其次章题答案

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一、证明方程1?x?sinx?0在?0,1?中有且只有一个根，使得二分法求误差不大于的根需要迭代多少次？（不必求根）解：设f(x)?1?x?sinx有

1?10?321?0f(0)?1?0,f(1)??sin?f(x)在?0,1?上连续且f(0)?f(1)??sin1?0?f(x)在?0,1?上有根。

又当x??0,1?时，f'(x)??1?cox?0所以f(x)在?0，1?上单减。

综上，方程1?x?sinx?0在?0,1?中有且只有一个根。采用二分法计算，其误差计算公式为x?x?对于此题有

*kb?a??2k?112k?1?1?10?32解得k?log21000

k取10既可满足。

二、求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代公式，试分析它们的收敛性，选一种收敛速度最快的迭代公式求方程的根，确切至四位有效数字。①x?1?321；②x?31?x2；③x?x3?1；④x?2x1。x?1解：对①?1(x)?1?1''?3,?(x)??2x,?11(1.5)?0.593?1，局部收敛2x2?12'2'3②?2(x)?1?x,?2(x)?(1?x)3?2x,?2(1.5)?0.456?1，局部收敛

3?132'③?3(x)?x?1,?(x)?(x?1)2?3x,?3(1.5)?2.190?1，发散

23'31④?4(x)??11'',?4(x)??(x?1)2,?4(1.5)?1.414?1，发散

2x?13'由于?(x)越小，收敛速度越快。

故取②式进行迭代计算。迭代公式为xk?1?31?xk。

2x0?1.5,x1?1.4812,x2?1.4727,x3?1.4688,x4?1.4670x5?1.4662,x6?1.4659满足终止条件

故确切至四位有效数字的近似值为x*?x6?1.4659?1.466。三、用迭代法求方程e?4x?0的根，确切至三位有效数字。解：设f(x)?ex?4x，

xf(0)?1,f(1)?e?4?0,f(0)?f(1)?0,故在?0，1?上至少有一根

f(2)?e2?8?0,f(3)?e3?12?0,f(2)?f(3)?0,故在?2，3?上至少有一根

画图可知，该方程最多有两个根。

?0，综上，f(x)?0有且仅有两根，分别位于区间1?和?2，3?内

***设两根分为别x1和x*,且x?(0,1）和x?（2,3).122①求x*1。迭代公式为

exkxk?1?，它对任意的x0??0，1?均收敛。

4取x0?0.5,迭代可得x5?0.3583,x6?0.3577满足终止条件

*故x1?x6?0.3577?0.358.

②求x2。迭代公式为xk?1?ln(4xk)，它对任意的x0??2,3?均收敛。

**取x0?2.5，同理可得：x2?x6?2.156?2.16。

''四、给定函数f(x)，设对一切x，f(x)存在且0?m?f(x)?M，证明对于

0???2x。

*M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根

证明：?f(x)?0

?f(x)为单调增函数。

'故f(x)?0的根x是唯一的（假定方程有根x）迭代函数?(x)?x??f(x),?'(x)?1??f'(x).由于0???**2,0?m?f'(x)?MM'则0??f'(x)?2，有?1?1??f'(x)?1，亦?(x)?1，

故此迭代过程收敛。综上，对于0???2f(x)?0的根x。

五、用牛顿法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根，要求计算结果确凿到4位有效数

3*M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于

?。字，根的确凿值x?1.87938524*f(x)x3?3x?12x3?1解：迭代函数?(x)?x?'?x??22f(x)3x?33(x?1)32xk?1迭代公式：xk?1?,(k?0,1,2,?)23(xk?1)取x0?2计算得到满足精度要求的近似值为x*?x3?1.8794?1.879。

n六、应用牛顿法于方程①f(x)?x?a?0；②f(x)?1?a?0。分别导出求na的迭代nx公式，并求极限limek?1,其中ek?na?xk.2k??ekn解：对①f(x)?x?a。

f(x)xn?a1a迭代函数?(x)?x?'?x?n?1?(1?)x?n?1

f(x)nxnnx迭代公式：xk?1?(1?)xk?对②f(x)?1?1na。n?1nxka。xnn?1xk1同理，迭代公式：xk?1?(1?)xk?。

nan记x?na则ek?x?xk

**ek?1x*?xk?1f''(x*)有lim2?lim??'*（具体证明可参考P26定理7的证明）2*k??ek??2f(x)x?xkk??对①，limek?11?n?n。

k??e22akek?11?n?n。

k??e22ak对②，lim七、探讨计算a的迭代公式xk?1?解：由题知：

xk(x2?3a)k3?a2k的收敛阶。

x(x2?3a)迭代函数为?(x)?

3x2?a?法一：有?(x)??3x?a?'3x2?a2?22，?(x)?''48ax(x2?a)?3x2?a?3。

经计算可知：

?（a)?a,?'(a)?0,?''(a)?0,?'''(a)?0,所以此迭代公式三阶收敛。法二：有(3x?a)?(x)?x(x?3a)对上式两端连续求导三次，得6x?(x)?(3x?a)?(x)?3x?3a6?(x)?12x?(x)?(3x?a)?(x)?6x18?(x)?18x?(x)?(3x?a)?(x)?6将x?'''2''''2''2'222a依次代入以上三式，并利用?(a)?a，得

a,?'(a)?0,?''(a)?0,?'''(a)?3?0。2a?（a)?所以此迭代公式三阶收敛。

2x2八、x?0是f(x)?e?1?2x?2x?0的几重根？取x0?0.5,分别用牛顿公式与求重

*根的修正牛顿公式计算此根的近似值，确切至f(xk)?10。解：f(x)?e'2x?4?1?2x?2x2

2xf(x)?2e?4x?2,f'(0)?0

f''(x)?4e2x?4,f''(0)?0f'''(x)?8e2x,f'''(0)?8?0

故x?0是f(x)?e2x?1?2x?2x2?0的3重根，即m=3.①牛顿迭代公式为：

2e2xk?1?2xk?2xkxk?1?xk?2xk2e?2