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本文格式为Word版,下载可任意编辑——《数学分析》(华师大二版)课本上的习题9P.204习题

1.按定积分定义证明:

?bakdx?k(b?a)

证明对[a,b]的任一分割T:a?x0?x1???xn?b,其Riemann和为

?f(?)?x??k(xiii?1i?1nnni?xi?1)?k?(xi?xi?1)?k(b?a),所以当分割的模T?0i?1n时,积分和

?f(?)?xii?1i的极限为k(b?a),从而

?bakdx?k(b?a)

2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{?i},把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算以下定积分:

?10x3dx

33解由于f(x)?x在[0,1]连续,故x在[0,1]的定积分存在。现在将[0,1]n等分,其分点为:xi?nii?1i,]的右端点,于是Riemann和,i?0,1,?,n,?i取为小区间[nnnni311为?f(?i)?xi??()?4nni?1i?1n?i3?i?1n11212?n(n?1)?(n??),所以44n4?10x3dx?14⑵

?10exdx

x解由于f(x)?e在[0,1]连续,故f(x)在[0,1]的定积分存在。现在将[0,1]n等

分,其分点为:xi?nii?1i,]的右端点,于是Riemann,i?0,1,?,n,?i取为小区间[nnnnin和为

?i?1f(?i)?xi??ei?1111e(1?e)??e???e?1(n??)1nni?1n1?ennin1n170

(由于limx??1,所以limx?01?exn??1n1?e1n,从而?exdx?e?1??1)

01⑶

?baexdx

解因f(x)?ex在[a,b]连续,故f(x)在[a,b]可积,将[a,b]n等分,其分点为:

xi?a?ii?1i(b?a),i?0,1,?,n,?i取为小区间[a?(b?a),a?(b?a)]的右nnnnia?(b?a)nnb?aab?a?e?enni?1b?ain端点,于是Riemann和

?f(?)?x??eiii?1i?1n

b?ae?e?nab?an(1?eb?a)b?an?eb?ea,(n??)

1?e所以⑷

?bbaexdx?eb?ea

dx?ax2(0?a?b)

1解因f(x)?2在[a,b]连续,故f(x)在[a,b]可积,对[a,b]的任一分割

x,于T?{a?x0,x1,x2,?,xn?b},取?i?xi?1xi?[xi?1,xi](i?0,1,?,n)是Riemann和

nxi?xi?11111f(?)?x??(?)?????iixxxxabi?1i?1i?1i?1ii?1inn所以

dx11?ax2?a?b

bP.206习题

1.计算以下定积分:⑴

?10(2x?3)dx?(x2?3x)?4

01171

21?(1?x)?211?x22?1?dx?(?1?)dx?(?x?2arctanx)??1⑵??01?x2?0001?x221?x21⑶⑷

?e2ee2dlnxdxe2??ln|lnx|e?ln2xlnx?elnxx?2x1e(1?eex?e?x)111x1?2xx?xdx?dx?(1?e)de?(e?e)?(e?e?1)?1?02?02?2023011??220?⑸

?30tanxdx??3(secx?1)dx?(tanx?x)03?3??3

?(4409x?dxx1244)dx?(xx?2x)?33x49⑺

?1?

解令x?t代入得,

?1?04dxx??22tdt1?2?(1?)dx?4?2ln301?t01?t2e11223⑻?1(lnx)dx??1(lnx)dlnx?(lnx)3exeee1e?232.利用定积分求极限:⑴lim1112333(1?2???n)?lim(?()???1)

n??n4n??nn3nn1i11?lim?()3??x3dx?n??n04i?1n⑵limn?n???111?????222?(n?1)(n?2)(n?n)????1?111??lim??????n??n12n?(1?)2(1?)2(1?)2??nnn???

