新概念物理03相互作用与场

§7.4静电场的高斯定理和环流定理一、静电场的高斯定理

Gauss’law1、电场强度通量ΦE的定义：nθEdSS

由于真空中库仑力为平方反比有心力场，所以高斯定理同样也成立。dΦE=

E

·dSΦE=S

E

·dS2、静电场的高斯定理真空中静电场引力场E=(1/4πεo

)q/r2ro

Eg

=-Gm/r2roq

m1/4πεo

-G引力场的高斯定理：

Φg=-4πGΣ(S内)mi

静电场的高斯定理真空中：

ΦE=4π(1/4πεo)

Σ(S内)qi

=Σ(S内)qi/εo静电场的高斯定理：∮E

·dS=Σ(S内)qi/εo物理意义：通过一个任意闭合曲面S的静电场通量ΦE等于该面所包围的的所有电荷电量的代数和Σqi除以εo，与闭合面外的电荷无关。即：

在静电场中，通过任意封闭曲面电力线矢量的通量，等于面内所包围的所有电荷代数和除以真空中的介电常数。

若电荷在封闭曲面外，则电力线矢量的通量为零。因为有几条电力线进入封闭曲面内必然有同样数目的电力线从封闭曲面内出来。

可以证明对于运动电荷的电场，高斯定理仍然成立。+qq3、电位移矢量

Electricdisplacement

在有电介质存在时，计算总电场的电场通量应计及高斯面内所包含的自由Free电荷qo和束缚Polarization

电荷q’，即：∮E

·dS=Σ(S内)(

qo+q’)/εo

=(Σ(S内)qo+Σ(S内)q’)/εo

因为：Σ(S内)q’=-∮P

·dS

消去束缚电荷Σq′，∮E

·dS=(Σ(S内)qo-∮P

·dS)/εo

所以：∮(εoE+P)·dS=Σ(S内)qo引入辅助性物理量D——电位移矢量电位移矢量定义：

D=εoE+PD相应可用电位移线及电通量Φe来描述电通量：Φe=∮D

·dS

4、介质中的静电场高斯定理∮D

·dS=

Σ(S内)qo结论：闭合曲面的电通量仅与曲面包含的净自由电荷qo有关，与束缚电荷q’无关。

但应注意这并不表示电位移矢量本身与束缚电荷无关。高斯定理的物理意义：

当qo是正号时，Φe>0，表示有电位移线从qo发出，通过闭合曲面。所以正号的qo称为静电场的源头。当qo是负号时，Φe<0，表示电位移穿过闭合曲面而终止于qo。所以负号的qo称为场的尾闾。因此高斯定理表明了电位移线始于自由正电荷，终于自由负电荷，亦即静电场是有源场。5、电力线与电位移线电力线（E

线）：起源于正电荷或无穷远处，终止于负电荷或无穷远处。

电位移线（D

线）：起源于正的自由电荷或无穷远处，终止于负的自由电荷或无穷远处。--------++++++++++6、

D，E，P

三者关系对各向同性的电介质有：

P=χeεo

E其中χe称为极化率，所以：

D=εo

E+P=εo

E+χeεo

E

=(1+χe)εo

E=

εrεo

ED=εE上式表明，若P与εo

E

成比例，则D也与εo

E

成比例。其中εr=1+χe，称为介质的相对介电常数，

ε=εrεo称为介质的介电常数。二、静电场的环流定理由于静电作用是保守力，试验电荷在电场中运动经过闭合路线回到原来位置时，静电作用力所作的功为零，亦即：

A=∮LqE·dl=q∮L

E·dl=0

因为试验电荷q≠0，所以上式可改为∮L

E·dl=0即静电场的环流定理，这是静电场的重要特性之二，它表明静电场是保守场。

正是由于静电场是保守场，才能引入电势的概念。σDD三、利用高斯定理求电场例7-4试求无限大均匀带电平面的电场解：设电荷面密度为σ，由对称性可知两侧距平面等远的点场强大小一样，方向处处与平面垂直，并指向两侧。根据场强分布的这个特点，我们把高斯面取成如图所示的形式。

