高三文科数学模拟试卷(一)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016届高三文科数学模拟试卷（一）第I卷本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟参考公式：半径为R的球的表面积公式：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.,,又,所以或,选D.2.已知为虚数单位，且，则实数()A.B.C.或-D.或因为,所以,选D.3.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.3.解:令,得,选A.4.函数的图像的一条对称轴方程是（）A.B.C.D.4.解:因为,所以,选C.5.设，，若则（）A.为无理数B.为有理数C.D.5.解:因为,所以,则为无理数,选A.6.设偶函数，则不等式的解集为()A.B.C.D.6.解:由是偶函数,得,则函数的图象与轴的交点为和,把向右平移两个单位长度得,即函数的图象与轴的交点为和,所以不等式的解集为,选B.7.已知点为等腰直角三角形斜边的中点，则下列等式中恒成立的是()A.B.C.D．7.解:,选D.8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为（）A.石B.石C.石D.石8.解:,选C.9.对任意非零实数，定义的算法原理如程序框图所示.设为函数的最小值，为抛物线的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出结果是()A.B.C.D.9.解:因为,所以,选B.10.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.10.解:该几何体是母线为,底面半径为的圆锥,其外接球的球心是轴截面正三角形的中心,所以求的半径为,球的表面积为,选A.11.已知满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.11.解:表示点到的距离的平方小于或等于,画出可行域,知点到的距离最大,所以,选C.12.若函数有且仅有两个不同零点，则的值为() A.B.C. D.不确定12.解:因为,所以与是函数的极值点,因为,所以当时,函数有且仅有两个不同零点，即,解得,选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，水位下降米后，水面宽米．13.解:设抛物线的方程为,则点在抛物线上,所以,则,所以抛物线的方程为,当水位下降米后，设点在抛物线上,则,即,所以水面宽为米.14.已知等比数列为递增数列.若，且，则数列的公比_____.14.解:因为,所以,则,解得或,因为等比数列为递增数列.且，所以.15.设的内角的对边分别为,且,,则____.15.解:因为,所以,又,所以,由余弦定理得,则.16.如图，在正方体中，分别是棱，的中点．给出以下四个结论:①直线与直线相交；②直线与直线平行；③直线与直线异面；④直线与直线异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论序号都填上)16.解:与异面，故①错；与异面，故②错；③④正确．三、解答题：本大题共8小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题满分12分)等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的值．17.解:(1)设等差数列的公差为.由已知得,解得……4分所以……6分(2)因为，所以,……………9分.…12分18.（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位:）为时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年8月某日某省个监测点数据统计如下:空气污染指数(单位：)监测点个数(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气污染指数分别为和的监测点中，用分层抽样的方法抽取个监测点，从中任意选取个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？18.解:(1)因为，所以,因为,所以,……2分，，.频率分布直方图如图所示…5分(2)在空气污染指数为和的监测点中分别抽取4个和1个监测点.设空气污染指数为的4个监测点分别记为a,b,c,d；空气污染指数为的1个监测点记为E。从中任取2个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d),(b,E),(c,d),(c,E),(d,E)共10种，…8分其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种，……10分所以事件A“两个都为良”发生的概率是.……12分19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，，,，，.(1)求证:；(2)求证:平面平面；(3)求三棱锥的体积；19.(1)证明:∵平面,平面,∴…………2分∵平面，CD平面，∴∥平面…………4分(2)证明:因为平面，平面，所以.又因为，,，所以平面.………7分又因为平面，所以平面平面.………………8分(3)解:∵平面，∴是三棱锥的高；…………9分在中，，∴,∴四棱锥的体积.……12分20.(本小题满分12分)设椭圆：()的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆.(1)求椭圆的方程；(2)已知，是椭圆的下焦点，在椭圆上是否存在点P，使的周长最大？若存在，请求出周长的最大值，并求此时的面积；若不存在，请说明理由.20.解:(1)∵双曲线的离心率为，∴椭圆M的离心率为,……2分∵椭圆M内切于圆,得…………4分所求椭圆M的方程为．……5分(2)椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：,的周长为当且仅当点P在线段的延长线上时取等号.∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值，……………9分直线的方程为，由∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，…11分的面积.…12分21.(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的极值；(2)若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.21.解:(1)由已知得的定义域为，且，…………2分当时，，∴在单调增，无极值；…………3分当时，由由∴…………4分∴,无极小值。…5分综上：当时，无极值；当时，有极大值为，无极小值；…………6分(2)在区间上有最值，在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，又…………9分由题意知：对任意恒成立，因为对任意，恒成立∴∵∴………………12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.(本题满分10分)如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点.(1)求证:是圆的切线；(2)若的半径为2，，求的值.22.解:(1)连接，可得，∴，…………3分又，∴，又为半径，∴是圆的切线………………5分（2）连结BC，在中，…7分又∵由圆的切割线定理得：…10分23.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；(1)求曲线的直角坐标方程；(2)若，求直线的倾斜角的值。23.解:(1)∵…3分∴，∴曲线的直角坐标