其次章 随机变量及其分布答案

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其次章随机变量及其分布

§2.1-2.2

一、填空题

1.设随机变量X的分布律是P?X?k??k(k?1,2,3,4),则105?123?1P??X???P?X?1??P?X?1????

2?101010?22.设随机变量X的分布律是P?X?k??a?kk!(k?1,2,3,?),??0,为常数，

a?e??

3.已知随机变量X只能取-1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为

1352,,,，则c?22c4c8c16c13528?12?10?232??????1?c?2由于

2c4c8c16c16c16c4.设5个产品中有3个正品2个次品，假使每次从中任取1个进行测试，测试后不放回，直到把2个次品都取出来为止，用X表示需要进行的测试次数，则

P?X?2??12,P?X?5??105解：Ai:“第i次取到次品〞

P?X?2??P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211??,5410??P?AAAAA)?P(AAAAA)?P(AAAAA)?P(AAAAA??

P?X?5??PA1A2A3A4A5?A1A2A3A4A5?A1A2A3A4A5?A1A2A3A4A5?

12345123451234512345??23213221322132112????

543254325432543255.若P?X?x2??1??,P?X?x1??1??,其中x1?x2，则

P?x1?X?x2??1????。

解：P?x1?X?x2??P?X?x2??P?X?x1??P?X?x1??

?P?X?x2??1?P?X?x1??P?X?x1??P?X?x2??1?P?X?x1??1????

6.一颗均匀骰子重复掷10次，用X表示3出现的次数，则X听从参数为

11?k?1??n?10,p?的二项分布，X的分布律为P?X?k??C10???1??6?6??6?

k10?k，

1

k?0,1,2,?,10

7.一电话交换每分钟接到呼叫次数，X～P(4)，则每分钟恰好有8次呼叫的概

48?4率为e，每分钟呼次数大于8的概率为

8!4k?4p?X?8??1??e?0.021363k!k?088.一实习生用一台机器接连独立的制造了3个一致的零件，第i(i?1,2,3)个零件

是不合格品的概率为pi?在P?X?2??1(i?1,2,3),以X表示3个零件中合格品的次数，i?11124设Ai：“第i个零件合格〞，i?1,2,3；则P?X?2??

PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?P(A1)P(A2)p(A3)?P(A1)P(A2)p(A3)?P(A1)P(A2)p(A3)

=

????????12311312111111??????234234234481224相互独立的，并概率都是

二、车从某校到火车站途中，要经过3个设有红绿灯的十字路口中，遇到红灯是

1。3（1）求X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律解：?X～b(3,)，则X的分布律为

13?1??1?P?X?k??C3k???1???3??3?XPk3?k,k?0,1,2,3

01238126127272727

（2）若以Y表示汽车从学校出发首次遇到红灯前已通过的路口数，求Y的分布

律。

YP

0123

48123927272

?1?1解：P?Y?k???1??,k?0,1,2?3?33k?1?P?Y?3???1??

?3?3（3）求从学校出发到火车站途中至少遇到一次红灯的概率

?2?19解：P?X?1??1?P?X?0??1????

?3?27三、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各个部件需要调整的概率分别为

0.10，0.20和0.30，设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的分布律。解：设Ai：“第i大部件需要调整〞，i?1,2,3

P?X?0??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?(1?0.1)?(1?0.2)?(1?0.3)?0.504P?X?1??P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398P?X?2??P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092P?X?3??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.1?0.2?0.3?0.006

XP01230．5040.3980.0920.006四、某些产品的次品率为0.1，捡验员每天捡验6次，每次有放回的10件产品进行

检验若发现这10件产品中有次品，就去调整设备，设X为一天中调整的次数，求X的概率分布。解：每次出现次品的概率为：P?1??0.9??0.65

10而X～b(6,p)，则

kkkP?X?k??C6p(1?p)6?k?C60.65k(1?0.65)6?k,k?0,1,2,3,4,5,6

XP00.001810.020520，095130.235540.328050.243760.00754五、某车间有20台同型号的机床，每台机床开动的概率为0.8，若机床是否开坳

相互独立，每台机床开时需要耗电15个单位，求该车间消耗电能不少于270个单位的概率。

解：??则

3

?270??18，而X～b(20,0.8)??15?