172

?lim?n??i?1n11111??dx?i2n0(1?x)22(1?)n⑶limn?n??11??1????2222?2n??n?1n?2??n1111???lim????

i2n01?x24?n??i?11?()?n???1?111?lim????n??n?122n1?()2?1?21?()nnn?n11??2?n?1?i?12⑷lim?sin?sin???sin???lim?sin??sin?xdx?

n??nnnnnn0???n??i?13.证明:若f在[a,b]上可积,F在[a,b]上连续,且除有限个点外有F?(x)?f(x),则有

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

证设除有限个点:y1,y2,?,ym外有F?(x)?f(x).对于[a,b]的任一分割T?,设T是分割T?添加分点y1,y2,?,ym后所得到的分割,设T的分点为:x1,x2,?,xn.在每个小区间[xi?1,xi]上对F(x)使用Lagrange中值定理,则分别存在?i?(xi?1,xi),使得

F(b)?F(a)??[F(xi)?F(xi?1)]??F?(?i)?xi??f(?i)?xi

i?1i?1i?1nnn所以F(b)?F(a)?lim||T?||?0?f(?)?x??iii?1nbaf(x)dx.

P.212习题

1.证明:若T?是T增加若干个分点后所得的分割,则

????x?????xiiiT?Ti.

证不失一般性,这里只证明T?是T增加一个分点的情形.

在T上增加一个新分点,它必落在T的某一个小区间?k内,而且将?k分为两个新的

173

???小区间,记为??k与?k.但T的其它小区间没有改变,仍是新分割T所属的小区间,从而

???xiTi与

????x?的区别仅仅是???xiiiT?Ti中的?k?xk一项换成了

????x?中的

iiT???xk?与?k???xk??两项(这里?k?与?k??分别是f在??k与??k?上的振幅,显然?k???k,?k????k),所以?k???x?????x????xiiiikTT?k??xk???k???xk??)?(?k

???xk??)?(?k??xk???k???xk??)?(?k??k?)?xk??(?k??k?)?xk???0??k(?xk即

????x?????xiiiT?Ti

2.证明:若f在[a,b]上可积,[?,?]?[a,b],则f在[?,?]上也可积.证因f在[a,b]上可积,所以对任给的??0,存在分割T,使得

???xiTi??.设

T?是T增加分点?,?后所得的分割,于是有??i??xi????i?xi??.记T?限制在区

T?T间[?,?]上的分割为T1,则有在[?,?]上可积.

????x??????x?????xiiiiiT1T?Ti所以由定理9.3’,f??,

3.设f、g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处

f(x)?g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积,且?f(x)dx??g(x)dx

aabb证设f在[a,b]上可积,J?1?k?n?baf(x)dx,在[a,b]中有限个点:x1,x2,?,xn处,

f(x)?g(x),令M?max{|f(xk)?g(xk)|}.因f在[a,b]上可积,对任给的??0,

存在??0(不妨设??1?),使得当分割T的模||T||??时,|?f(?i)?xi?J|?.4nM2T?|g(?i)?f(?i)|?xi?2nM||T||?T?2

174

从而|?g(?)?xiTi?J|?|?g(?i)?xi??f(?i)?xi|?|?f(?i)?xi?J|

TTT??2??2??

b所以

?bag(x)dx?J??f(x)dx

an??4.设f在[a,b]上有界,{an}?[a,b],liman?c.证明:若f在[a,b]上只有an(n?1,2,?)为其休止点,则f在[a,b]上可积.

ni{证设?为f在[a,b]上的振幅,对任给的??0,取0???m?,c?a,b?c}6?则f在[a,c??]上只有有限个休止点,于是f在[a,c??]上可积,从而存在区间

[a,c??]的分割T1,使得f在[a,c??]上的振幅和??i??xi??T1?3;同样,f在[c??,b]上只有有限个休止点,f在[c??,b]上也可积,存在区间[c??,b]的分割T2,使得f在

[c??,b]上的振幅和??i???xi???T2?3.最终把分割T1和T2与小区间[c??,c??]合并,构

成区间[a,b]的分割T,f在[a,b]上的振幅和

??i?xi???i??xi????i???xi?????2??TT1T1?3??3??3??

