




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
本文格式为Word版,下载可任意编辑——《数学分析》(华师大二版)课本上的习题9P.204习题
1.按定积分定义证明:
?bakdx?k(b?a)
证明对[a,b]的任一分割T:a?x0?x1???xn?b,其Riemann和为
?f(?)?x??k(xiii?1i?1nnni?xi?1)?k?(xi?xi?1)?k(b?a),所以当分割的模T?0i?1n时,积分和
?f(?)?xii?1i的极限为k(b?a),从而
?bakdx?k(b?a)
2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{?i},把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算以下定积分:
⑴
?10x3dx
33解由于f(x)?x在[0,1]连续,故x在[0,1]的定积分存在。现在将[0,1]n等分,其分点为:xi?nii?1i,]的右端点,于是Riemann和,i?0,1,?,n,?i取为小区间[nnnni311为?f(?i)?xi??()?4nni?1i?1n?i3?i?1n11212?n(n?1)?(n??),所以44n4?10x3dx?14⑵
?10exdx
x解由于f(x)?e在[0,1]连续,故f(x)在[0,1]的定积分存在。现在将[0,1]n等
分,其分点为:xi?nii?1i,]的右端点,于是Riemann,i?0,1,?,n,?i取为小区间[nnnnin和为
?i?1f(?i)?xi??ei?1111e(1?e)??e???e?1(n??)1nni?1n1?ennin1n170
(由于limx??1,所以limx?01?exn??1n1?e1n,从而?exdx?e?1??1)
01⑶
?baexdx
解因f(x)?ex在[a,b]连续,故f(x)在[a,b]可积,将[a,b]n等分,其分点为:
xi?a?ii?1i(b?a),i?0,1,?,n,?i取为小区间[a?(b?a),a?(b?a)]的右nnnnia?(b?a)nnb?aab?a?e?enni?1b?ain端点,于是Riemann和
?f(?)?x??eiii?1i?1n
b?ae?e?nab?an(1?eb?a)b?an?eb?ea,(n??)
1?e所以⑷
?bbaexdx?eb?ea
dx?ax2(0?a?b)
1解因f(x)?2在[a,b]连续,故f(x)在[a,b]可积,对[a,b]的任一分割
x,于T?{a?x0,x1,x2,?,xn?b},取?i?xi?1xi?[xi?1,xi](i?0,1,?,n)是Riemann和
nxi?xi?11111f(?)?x??(?)?????iixxxxabi?1i?1i?1i?1ii?1inn所以
dx11?ax2?a?b
bP.206习题
1.计算以下定积分:⑴
?10(2x?3)dx?(x2?3x)?4
01171
21?(1?x)?211?x22?1?dx?(?1?)dx?(?x?2arctanx)??1⑵??01?x2?0001?x221?x21⑶⑷
?e2ee2dlnxdxe2??ln|lnx|e?ln2xlnx?elnxx?2x1e(1?eex?e?x)111x1?2xx?xdx?dx?(1?e)de?(e?e)?(e?e?1)?1?02?02?2023011??220?⑸
?30tanxdx??3(secx?1)dx?(tanx?x)03?3??3
⑹
?(4409x?dxx1244)dx?(xx?2x)?33x49⑺
?1?
解令x?t代入得,
?1?04dxx??22tdt1?2?(1?)dx?4?2ln301?t01?t2e11223⑻?1(lnx)dx??1(lnx)dlnx?(lnx)3exeee1e?232.利用定积分求极限:⑴lim1112333(1?2???n)?lim(?()???1)
n??n4n??nn3nn1i11?lim?()3??x3dx?n??n04i?1n⑵limn?n???111?????222?(n?1)(n?2)(n?n)????1?111??lim??????n??n12n?(1?)2(1?)2(1?)2??nnn???
