机器人雅可比矩阵

机器人技术基础第四章机器人雅可比矩阵(ManipulatorJacobian)课程的基本要求:掌握运动和力雅可比矩阵的物理含义及基本的求解方法现在是1页\一共有77页\编辑于星期四4.1雅可比矩阵的定义现在是2页\一共有77页\编辑于星期四回顾：基本概念刚体位姿描述和齐次变换齐次坐标,欧拉角与RPY角齐次变换和齐次变换矩阵的运算操作臂运动学连杆参数、连杆坐标系连杆变换和运动学方程机器人关节空间与操作空间现在是3页\一共有77页\编辑于星期四关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置关节空间操作空间运动学正解运动学反解现在是4页\一共有77页\编辑于星期四关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度关节空间操作空间运动学正解运动学反解现在是5页\一共有77页\编辑于星期四4.1雅可比矩阵的定义(Jacobianmatrix)操作空间速度与关节空间速度之间的线性变换。操作臂的雅可比矩阵，建立了从关节速度向操作速度的映射关系。进行机器人操作臂的速度分析。式中，称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作速度，为关节速度；是6×n的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。它的第i行第j列元素为，i=1,2,…,6;j=1,2,…,n。操作臂的运动学方程，描述机器人操作臂的位移关系，建立了操作空间与关节空间的映射关系。刚体的齐次变换矩阵，描述刚体之间的空间位姿关系。现在是6页\一共有77页\编辑于星期四假设矢量yRm为uRn的函数y=y(u)y相对于u的偏导数定义为

对于m=1,（标量对矢量的导数）现在是7页\一共有77页\编辑于星期四根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。

求微分，

注意，如果函数f1(q)到f6(q)是非线性的，则是q的函数，写成，式子两边同除以时间的微分，上式中，66的偏导数矩阵J(q)叫做雅可比矩阵。其中现在是8页\一共有77页\编辑于星期四雅可比矩阵机器人关节数*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型现在是9页\一共有77页\编辑于星期四雅可比矩阵在机器人中的应用现在是10页\一共有77页\编辑于星期四可以把雅可比矩阵看作是关节的速度

变换到操作速度V的变换矩阵在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起的。必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。现在是11页\一共有77页\编辑于星期四现在是12页\一共有77页\编辑于星期四(x,y)21xyl1l2例4.1将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得其雅可比矩阵为平面2R机械手的运动学方程为现在是13页\一共有77页\编辑于星期四对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）(singularconfiguration)现在是14页\一共有77页\编辑于星期四(x,y)21xyl1l2例4.1可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位当2＝90或2

＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(2

＝0)或完全缩回(2

＝180)时，机械手末端丧失了径向自由度．仅能沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。现在是15页\一共有77页\编辑于星期四例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm/s的速度运动，求相应的关节速度解：由

可以看出，只要机械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应的关节速度即可解出对于平面2R机械手，运动学方程为平面2R机械手的速度反解现在是16页\一共有77页\编辑于星期四例4.2如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以lm/s的速度运动，求相应的关节速度解：雅可比J(q)为于是得到与末端速度相应的关节速度反解为逆雅可比可为现在是17页\一共有77页\编辑于星期四讨论：机械手接近奇异形位时，关节速度将趋于无穷大。当2＝0；2＝180时，机械手在水平位置，现在是18页\一共有77页\编辑于星期四例：物理仿真中的雅可比矩阵约束函数C(x),单位圆上的质点位置约束为一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函数，则速度约束

矩阵被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，求微分，根据力学关系，建立微分约束方程，基于物理仿真。现在是19页\一共有77页\编辑于星期四现在是20页\一共有77页\编辑于星期四现在是21页\一共有77页\编辑于星期四现在是22页\一共有77页\编辑于星期四现在是23页\一共有77页\编辑于星期四现在是24页\一共有77页\编辑于星期四现在是25页\一共有77页\编辑于星期四现在是26页\一共有77页\编辑于星期四现在是27页\一共有77页\编辑于星期四例子2：立体视觉雅可比矩阵两只CCD摄像机任意的安装在机器人手腕上，形成手眼机器人立体视觉系统。{Xc,Yc,Zc}为摄像机坐标系，{x,y}为图像坐标系，CO为摄像机焦距f{Xw,Yw,Zw}为世界坐标系，则根据上述透视投影关系,得到以世界坐标系表示的P点坐标与其投影点p的坐标(x,y)的关系：scenepointopticalcenterimageplaneyxXcYcCOpP(Xc,Yc,Zc)ZcXwYwZwW摄像机成像模型现在是28页\一共有77页\编辑于星期四对上式两边求导，得：为世界坐标系到图像坐标系的雅可比映射矩阵，它是摄像机内外参数的函数。进一步，经过立体视觉摄像机定标，得到：其中，=，k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服控制方程。如果物体在世界坐标系下的速度已知，根据采样时间步长t，前一帧图像位置x(k)，根据上式可以估计下一帧图像位置x(k+1)，则可通过控制摄像机位姿，可以实现对目标的跟踪。现在是29页\一共有77页\编辑于星期四4.2微分运动与广义速度现在是30页\一共有77页\编辑于星期四4.2微分运动与广义速度

刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者又绕三个坐标轴的微分转动组成，即将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标系的微分运动矢量：

相应地，刚体或坐标系的广义速度V是由线速度v,

组成的6维矢量：

现在是31页\一共有77页\编辑于星期四dδ

微分运动D和广义速度V是相对于参考坐标系而言的。例如，相对于坐标系{T}而言，用，表示。

现在是32页\一共有77页\编辑于星期四dδ若相对于基坐标系的微分运动为D，则相对于坐标系{T}的微分运动为{T}pnoa注意：D的微分位移和旋转应看作通过基坐标系的原点的矢量。现在是33页\一共有77页\编辑于星期四合并写为现在是34页\一共有77页\编辑于星期四对于任何三维矢量p=[px，py，pz]T，其反对称矩阵S(p)定义为S(p)是一个叉积算子，易证S(p)=p,

S(p)=–(p)T

现在是35页\一共有77页\编辑于星期四微分位移的变换简写为

式中,R=[n,o,a]是旋转矩阵。

相应地，广义速度V的坐标变换为任意两坐标系{A},{B}之间广义速度的坐标变换为现在是36页\一共有77页\编辑于星期四4.3雅可比矩阵的构造法现在是37页\一共有77页\编辑于星期四雅可比矩阵J(q)既可看成是从关节空间向操作空间速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即对n个关节的机器人，J的每一列代表相应的关节速度对于手爪线速度和角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块为4.3雅可比矩阵的构造法关节速度线速度角速度现在是38页\一共有77页\编辑于星期四关节1速度引起手爪的线速度下面采用构造性的方法直接构造出各项Jti和Jai现在是39页\一共有77页\编辑于星期四Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅可比的矢量积方法。如图所示,末端手爪的线速度v和角速度与关节速度

有关（1）对于移动关节i,（2）对于转动关节i,标量矢量现在是40页\一共有77页\编辑于星期四矢量积方法其中，表示手爪坐标原点相对坐标系{i}的位置矢量在基坐标系{o}中的表示。zi是坐标系{i}的z轴单位向量(在基坐标系{o}表示的)。现在是41页\一共有77页\编辑于星期四用矢量积方法计算J(q)由于PUMA560的6个关节都是转动关节．因此其雅可比具有下列形式：4.4PUMA560的雅可比矩阵现在是42页\一共有77页\编辑于星期四4.5力雅可比现在是43页\一共有77页\编辑于星期四机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力f和力矩n，统称为末端广义(操作)力矢量。记为例如，操作臂提取重物时承受的外载作用力和力矩；抓手对被抓物体的作用力和力矩；多足步行机构与地面的作用力和力矩。在静止状态下，广义操作力矢量f应与各关节的驱动力(或力矩)相平衡。n个关节的驱动力(或力矩)组成的n维矢量称为关节力矢量预备知识—操作器的静力现在是44页\一共有77页\编辑于星期四利用虚功原理．可以导出关节力矢量与相应的广义操作力矢量F之间的关系。令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应的虚位移为D。所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。各关节所作的虚功之和W＝Tq与末端执行器所作的虚功W＝FTD＝fTd+nT应该相等(总的虚功为零)，即将代入上式可得出操作臂的力静态平衡现在是45页\一共有77页\编辑于星期四4.5力雅可比式中，JT(q)称为操作臂的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。上式也表示操作臂的力雅可比就是它的(运动)雅可比的转置。因此可以看出．操作臂的静力传递关系与速度传递关系紧密相关。具有对偶性。操作臂的力雅可比表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。现在是46页\一共有77页\编辑于星期四当J(q)退化时(即秩亏)，操作臂处于奇异形位。J(q)的零空间N(J(q))表示不产生操作速度的关节速度的集合。静力映射的零空间N(JT(q))代表不需要任何关节驱动力(矩)而能承受的所有操作力的集合，末端操作力完全由机构本身承受。而值域空间R(JT(q))则表示操作力能平衡的所有关节力矢量的集合。现在是47页\一共有77页\编辑于星期四根据线性代数的有关知识，零空间N(J(q))是值空间R(JT(q))在n维关节空间的正交补，即对于任何非零的N(J(q))，则有R(JT(q))；反之亦然。其物理含义是，在不产生操作速度的这些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。为了使操作臂保持静止不动，在零空间N(J(q))的关节力矢量必须为零。现在是48页\一共有77页\编辑于星期四在m维操作空间中存在着相似的对偶关系。R(J(q))是N(JT(q))在操作空间的正交补。因此，不能由关节运动产生的这些操作运动的方向恰恰正是不需要关节力矩来平衡的操作力的方向。反之，若外力作用的方向是沿着末端执行器能够运动的方向，则外力完全可以由关节力(矩)来平衡。当雅可比J(q)退化时，操作臂处于奇异形位，零空间N(JT(q))不只包含0，因而外力可能承受在操作臂机构本身上。利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以从瞬时运动关系推导出相应的静力关系。由式(4.18)可以导出两坐标系{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系现在是49页\一共有77页\编辑于星期四例：双连杆平面机器人(p48,55-56)：双连杆操作器现在是50页\一共有77页\编辑于星期四4.5雅可比的奇异性和灵巧度一、雅可比的奇异性操作臂的雅可比依赖于形位q，关节空间的奇异形位q定义为操作臂6×n的雅可比的秩不是满秩的这些关节矢量q，即满足相应的操作空间中的点x＝x(q)为工作空间的奇异点。在奇异形位处，操作臂丧失一个或多个操作自由度。粗略地讲，机器人的奇异形位分为两类：