所以f在[a,b]上可积.

5.证明:若f在区间?上有界,则M?supf(x),m?inff(x),证明

x?Ix?Isupf(x)?inff(x)?sup|f(x?)?f(x??)|

x??x??x?,x????证明方法与P.22,第16题一致.

P.219习题

1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则limn||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1baf(x)g(x)dx,

175

其中?i,?i是T所属小区间?i中的任意两点,i?1,2,?,n.

证由于lim||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1ni?1nbaf(x)g(x)dx,于是对任给的??0,存在

b?1?0,当||T||??1时,|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?a?2.

由于f在[a,b]上可积,所以有界,即存在M?0,使得对任何x?[a,b]都有

|f(x)|?M.又由于g在[a,b]上可积,故存在?2?0,当||T||??2时,使得g在[a,b]上的振幅和

??i?xi?T?2M.

现在取??min{?1,?2},当||T||??时,

|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|

i?1anb?|?f(?i)g(?i)?xi??f(?i)g(?i)?xi|?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|

i?1i?1i?1annnb?M??i?xi?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?i?1i?1annb?2??2??

所以lim||T||?0?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx

i?1anb2.不求出定积分的值,比较以下各对定积分的大小.⑴

?10xdx与?x2dx

0221解由于在(0,1)上x与x都连续,且x?x,所以

???10xdx??x2dx

01⑵

?20xdx与?2sinxdx

0176

解由于在(0,?2?0?0)上x与sinx都连续,且x?sinx,所以?2xdx??2sinxdx

3.证明以下不等式:⑴

?2???20dx11?sin2x2??2

证由于在(0,?2)上,

11?1?sin2x?1,所以1?22111?sin2x2?2

从而

?2???20dx11?sin2x2??2

⑵1??10exdx?e

x22证由于在(0,1)上,1?e??e,所以1??exdx?e

012⑶1??20sinx?dx?x2sinxsinx??1(P.125,习题7⑵)dx?证由于在(0,)上,?,所以1??202?xx2?2?⑷3e??4eelnxxlnxxdx?6

证设f(x)?,先求f在(e,4e)上的最大值和最小值.

11x?lnxlnx2?lnxx2x2)???由于(,得稳定点x?e.计算在稳定点和区间

xx2xx177

端点处的函数值f(e)?1e,f(4e)?ln4e2e,f(e)?22.比较可知f在(e,4e)上的最e大值为f(e)?2211lnx2,最小值为f(e)?,所以f在(e,4e)上??,从而eeexe3e??4eelnxxdx?6

4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明

?baf2(x)dx?0

证设有x0?[a,b],使得f(x0)?0,于是f2(x0)?0.由于f在[a,b]上连续,由连续函数的局部保号性,存在x0的某邻域(x0??,x0??)(当x0?a或x0?b时,则

f2(x0)?0.从而为右邻域或左邻域),使得在其中f(x)?22?baf2(x)dx??x0??x0??2x0??af2(x)dx??x0??x0??x0??x0??f2(x)dx??bx0??f2(x)dx

??f(x)dx??f2(x0)dx?f2(x0)??025.设f与g都在[a,b]上可积,证明

M(x)?max{f(x),g(x)},m(x)?min{f(x),g(x)}

x?[a,b]x?[a,b]在[a,b]上也都可积.

证由于M(x)?max{f(x),g(x)}?x?[a,b]1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|],21m(x)?min{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|],所以M(x),m(x)在

x?[a,b]2[a,b]上也都可积.

6.试求心形线r?a(1?cos?),0???2?上各点极径的平均值.

178

解所求平均值为

12??2?0a(1?cos?)d??a2??2?0(1?cos?)d??a?2??a2?7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足|f(x)|?m?0.证明积.

证因f在[

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