172
?lim?n??i?1n11111??dx?i2n0(1?x)22(1?)n⑶limn?n??11??1????2222?2n??n?1n?2??n1111???lim????
i2n01?x24?n??i?11?()?n???1?111?lim????n??n?122n1?()2?1?21?()nnn?n11??2?n?1?i?12⑷lim?sin?sin???sin???lim?sin??sin?xdx?
n??nnnnnn0???n??i?13.证明:若f在[a,b]上可积,F在[a,b]上连续,且除有限个点外有F?(x)?f(x),则有
?baf(x)dx?F(b)?F(a)
证设除有限个点:y1,y2,?,ym外有F?(x)?f(x).对于[a,b]的任一分割T?,设T是分割T?添加分点y1,y2,?,ym后所得到的分割,设T的分点为:x1,x2,?,xn.在每个小区间[xi?1,xi]上对F(x)使用Lagrange中值定理,则分别存在?i?(xi?1,xi),使得
F(b)?F(a)??[F(xi)?F(xi?1)]??F?(?i)?xi??f(?i)?xi
i?1i?1i?1nnn所以F(b)?F(a)?lim||T?||?0?f(?)?x??iii?1nbaf(x)dx.
P.212习题
1.证明:若T?是T增加若干个分点后所得的分割,则
????x?????xiiiT?Ti.
证不失一般性,这里只证明T?是T增加一个分点的情形.
在T上增加一个新分点,它必落在T的某一个小区间?k内,而且将?k分为两个新的
173
???小区间,记为??k与?k.但T的其它小区间没有改变,仍是新分割T所属的小区间,从而
???xiTi与
????x?的区别仅仅是???xiiiT?Ti中的?k?xk一项换成了
????x?中的
iiT???xk?与?k???xk??两项(这里?k?与?k??分别是f在??k与??k?上的振幅,显然?k???k,?k????k),所以?k???x?????x????xiiiikTT?k??xk???k???xk??)?(?k
???xk??)?(?k??xk???k???xk??)?(?k??k?)?xk??(?k??k?)?xk???0??k(?xk即
????x?????xiiiT?Ti
2.证明:若f在[a,b]上可积,[?,?]?[a,b],则f在[?,?]上也可积.证因f在[a,b]上可积,所以对任给的??0,存在分割T,使得
???xiTi??.设
T?是T增加分点?,?后所得的分割,于是有??i??xi????i?xi??.记T?限制在区
T?T间[?,?]上的分割为T1,则有在[?,?]上可积.
????x??????x?????xiiiiiT1T?Ti所以由定理9.3’,f??,
3.设f、g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处
f(x)?g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积,且?f(x)dx??g(x)dx
aabb证设f在[a,b]上可积,J?1?k?n?baf(x)dx,在[a,b]中有限个点:x1,x2,?,xn处,
f(x)?g(x),令M?max{|f(xk)?g(xk)|}.因f在[a,b]上可积,对任给的??0,
存在??0(不妨设??1?),使得当分割T的模||T||??时,|?f(?i)?xi?J|?.4nM2T?|g(?i)?f(?i)|?xi?2nM||T||?T?2
174
从而|?g(?)?xiTi?J|?|?g(?i)?xi??f(?i)?xi|?|?f(?i)?xi?J|
TTT??2??2??
b所以
?bag(x)dx?J??f(x)dx
an??4.设f在[a,b]上有界,{an}?[a,b],liman?c.证明:若f在[a,b]上只有an(n?1,2,?)为其休止点,则f在[a,b]上可积.
ni{证设?为f在[a,b]上的振幅,对任给的??0,取0???m?,c?a,b?c}6?则f在[a,c??]上只有有限个休止点,于是f在[a,c??]上可积,从而存在区间
[a,c??]的分割T1,使得f在[a,c??]上的振幅和??i??xi??T1?3;同样,f在[c??,b]上只有有限个休止点,f在[c??,b]上也可积,存在区间[c??,b]的分割T2,使得f在
[c??,b]上的振幅和??i???xi???T2?3.最终把分割T1和T2与小区间[c??,c??]合并,构
成区间[a,b]的分割T,f在[a,b]上的振幅和
??i?xi???i??xi????i???xi?????2??TT1T1?3??3??3??
所以f在[a,b]上可积.
5.证明:若f在区间?上有界,则M?supf(x),m?inff(x),证明
x?Ix?Isupf(x)?inff(x)?sup|f(x?)?f(x??)|
x??x??x?,x????证明方法与P.22,第16题一致.
P.219习题
1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则limn||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1baf(x)g(x)dx,
175
其中?i,?i是T所属小区间?i中的任意两点,i?1,2,?,n.
证由于lim||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1ni?1nbaf(x)g(x)dx,于是对任给的??0,存在
b?1?0,当||T||??1时,|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?a?2.
