第24章《解直角三角形》培优专题1：直角三角形的性质

第24章《解直角三角形》培优习题1：直角三角形的性质考点1：直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半题型1：直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半例1、如图1，在中，，，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若，则AC的长为（）图2PBCADEBCA图1A图2PBCADEBCA图1【同步练习】1、如图2，中，，，，点P是BC边上的动点，则AP的长可能是（）A、5 B、6.2 C、7.8 D2、如图3，在中，，，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若，则BE的长为（）A、2 B、 C、 D、1EEDCA图3BEDC图4BA3、如图4，在中，，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点，若，则AC的长是（）A、4 B、 C、6 D、题型2：挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半例2、如图5，在中，，，，AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，则BC的长为（）A、12 B、 C、 D、DDBC图5lADBC图6EADBC图7EA【同步练习】1、如图6，在中，，，DE垂直平分AB，垂足是点E，若，则AC的长是（）A、4cm B、5cm C、 D、2、如图7，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，，则（）A、6cm B、5cm C、4cm 题型3：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用例3、如图8，，P是角平分线上的点，于点M，交OA于点N，若，则.DDFBCE图10ADPOAAC图9BAMPOBN图8【同步练习】1、如图9，，，，若，则PC的长为；2、如图10，在中，，点D在BC上，，，，垂足分别为E，F，且，则DE的长为.题型4：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用例4、如图11，BD是等边的角平分线，，垂足为点E，线段BC的垂直平分线交BD于点P，垂足为F，若，则DE的长为（）EADCPB图11EADCBEADCPB图11EADCB图12EADCB图13F【同步练习】1、如图12，在等边中，BD平分交AC于点D，过点D作于点E，且，则AB的长为（）A、8 B、4 C、6 D2、如图13，在等边中，AD平分，，若，则BE的长是（）A、4cm B、5cm C、6cm 3、如图14，与都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若，，则DE的长为（）A、3 B、4 C、5 DEEADCB图14EADCB图15EADCB图164、如图15，在等边中，，D是AB的中点，过点D作于点E，则EC的长是（）A、2.5cm B、5cm C、7cm 5、如图16，在等边中，BD平分交AC于点D，过点D作于点E，且，则EC的长为（）A、3 B、4.5 C、1.5 D题型5：综合创新题例5、如图1，已知直线，且EF和GH之间的距离为1，小明同学制作了一个直角三角形硬纸板ACB，其中，，，小明利用这块三角板进行了如下的操作探究：（1）如图1，若点C在直线EF上，且，求∠1的度数；（2）若点A在直线EF上，点C在EF和GH之间（不含EF、GH上），边BC、AB与直线GH分别交于点D和点K；①如图2，、的平分线交于点O，在绕着点A旋转的过程中，的度数是否变化？若不变，求出的度数：若变化，请说明理由；DFGH图3EACBK1FGH图DFGH图3EACBK1FGH图1EACBCKFGH图2EABOD【同步练习】1、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，，过点E作，交BC的延长线于点F.（1）求的度数；EACDFB（2）若EACDFB2、请阅读下列材料：如图甲，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O、由矩形的性质得，.于是我们得到定理1：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。前面的条件不变，若，由矩形的性质得，，所以为等边三角形，所以.于是我们得到定理2：直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半。请你运用以上两个定理，解答下面两题：（1）如图乙，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分交AC于点E，交BC于点F，，则度；（2）如图丙，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，D为EF的中点，求AD的最小值。OOF图乙EACDBO图甲ACDBFP图丙EACDB3、如图，在中，，，，延长CB至点D，使（1）求的度数；（2）求的值。AACDB考点2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例6、若直角三角形的两直角边a，b满足，则斜边c上中线的长为.【同步练习】已知直角三角形的两直角边a、b满足，则斜边c上中线的长为.例7、如图，在中，，，垂足为E，点D是边AB的中点，，，则DE的长度是（）DE例题7图BCAFADE同步练习DE例题7图BCAFADE同步练习2BCDE同步练习1BCA【同步练习】1、如图，在中，，AD平分，点E为AC的中点，连接DE，若的周长为21，则BC的长为（）A、6 B、9 C、10 D2、在中，，，中线CE交AD于点F，，，则BC长为（）A、12 B、14 C、16 D3、如图，在中，，，BD平分，P点是BD的中点，若，则CP的长为（）A、3 B、3.5 C、4 PPD同步练习3BCAFME同步练习4BCA4、如图，在中，于F，于E，M为BC的中点，，，则的面积是（）A、6 B、8 C、12 DEBCA例8、如图，在中，，点D为BC上一点且，点E是BD的中点，连结AEDEBCA（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的周长。【同步练习】1、如图，中，，D是BC上一点，且，点E是BD的中点，连结AE.（1）求证：；P同步练习2DEBCAFP同步练习2DEBCAF同步练习3DEBCADEBCA同步练习12、如图，在中，AD是的高线，CE是的角平分线，它们相交于点P.（1）若，，求证：；（2）若，AP为边EC上中线，求的度数。3、如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，过点A作于点F，交CB于点E，且.（1）求的度数；（2）求证：例9、如图，中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点。（1）求证：；（2）连结DM，ME，猜想与之间的关系，并写出推理过程；MDEBCANMDEBCANMDEBCAN【同步练习】1、如图，四边形ABCD中，，，点M，N分别为BC，AD中点。（1）求证：；（2）若，，求BC的长。同步练习同步练习1AMDB