P?X?18??P?X?18??P?X?19??P?X?20??181920?C200.8180.22?C200.8190.21?C200.820?0.1369?0.0576?0.0115?0.2060

§2.3

一、填空题

1.随机变量X的分布函数是事件?X?x?的概率，2.用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率

F(X?a)?F(a),p?X?a??F(a)?F(a?)，P?X?a??1?P?X?a??1?F?a?P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1)

3.设F(x)是离散型随机变量X的分布函数，若P?X?b??0，则

P?a?X?b??F(b)?F(a)成立。因这有

P?a?X?b??F(b?)?F(a)?F(b)?P?X?b??F(a)?F(b)?F(a)

二、设袋中有标号分－１、１，１，１，１，２，２的六个球，先从中任取一球的标号Ｘ

的分布函数，并作出分布函数的图形。解：分布律为XP-112161213x??1?0?1?1?x?1??6F(x)??2?1?x?2?3??12?x

YX-1012：空心点暂时无法画上去三、已知离散型随机变量Ｘ的概率分为P?X?1??0.2,P?X?2??0.3,P?X?3??0.5，

试写出Ｘ的分布函数F(x)，并给出其图形

4

解：分布律为

XP10.220.330.5x?1?0?0.21?x?2?F(x)???0.52?x?3??13?x

YX0123YY说明：空心点暂时无法画上去

§2.４

一、选择题

１．设f(x)?sinx，要使f(x)为某随机变量Ｘ的概率密度函数，则Ｘ可能取值的区为（Ｄ）

A.3[?,?],B.23[?,2?],C.2[0,?],D.1[0,?],2２．设连续型随机变量的概率密度函数，分布函数分别为f(x)和F(x)，则以下选项中正确的是（Ｂ）

A.C.0?f(x)?1,B.P?X?x??F(x)，D.P?X?x??F(x)，P?X?x??f(x)

３．某电子元件的寿命Ｘ（单位：小时）的概率密度函数为

?x?1000?0?f(x)??

?1000x?1000??x2则装有５个这种电子元件的系统在使用的前１５００小时内正好有２个元件需要更换的概

率是（Ｃ）

A.1,B.340,C.24380,D.2432,35

0x?1000?1?解：F(x)??1000，p?p?X?1500??F(1500)?

1?x?10003?x?1180P?X?2??C52()2(1?)3?

33243二、填空题

?1?,１．设随机变量k～U[1,6]，则Ｋ的概率密度函数是f(x)??5??01?x?6其他

２．设随机变量k～N[1,4]，且P?X?a??0.5则a?1（由于??1为对称中心，

?????1?e2?2(x?1)28dx?1）

?x３．假使函数f(x)?Ae(???x???)是某随机变量的概率密度函数，则

A?（由于

12?????f(x)dx??Aexdx??Ae?xdx?A(1?0)?A(0?1)?2A?1）

??020??４．设X～U?0,1?，则Y?X在（0，1）内的概率密度函数为

?1?fY(y)??2y??00?y?1其他

Y?y??PX?y?PX?解：FY(y)?P?2???y?0?0?y?F(y)??y,0?y?1

?1y?1???1?则fY(y)?FY(y)??2y??0'0?y?1其他

解法2.因y?x,x?(0,1)知x?2y，由定理2.2知

1??1?fY(y)??2y??00?y?1其他

5，设X～N(?3,2),则Y?X?3X??～N(0,1)（由于Y?～N(0,1)）

?26

6．已知X～N(2,22),且Y?aX?b～N(0,1),则a??由于Y?aX?b～N(a?2?b,a222)?N(0,1)则a?1，b??1211,b??1,或a??,b?122

三、设连续型随机变量X的概率密度函数为

0?x?1?x?f(x)??2?x1?x?2

?0其他?求（1）X的分布函数

F(x);

0x?0?2?x0?x?1??2解：F(x)??2x???2x?11?x?2?2?12?x?（2）P??1?X???1??2?21?11?1?1?解：P??1?X???F()?F(?1)????0?

2?22?2?8?四、设电池寿命（单位：h）X是一个随机变量，且X～N(300,35)（1）求电池寿命在250h以上的概率；

（2）求数a，使得电池寿命在区间(300?a,300?a)内的概率不小于0.9.解：（1）

2?250?300?P?X?250??1?P?X?250??1????35????10??10??1???????????1.429??0.9236

?7??7?（2）P?300?a?X?300?a??PX?300?a?P????X?300a???3535??a?a??a??a??a??1.66，即则a?57.75??????????2????1?0.9?????0.95，

35?35??35??35??35?7

五、设某公共汽车从早上5：00起，每分5钟辆汽车通过，乘客在6：00到6：05到达车

站是等可能的，求乘客位候车时间不超过2分钟的概率。

解：A表示乘客候车不超过2分钟的事件，X表示乘客到达车站的时间，则

P(A)?P?3?X?5???51235?0dx?5

六、设随机变量X的分布密度为：X-2?12024P1814111863求（1）Y?X?2;(2)Y??X?1;(3)Y?X2的分布密度解：由于

P1814181613X-2?12024X+203224