《概率论与数理统计》习题及答案 第三章

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《概率论与数理统计》习题及答案

第三章

1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。

解(X?k)表示事件：前k?1次出现正面，第k次出现反面，或前k?1次出现反面，第k次出现正面，所以P(X?k)?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p,k?2,3,?.

2．袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。

解从a?b个球中任取r个球共有Ca?b种取法，r个球中有k个黑球的取法有CbCakr?kr，所以X的分布列为

CbCarkr?kP(X?k)?Ca?b，k?max(0,r?a),max(0,r?a)?1,?,min(b,r)，

此乃由于，假使r?a，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即k?0；假使r?a则r个球中至少有r?a个黑球，此时k应从r?a开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi?列。

解设Ai?‘第i个零件是合格品’i?1,2,3。则P(X?0)?P(A1A2A3)?1111???，234241i?1(i?1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布

P(X?1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?1111211136?????????，23423423424P(X?2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?12?2111312311?????????，3423423424·19·

P(X?3)?P(A1A2A3)?即X的分布列为

X0124162421124312?23?34?624.

P6.244．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为

12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率

分布。

解P(X?0)?P(第一个路口即为红灯)?12,

12?12?14P(X?1)?P(第一个路口为绿灯，其次个路口为红灯)?依此类推，得X的分布列为

X01211421831.8，

P5．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。

解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B(n,列为

P(X?k)?Cnk12)，X的分布

?1????k?0,1,?2?nn,

6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数听从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则X~P(4)（1）P(X?8)?48?8!?e?4?k?k?8?44k?k!e?4??k?q4kk!e?4?0.2977

（2）P(X?10)??k?114k!e?0.00284.

7．某商店每月销售某种商品的数量听从参数为5的泊松分布，问在月初至

·20·

少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意

??0.99977?P(X?N)?1?P(X?N)?1?即

??K?N?1P(X?K)?1??K?N?15kk!e?5

?K?N?15Kk!e?5?0.00023查泊松分布表知N?1?15，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。

8．已知离散型随机变量X的分布列为：P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3，

P(X?3)?0.5，试写出X的分布函数。

解X的分布列为XP10.220.330.5所以X的分布函数为

?0,??0.2,F(x)???0.5,?1,?x?1,1?x?2,2?x?3,x?3.

9．设随机变量X的概率密度为f(x)????csinx,0,0?x??,其他.

求：（1）常数C；（2）使P(X?a)?P(X?a)成立的a.解（1）1???????f(x)dx?c??sinxdx??ccosx0?0?2c，c???121212；

（2）P(X?a)?P(X?a)???1212sinxdx??sinxdx??1212cosxcosx?a??1212cosa，cosa,

aa0a0可见cosa?0，?a??2。

10．设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barcta，nx???x??，

求：（1）系数A与B；（2）P(?1?X?1)；（3）X的概率密度。

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解（1）由分布函数的性质

??0?F(??)?A?B???2?

?1?F(??)?A?B????2于是A?12，B?1?，所以X的分布函数为

12?1arctanx???x12?1?F(x)????，??(12?1?（2）P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?（3）X的概率密度为

f(x)?F?(x)?1?4?4??)?12；

?(1?x)2，???x??.?11．已知随机变量X的概率密度为

f(x)?12e?|x|，???x???.

求X的分布函数.解

?1??2f(u)du??????xx?0??edu,??ux?0,xF(x)????12edx?x?12

e?udu,x?0,0?1xe,??2???1?1e?x,??2x?0,

x?0.12．设随机变量X的概率密度为

?x,?f(x)??2?x,??0,0?x?1,1?x?2,其他.求X的分布函数.

解f(x)的图形为X的分布函数为

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F(x)??0??f(x)?????(1，1)???1?,xx???f(u)dux?0,0?x?1,udu,01x

xdx?0?(2?u)du,11?x?2,,x?2.x?0,0?x?1,?0,?2?x,012x?2??2?x??2x?1,?2??1,

1?x?2,x?2.13．设电子管寿命X的概率密度为

?100?2,f(x)??x?0,?x?100,x?100.

若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。

解Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，Y~B(3,p)，其中p?P(X?150)?150?100x2dx?13，

23100?1?2?1?（1）所求