuur。化简(ABMB)(BOBC)OM3.uuuruuur3uuur、。已知|OA|5,|OB|,则|AB|的最大值和最小值分别为4.uuuruuuruuuruuurruuurruuuruuur已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb，则AB，AD。5.uuuruuuruuuruuuruuuruuur已知点C在线段AB上，且AC3AB,则ACBC，ABBC。题型3.5向量的数乘运算1.rrrrrrrrrr计算：（1）3(ab)2(ab)（2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)2.已知rr3,8)rr。a(1,4),b(，则3a1b题型4.2作图法球向量的和rrr1rr3r已知向量a,b，以以下列图，请做出向量3ab和2ab。22rarb题型5.依照图形由已知向量求未知向量uuuruuuruuur已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，AC表示AD。uuurruuurruuuruuur2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD。题型6.向量的坐标运算1.uuur(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是。已知AB2.uuur(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是已知PQ。3.r,rr4),则协力的坐标为若物体受三个力F1(1,2)F2(2,3),F3(1,。3rrrrrrrr。4.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b5.r(x2,x3y2)uuur已知A(1,2),B(3,2),向量a与AB相等，求x,y的值。6.uuuruuuruuur(1,4)uuur已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD，则DA。7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)uuuruuurruuur，且AB3BC0，求OC的坐标。题型7.判断两个向量可否作为一组基底uruur已知e1,e2是平面内的一组基底，判断以下每组向量可否能组成一组基底：uruururuururuuruurururuuruururuuruururA.e1e2和e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1D.e2和e2e12.r(3,4)r）已知a，能与a组成基底的是（A.(3,4)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,4)5555553题型8.结合三角函数求向量坐标uuuruuur1.2，xOA150o已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|，求OA的坐标。2.uuur43，xOA60ouuur已知O是原点，点A在第一象限，|OA|，求OA的坐标。题型9.求数量积1.已知rrrr的夹角为60orrrrr|a|3,|b|4，且a与b，求（1）ab，（2）a(ab)，r1rrrrrr（3）(a2b)b，（4）(2ab)(a3b)。r(2,rrrrrrrr2.已知a6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)，rrrr（4）(2ab)(a3b)。题型10.求向量的夹角1.rrrrrr已知|a|8,|b|3，ab12，求a与b的夹角。2.rr(2rr已知a(3,1),b3,2)，求a与b的夹角。43.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。题型11.求向量的模1.rrrr60orrrr已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为，求（1）|ab|，（2）|2a3b|。rrrrrrrr2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）|a1b|。2rrrrrr3.已知|a|1，|b|2，|3a2b|3，求|3ab|。rrr题型12.求单位向量a】【与a平行的单位向量：er|a|1.r(12,5)平行的单位向量是。与a2.r(1,1)平行的单位向量是。与m2题型13.向量的平行与垂直1.rrrrrr已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a//b？（2）ab？rr(3,2)rrrr垂直？2.已知a(1,2)，b，（1）k为何值时，向量kab与a3brr与rr平行？（2）k为何值时，向量kaba3brrrrrrrrrr3.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a(bc)。题型14.三点共线问题1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。5uuur2rruuurrruuurrr2.设AB2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线。3.uuurrruuurrruuurrr已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则必然共线的三点是。4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。5.已知四个点的坐标，，，，可否存在常数t，使uuuruuuruuur成O(0,0)A(3,4)B(1,2)OAtOBOCC(1,1)立？题型15.判断多边形的形状uuurruuurruuuruuur1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是。已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。uuuruuuruuur在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.r(1,0)r(2,1)rrrr已知a，b，当k为何值时，向量kab与a3b平行？2.r(3,rrrr已知a5)，且ab，|b|2，求b的坐标。3.rrr(1,2)rrr已知a与b同向，b，则ab10，求a的坐标。3.r(1,2)r(3,1)r(5,4)rrr已知a，b，c，则cab。4.rr(3,4)r(5,0)，请将用向量rrr。已知a(5,10)，b，ca,b表示向量c6rrrr5.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；r2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。rrrrrr6.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（2）a与b的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD的极点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB2CD，求点C的坐标。8.已知平行四边形ABCD的三个极点的坐标分别为A(2,1)，，，求第四个极点DB(1,3)C(3,4)的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成30o角，求水流速度与船的实质速度。10.已知ABC三个极点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，uuuruuur，求sinA的值。（1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5【备用】1.rrrr5rrrr已知|a|3,|b|4,|ab|，求|ab|和向量a,b的夹角。2.rrrurrrrr1rrrur已知xab，y2ab，且|a||b|，ab，求x,y的夹角的余弦。1.rr(2,1)rrrr65已知a(1,3),b，则(3a2b)(2a5b)。4.rr(2,rrrr已知两向量a(3,4),b1)，求当axb与ab垂直时的x的值。5.rr(2,rr已知两向量a(1,3),b)，a与b的夹角为锐角，求的范围。r(r(rr为钝角，求的取值范围。变式：若a,2),b3,5)，a与b的夹角选择、填空题的特别方法：特例法例：《全品》P27：4。由于M,N在AB,AC上的任意地址都成立，所以取特别状况，即M,N与B,C重合时，能够获得mn1，mn2。7代入考据法rr(1,r(1,2)r）例：已知向量a(1,1),b1),c，则c（DA.1r3rB.1r3rC.3r1rD.3r1rab2ab2a2bab22222rrr1