由于f在[a,b]上可积,所以有界,即存在M?0,使得对任何x?[a,b]都有
|f(x)|?M.又由于g在[a,b]上可积,故存在?2?0,当||T||??2时,使得g在[a,b]上的振幅和
??i?xi?T?2M.
现在取??min{?1,?2},当||T||??时,
|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|
i?1anb?|?f(?i)g(?i)?xi??f(?i)g(?i)?xi|?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|
i?1i?1i?1annnb?M??i?xi?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?i?1i?1annb?2??2??
所以lim||T||?0?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx
i?1anb2.不求出定积分的值,比较以下各对定积分的大小.⑴
?10xdx与?x2dx
0221解由于在(0,1)上x与x都连续,且x?x,所以
???10xdx??x2dx
01⑵
?20xdx与?2sinxdx
0176
解由于在(0,?2?0?0)上x与sinx都连续,且x?sinx,所以?2xdx??2sinxdx
3.证明以下不等式:⑴
?2???20dx11?sin2x2??2
证由于在(0,?2)上,
11?1?sin2x?1,所以1?22111?sin2x2?2
从而
?2???20dx11?sin2x2??2
⑵1??10exdx?e
x22证由于在(0,1)上,1?e??e,所以1??exdx?e
012⑶1??20sinx?dx?x2sinxsinx??1(P.125,习题7⑵)dx?证由于在(0,)上,?,所以1??202?xx2?2?⑷3e??4eelnxxlnxxdx?6
证设f(x)?,先求f在(e,4e)上的最大值和最小值.
11x?lnxlnx2?lnxx2x2)???由于(,得稳定点x?e.计算在稳定点和区间
xx2xx177
端点处的函数值f(e)?1e,f(4e)?ln4e2e,f(e)?22.比较可知f在(e,4e)上的最e大值为f(e)?2211lnx2,最小值为f(e)?,所以f在(e,4e)上??,从而eeexe3e??4eelnxxdx?6
4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明
?baf2(x)dx?0
证设有x0?[a,b],使得f(x0)?0,于是f2(x0)?0.由于f在[a,b]上连续,由连续函数的局部保号性,存在x0的某邻域(x0??,x0??)(当x0?a或x0?b时,则
f2(x0)?0.从而为右邻域或左邻域),使得在其中f(x)?22?baf2(x)dx??x0??x0??2x0??af2(x)dx??x0??x0??x0??x0??f2(x)dx??bx0??f2(x)dx
??f(x)dx??f2(x0)dx?f2(x0)??025.设f与g都在[a,b]上可积,证明
M(x)?max{f(x),g(x)},m(x)?min{f(x),g(x)}
x?[a,b]x?[a,b]在[a,b]上也都可积.
证由于M(x)?max{f(x),g(x)}?x?[a,b]1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|],21m(x)?min{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|],所以M(x),m(x)在
x?[a,b]2[a,b]上也都可积.
6.试求心形线r?a(1?cos?),0???2?上各点极径的平均值.
178
解所求平均值为
12??2?0a(1?cos?)d??a2??2?0(1?cos?)d??a?2??a2?7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足|f(x)|?m?0.证明积.
证因f在[
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 个人购销农机合同范本
- 办证合同范本模板
- 2025年黑龙江货运从业资格证模拟考试题目
- 2025年固原货运从业资格证考试试题
- 农业招标合同范本
- 供水项目施工合同范本
- 分级销售合同范本
- 做布料生意合同范本
- 办公花卉采购合同范本
- 鹿邑牛犊购买合同范本
- 初三化学一轮复习计划
- 链家新人成长手册10
- 成人重症患者人工气道湿化护理专家共识 解读
- 关于进一步加强路基路面施工质量的通知
- 新版苏教版六年级数学上册全册解析
- AQ/T 2080-2023 金属非金属地下矿山在用人员定位系统安全检测检验规范(正式版)
- GB/T 36548-2024电化学储能电站接入电网测试规程
- JTT 1499-2024 公路水运工程临时用电技术规程(正式版)
- 2024年甘肃省天水市中考生物·地理试题卷(含答案)
- 压力变送器的拆卸及安装 压力变送器维护和修理保养
- 2024辽宁大连中远海运川崎船舶工程限公司招聘73人公开引进高层次人才和急需紧缺人才笔试参考题库(共500题)答案详解版
评论
0/150
提交评论