七八年级三角形的奥数题及其答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——七，八年级三角形的奥数题及其答案《三角形综合》

例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC

例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．

例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．

例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．

求证：PQ＝PB＋DQ．

例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．

例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝23，PC＝4，求ΔABC的边长.

例题7：如图（l)，凸四边形ABCD，假使点P满足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

(l）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。

(2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保存画图痕迹（不需写出画法）.(3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2))，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。

例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

练习试题：

?ABC和?ACB的平分线相交于点O，1．如图，在△ABC中，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD?AC于D．以下四个结论：

1①?BOC?90°+?A；

2②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD?m，AE?AF?n，则S△AEF?mn；④EF不能成为△ABC的中位线．

其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S?DMC、S?DAC和S?DBC分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。当AB∥CD时，有S?DMC＝

S?DAC?S?DBC(1)

2（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。

（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，S?DMC、S?DAC和S?DBC有何种相等关系？试证明你的结论。

AMBABMD图1CD图2C

CAODM图3B

3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62，则∠AEB的度数是（A）124

o

o

（B）122

o

（C）120

o

（D）118

o

4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝60，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________

0

∴Rt△OEB≌Rt△OFE。

∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。

（3）解：不一定成立。

注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC，如例如图

练习1

3解：

∵等边△ABC、等边△CDE

∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE∴∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD（SAS）∴∠CBD=∠CAE∵∠EBD＝62

∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE∴∠CAE＝62-∠CBE

∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝1224

CN＋BM＝MN

证明：延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1

由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，

∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°

∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝CN＋BM即CN＋BM＝MN5

（1）证明：

∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360o∴∠APB=∠BPC=120o∴∠PAB+∠PBA=180o-120o=60o∠ABC=∠PBC+∠PBA=60o∴∠PAB=∠PBC

∴⊿PAB∽⊿PBC（2）解：

∵⊿PAB∽⊿PBC∴PA/PB=PB/PC推出PB2=PA·PC=6×8=48PB=√48=4√36

设∠EDC=x,∠B=∠C=y

∠AED=∠EDC+∠C=x+y

又由于AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y

又由于∠ADC=∠B+∠BAD所以2x+y=y+30

解得x=15

所以∠EDC的度数是15度7

1）如图3，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，∴∠4=30°．同理∠6=30°．∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60°．（2）如图4，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7．∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，∴2∠5=2∠6，∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，∴∠AEB=60°．

8

①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．解答：解：①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90