长沙市一中2022年上学期高二期中考试理科数学试卷

湖南省长沙市第一中学高二下学期期中考试（理选）试卷命题：汤江波王思亮审核：王斌张万敏（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，那么的值是（）．A．B．C．D．22.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，则图中与△ADE相似的三角形个数为（）．A．1B．2C．3D3．已知，设，则下列判断中正确的是（）．A．B．C．D．4．下列4个命题①两平行直线的正射影一定是平行直线；②直角的正射影不可能是锐角；③三角形的正射影是三角形；④三棱锥的顶点在底面的正射影是底面三角形的内心，则侧面与底面成二面角均相等。其中正确的命题个数为（）．A．1B．2C．3D．5设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是()．A.（0，） B.（－，）C.（0，π） D.(－，π）CCBDAPO6．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为（）．°

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8．设，且，那么的最值情况是（）．A．有最大值2，最小值B．有最大值2，最小值0C．有最大值10，最小值D．最值不存在二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在对应题号后的横线上．9．学校拟对高中三个年级数学竞赛获奖选手进行奖励，每个年级选手均奖励同样奖品，已知高一、高二、高三获奖选手分别有10人，9人，8人，现有三种奖品可选择，其单价分别为10元、9元、8元，那么至多花元．10．在一个封闭圆柱容器内装有部分液体，如果任意转动该圆柱使得液面椭圆与圆柱底面成30度角，那么该椭圆的离心率为．11．圆锥的轴截面是等边三角形，若与轴成角的平面与圆锥的交线为椭圆，则的取值范围是．12．若x∈R，则函数的最小值_________________.13．若x∈[-1，1，则函数的最大值_________________.14．在算式“”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，〇）应为．15．若不等式对一切正数恒成立，则正数的最小值为．湖南省长沙市第一中学高二下学期期中考试数学（理科）答卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在对应题号后的横线上．9.10.11.12.13.14.15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．若函数（），在点A在切线平行于轴,（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最值.座位号17．(本小题满分12分)设函数，（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果，，求a的取值范围.18．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮游戏，规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮。现已知甲和乙每次投篮命中的概率分别是。两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响.(Ⅰ)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望。第19题19．（本小题满分13分）如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值,长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.第19题(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式；(Ⅱ)当为多长时,有最小值?最小值是多少?20.(本小题满分13分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.21．(本小题满分13分)已知数列的首项，，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前和为，证明湖南省长沙市第一中学高二下学期第一次阶段性考试数学（理科）试卷（本试卷共21题，满分150分，时量120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，那么的值是（B）A．B．C．D．22.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，则图中与△ADE相似的三角形个数为（D）A．1B．2C．3D3．已知，设，则下列判断中正确的是（B）A．B．C．D．4．下列4个命题①两平行直线的正射影一定是平行直线；②直角的正射影不可能是锐角；③三角形的正射影是三角形；④三棱锥的顶点在底面的正射影是底面三角形的内心，则侧面与底面成二面角均相等。其中正确的命题个数为（B）A．1B．2C．3D5设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是(D)A.（0，） B.（－，）CBDAPOC.（0，π） CBDAPO6．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为（B）CBDEOCBDEOAF7．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=8，则AC的长为(D)

C.

8．设，且，那么的最值情况是（A）A．有最大值2，最小值B．有最大值2，最小值0C．有最大值10，最小值D．最值不存在二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在对应题号后的横线上．9．学校拟对高中三个年级数学竞赛获奖选手进行奖励，每个年级选手均奖励同样奖品，已知高一、高二、高三获奖选手分别有10人，9人，8人，现有三种奖品可选择，其单价分别为10元、9元、8元，那么至多花元.答案24510．在一个封闭圆柱容器内装有部分液体，如果任意转动该圆柱使得液面椭圆与圆柱底面成30度角，那么该椭圆的离心率为.11．圆锥的轴截面是等边三角形，若与轴成角的平面与圆锥的交线为椭圆，则的取值范围是.12．若则取最大值时=.13．若x∈R，则函数的最小值_________________.14．在算式“”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对（△，〇）应为。（5，10）15．若不等式对一切正数恒成立，则正数的最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．若函数，在点A在切线平行于轴,（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最值.答案：（Ⅰ）=1；（Ⅱ）1.17．(本小题满分12分)设函数，（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果，，求a的取值范围.解：（1）当时，，由得：，（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。（法二）不等式可化为或或，∴不等式的解集为。（2）若，，不满足题设条件；若，，的最小值为；若，，的最小值为。所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。18．（本小题满分12分） 甲、乙两人进行投篮游戏，规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮。现已知甲和乙每次投篮命中的概率分别是。两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望。18．（1）解：记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A 由题意，得 答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是………………5分（2）解：由题意的可能有取值为0，1，2，3，则 , . , . 所以的分布列为0123P 的数学期望.………13分第19题19．（本小题满分13分）如图,某小区准备在一直角围墙内的空地上植造一块“绿地”,其中长为定值,长可根据需要进行调节(足够长).现规划在的内接正方形内种花,其余地方种草,且把种草的面积与种花的面积的比值称为“草花比”.第19题(Ⅰ)设,将表示成的函数关系式；(Ⅱ)当为多长时,有最小值?最小值是多少?19．解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()----2分设正方形的边长为,则由,得,------------------------4分解得,则------------------------5分所以,则------------------------8分(Ⅱ)因为,所以-------10分当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1---------------12分20.(本小题满分13分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,又在Rt△ESO中，cos∠ESO=即所求二面角的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则因此取因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故