(1)边界奇异形位；

(2)内部奇异形位。现在是51页\一共有77页\编辑于星期四二、速度反解机器人在执行某一特定任务时，所需抓手独立运动参数的数目m随任务的性质而异，最多为6，有些则小于6，例如弧焊、喷漆等有对称轴线，独立运动参数是5个；带球形测头的机器人需要3个独立运动参数；用于圆柱铣刀加工的需要4个独立运动参数。用于端铣刀的需要4个独立运动参数，用于平面作业的机器人需要3个独立运动参数。独立运动参数的数目即为操作空间的维数m(1)当M＜n，且J(q)是满秧时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为dim(N(J))(2)当M＝n，且J(q)是满秩的，称为满自由度；(3)当M＞n，机器人是欠自由度的。现在是52页\一共有77页\编辑于星期四对于满自由度的机器人，J(q)是方阵，一般情况下，根据操作速度

，可以反解出相应的关节速度。只是在奇异形位时，逆雅可比J-1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇异点附近J(q)矩阵是病态的，反解的关节速度矢量可能趋于无限大。操作臂的运动性能和动态性能变坏。实际上，若雅可比J(q)是满秩方阵时，操作臂运动方程的速度反解为雅可比矩阵的秩若J是方阵，且非奇异，求逆运算现在是53页\一共有77页\编辑于星期四对于冗余度机器人，其雅可比的列数多于行数．即n＞m。当J(q)是满秩的时，冗余度为dim(N(J(q)))=nm>0其运动方程(4.2)的速度反解不唯一，解集合所包含的任意参数的数目等于冗余度dim(N(J(q)))。其通解可表示为式中，

是方程(4.2)的一特解;是J(q)零空间的任意矢量，k是任意常数.冗余度机器人对于避免碰撞，避开奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态性能会带来好处。现在是54页\一共有77页\编辑于星期四若

其中

是J的广义逆现在是55页\一共有77页\编辑于星期四操作臂雅可比的奇异性定性地描述了操作臂的运动灵巧性和运动性能。为了定量分析操作臂的灵巧性和速度反解的精度，提出了许多度量指标。所有这些指标在概念上都与雅可比的奇异值有关。根据矩阵的奇异值分解理论，对操作臂在任意形位的雅可比J(q)进行奇异值分解，即式中，

为正交矩阵，而式中，1＞2＞…＞m＞0为J的奇异值。三、雅可比矩阵的奇异值分解现在是56页\一共有77页\编辑于星期四1.条件数四、灵巧性度量指标最大奇异值最小奇异值2.最小奇异值操作臂形位具有各向同性操作臂终端对于关节运动的响应越快。现在是57页\一共有77页\编辑于星期四3．可操作性(可操作度)小节计算雅克比速度映射力映射现在是58页\一共有77页\编辑于星期四作业：4.4,4.5,4.15现在是59页\一共有77页\编辑于星期四4.7刚度和变形机械臂在外力作用下发生变形，与操作臂刚度和作用力矢量有关。刚度是影响动态特性和定位精度的主要因素。主要来源：连杆变形、连杆支撑和关节驱动装置。现在是60页\一共有77页\编辑于星期四机器人关节变形的一个直接影响是引起末端的静态变形误差。在机器人的自重和外部负载的作用下，各关节会发生相应的变形，而这种变形又会累积到机器人的末端。对串联机器人，这种作用尤为明显。现在是61页\一共有77页\编辑于星期四对于绝大多数工业机器人，连杆臂的刚度足够大，机器人的弹性变形主要体现在组成关节的传动部件上。关节变形主要是由传动件产生，如谐波齿轮，齿轮箱，传动带，长转轴。连杆变形则主要是机械臂的结构刚度不足引起的。转子—扭簧模型现在是62页\一共有77页\编辑于星期四现在是63页\一共有77页\编辑于星期四现在是64页\一共有77页\编辑于星期四现在是65页\一共有77页\编辑于星期四操作刚度建模为操作柔度矩阵为操作刚度矩阵在关节处附加一个弹簧，其弹性系数为k。

称k为关节刚度，称k的倒数c为关节柔度。设各关节刚度为kqi，在外力F的作用下，末端的变形为X，各关节的弹性变形为dqi。现在是66