设两底面分别为S1和S2(

S1=S2=ΔS)，柱体侧面为S3。S3S1S2高斯面通过高斯面的电通量：∮D·dS=∫S1D·dS+∫S2D·dS+∫S3D·dS

=DS1+DS2+0=2DΔSΣ(S内)qo=σΔS高斯定理：∮D·dS=Σ(S内)qo即：

2DΔS=σΔS从而求得：

D=σ/2σDDS3S1S2高斯面因此电场强度的大小为

E=σ/2εo(真空中)E=σ/2ε(无限大均匀电介质中)上式表明场强E与平面到场点的距离无关。对于均匀带负电的无限大平面上式也成立，只是场强方向相反，从两侧指向平面。+σEE-σEE例7-5试求均匀带电球面的电场和电势分布。设球面带电总量为q>0，半径为R，球面内外充满均匀电介质，其介电系数分别为ε1和ε2。解：根据电荷分布的对称性，可知同心球面上各点场强的大小均相同，方向沿半径向外呈辐射状。R++++++++++++++++qε1ε2r高斯面D

取同心球面为高斯面。一、电场1、在球面内

(r<R)∮D·dS=∮DdS=4πr2DΣ(S内)qo=0根据高斯定理：∮D·dS=Σ(S内)qo4πr2D=0D=0由此可得场强分布：

E=0ro

(r<R)表面均匀带电球面内部空间的场强处处为零。R++++++++++++++++qε1ε2r高斯面D2、在球面外

(r>R)∮D·dS=∮DdS=4πr2DΣ(S内)qo=q根据高斯定理：∮D·dS=Σ(S内)qo4πr2D=qD=q/4πr2由此可得场强分布：

E=q/4πε2r2

ro

(r>R)表明均匀带电球面在外部空间产生的电场，与其电荷全部集中在球心时产生的电场一样。R+++++++++++++++rDq高斯面均匀带电球面电场分布：

E=0ro

(r<R)

E=q/4πε2r2

ro

(r>R)场强的大小随半径r的变化情况见下图。可以看出，场强在球面上(r=R)的数值有个跃变。rE2r10π2R4qRε2二、电势1、在球面外

(r>R)U(r)=∫r∞

E·dr=∫r∞qdr/4πε2r2

=q/4πε2r(r>R)结果与点电荷情形一样；2、在球面内

(r<R)U(r)=∫r∞

E·dr

=∫rR

E·dr+∫R∞

E·dr

=∫R∞

E·dr=∫R∞qdr/4πε2r2

=q/4πε2R(r<R)rUr10πR4qRε2均匀带电球面电势分布：

U(r)=q/4πε2R(r<R)U(r)=q/4πε2r(r>R)

在球面外的与点电荷情形一样，在球面内电势到处与球面处的值一样，是常数。可以看出，电势在球面上(r=R),U与E不同，它的数值没有跃变。例7-6试求均匀带电的无限长细棒的电场和电势分布，设棒上线电荷密度为η>0，周围为真空。η例7-6试求均匀带电的无限长细棒的电场和电势分布，设棒上线电荷密度为η>0，周围为真空。Dη解：一、电场根据轴对称性，即在任何垂直于棒的平面内同心圆周上场强的大小都一样。场强的方向与棒垂直呈辐射状(见图)。解：一、电场根据轴对称性，即在任何垂直于棒的平面内同心圆周上场强的大小都一样。场强的方向与棒垂直呈辐射状(见图)。取同轴圆柱面及两底面为高斯面。Dlr高斯面η例7-6试求均匀带电的无限长细棒的电场和电势分布，设棒上线电荷密度为η>0，周围为真空。Φe=∮D·dS

=∫侧面D·dS+∫上底D·dS+∫下底D·dS

上、下底面上D⊥dS，所以最后两项为0；在侧面上D与dS

方向相同，故：Φe=∫侧面D·dS

=2πrlDΣ(S内)qo=ηl根据高斯定理：2πrlD=ηl

D=η/2πr故场强分布为E=η/2πεorroDlr高斯面η二、电势因为∫P∞

E·dl

∞，所以不能选无限远处作为电势零点。

选某一距带电细棒为ro的Po点为电势零点，则距带电细棒为r的P点的电势为U(r)=∫PPo

E·dl

=∫PP’

E·dl+∫P’Po