7.22初中数学旋转专题

./旋转证明利用旋转添加辅助线ABADBACBAEBAFBA例1ABADBACBAEBAFBA〔3若△EFC周长为,求正方形的面积.变式1：如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知AB=a,△MCN的周长为2a,ADMBCADMBCNABCED1.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,ABABCEDABACDEABACDEF探究：BF、DE与AE的关系.5.如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立。〔1如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由。〔2若将〔1中的条件改为：在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系,并证明。例2.在等边△ABC中,O为△ABC内一点,连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=,求∠AOB,∠BOC的度数分别是多少？ABACADA2.如图,点D为等边△ABCABACADA3.在等边△ABC中,O为△ABC内一点,连接AO、BO、CO,有∠AOB＝,∠BOC=.问：AO、BO、CO三条线条能否构成一个三角形若能,求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能,请说明理由。25〔09XX一模.〔本小题8分图①图②〔1已知：如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E在斜边AB上,且∠DCE=45°.求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；〔2已知：如图②,等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数；〔3在〔1的条件下,如果AB=10,求BD·AE的值．25〔09西城一模．已知：,,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.〔1如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长；〔2当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.旋转型相似例1.图1是边长分别为a和b〔a＞b的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起〔C与C′重合的图形．〔1操作：固定△ABC,将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连结AD,BE,如图2；在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．〔2操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度,连结AD,BE,如图3；在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．〔3根据上面的操作过程,请你猜想当为多少度时,线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时,线段AD的长度最小？是多少？〔不要求证明图1图2图3例2.如图为等边△ABC和菱形BDEF,∠DBF=60°〔1观察图形eq\o\ac<○,1>,猜想AF与CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.〔2将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转,使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部,在图eq\o\ac<○,2>中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:<1>中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;〔3在上述旋转过程中,AF与CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.ACACBeq\o\ac<○,2>ACBDFEeq\o\ac<○,1>练习1．点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE．取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN,MN．〔1若和是等腰直角三角形,且<如图1>,则是三角形．〔2在和中,若BA=BE,BC=BF,且,〔如图2,则是三角形,且.〔3若将〔2中的绕点B旋转一定角度,<如同3>,其他条件不变,那么〔2中的结论是否成立？若成立,给出你的证明；若不成立,写出正确的结论并给出证明.3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB＝AC,EC＝ED,∠BAC＝∠CED,直线AE、BD交于点F。<1>如图①,若∠BAC＝60°,则∠AFB＝_________；如图②,若∠BAC＝90°,则∠AFB＝_________；<2>如图③,若∠BAC＝α,则∠AFB＝_________<用含α的式子表示>；<3>将图③中的△ABC绕点C旋转<点F不与点A、B重合>,得图④或图⑤。在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和,则称这个四边形为等平方和四边形。〔1写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：〔2如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD是等平方和四边形。〔3如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度〔0<a<90°后得到图,那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形？若能,请证明；若不能,请说明理由。三．正方形中的旋转例1.如图1已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上<直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF>,将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。<1>在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化,请说明是如何变化的？若不发生变化,求出其面积；<2>继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM＝DN是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由；<3>继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM＝DN是否仍然成立？请写出结论,不用证明。练习：1.已知∠AOB=900,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB<或它们的反向延长线>相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时<如图1>,易证：OD+OE=eq\r<,2>OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明；若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明．2.〔08平谷一模25．在图中,把一副直角三角板ABC和EFG〔其短直角边长均为4叠放在一起〔如图①,且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕点O顺时针旋转〔旋转角α满足条件：,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分〔如图②．〔1在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；〔2联结HK,在上述旋转过程中,设BH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；图①图②〔3在〔2的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC图①图②3.〔08延庆一模23．〔1已知：有两块完全相同的含45°角的三角板,如图10－1,将Rt△DEF的直角的=顶点D放在Rt△ABC斜边AB的中点处,这时两块三角板重叠部分△DBC的面积是△ABC的面积的；〔2如图10－2,点D不动,将Rt△DEF绕着顶点D旋转〔0°＜∠＜90°,这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM,这时四边形DNCM的面积是△ABC的面积的；〔3若Rt△DEF的顶点D在AB上移动〔不与点A、B重合,且两条直角边与Rt△ABC的两条直角边相交,是否存在一点,使得两块三角板重叠部分的面积是Rt△ABC的面积的EQ\F<4,9>,如果存在,请在图10－3中画出此时的图形,并说明点D在AB上的位置。如果不存在,说明理由。图10－图10－3图10－2图10－14.〔08东城一模25．已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=900,点D为BC上一点,把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.〔1如图1,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积〔直接写出结果；〔2如图2,若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE＝,两块三角板重叠部分的面积为,求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围；〔3若,将三角板绕点D逆时针旋转,使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E,设CF=,两块三角板重叠部分的面积为,求出的函数关系,并写出自变量的取值范围．24〔09延庆一模.如图24－1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E．〔1猜想：ME与MF的数量关系〔2如图24－2,若将原题中的"正方形"改为"菱形",且∠M=∠B,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明．〔3如图24－3,若将原题中的"正方形"改为"矩形",且AB:BC=1:2,其它条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并说明理由．〔4如图24－4,若将原题中的"正方形"改为平行四边形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它条件不变,求出ME：MF的值。〔直接写出答案四.倍长中线解决四边形旋转例1.〔08北京请阅读下列材料：问题：如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结．若,探究与的位置关系及的值．DABEFCPG图DABEFCPG图1DCGPABEF图2请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题：〔1写出上面问题中线段与的位置关系及的值；〔2将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变〔如图2．你在〔1中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．〔3若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值〔用含的式子表示．解：〔1线段与的位置关系是；．练习1.如图1,操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞BC,取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系,并加以证明。说明：〔1如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步；〔2在你经历说明〔1的过程之后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明。DM的延长线交CE于点N,且AD＝NE；将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°〔如图2,其他条件不