高一下学期期末(文科)数学试卷-(解析版)

高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a﹣b＜1 D．lg（a﹣b）＜12．已知sin（30°+α）＝+cosα，则sin（2α+30°）＝（）A．﹣ B． C． D．﹣3．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面但不垂直 D．异面且垂直4．关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＜0）的解集为（）A．{x|＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜} C．{x|x＜或x＞1} D．{x|1＜x＜}5．满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72°，则＝（）A．4 B．+1 C．2 D．﹣16．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．9 B．8 C．10 D．127．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sinAsinC，＝1+，则B＝（）A．π B．π C． D．8．若数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＜的最小的n的值为（）A．1009 B．1010 C．1011 D．10129．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3 B．9 C．6 D．410．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanC＝，cosA＝，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3 B． C． D．11．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+n（n∈N*），则{an}的通项公式为an＝（）A．2﹣3n B．2﹣3n C．1﹣2n D．1﹣2n12．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为π的球O的球面上，其中AA1＝2，底面ABCD是正方形，则OA与平面ABCD所成角的大小为（）A． B． C． D．π二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，•＝，则a＝．15．已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），若数列{an}中最小项为第3项，则t∈．16．在△ABC中，cosA+cosB＝，AB＝2．当sinA+sinB取最大值时，△ABC的外接圆半径为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中．（1）若a＝2，b＝，求边c；（2）若sinC＝cosA，求角C．18．已知函数f（x）＝sin（﹣x）+cos（）．（1）求函数f（x）在区间[，]上的最值；（2）若cos，θ∈（π，），求f（2θ+）的值．19．数列{an}满足a1＝1，an＝an+1（1+2an）（n∈N*）．（1）求证：数列是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整数n的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，点E是AD中点，PB＝AB═AE＝2．（1）求证：平面PCE⊥平面PBE；（2）求点D到平面PCE的距离．21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？22．已知等差数列{an}满足a5＝4，2a6+a9＝18，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn＝2bn﹣1．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）若任意n∈N*，a1b1+a2b2+…+anbn≥（n﹣2）t+2恒成立，求实数t的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2 B．a3＞b3 C．2a﹣b＜1 D．lg（a﹣b）＜1解：取a＝﹣1，b＝﹣20，则a2＜b2，2a﹣b＞1，lg（a﹣b）＜1．∴ACD不正确．另一方面：考察函数y＝x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3．因此B正确．故选：B．2．已知sin（30°+α）＝+cosα，则sin（2α+30°）＝（）A．﹣ B． C． D．﹣解：∵sin（30°+α）＝+cosα，即cosα+sinα＝+cosα，花简可得sin（α﹣30°）＝．则sin（2α+30°）＝sin（2α﹣60°+90°）＝cos（2α﹣60°）＝1﹣2sin2（α﹣30°）＝1﹣2×＝，故选：B．3．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面但不垂直 D．异面且垂直解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，∴MN∥BC，AP⊥BC，∴MN⊥AP，且直线MN与直线AP异面，故选：D．4．关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＜0）的解集为（）A．{x|＜x＜1} B．{x|x＞1或x＜} C．{x|x＜或x＞1} D．{x|1＜x＜}解：不等式可化为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，∵a＜0，∴原不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＜0，且不等式对应的一元二次方程的根为和1；又＜1，原不等式的解集为{x|＜x＜1}．故选：A．5．满足黄金分割比的人体是最美人体，0.618是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72°，则＝（）A．4 B．+1 C．2 D．﹣1解：0.618是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72°，所以＝＝＝＝2．故选：C．6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．9 B．8 C．10 D．12解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是一个棱长与底面边长都是2的正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体．该几何体的表面积S＝＝．故选：D．7．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sinAsinC，＝1+，则B＝（）A．π B．π C． D．解：因为sin2B＝sinAsinC，由正弦定理可得b2＝ac，而+＝＝，所以a2+c2＝（1+）ac，由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，所以（1+）ac﹣ac＝2accosB，可得cosB＝，又B∈（0，π），所以可得B＝，故选：B．8．若数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＜的最小的n的值为（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012解：∵an＝，∴an＜⇒＜⇒n＞1010；又因为n为正整数；故满足an＜的最小的n的值为1011；故选：C．9．已知m，n＞0，+＝3，则m+n的最小值为（）A．3 B．9 C．6 D．4解：∵m，n＞0，+＝3，则m+n＝（m+n）（）＝（5+）＝3，当且仅当且+＝3即m＝1，n＝2时取等号，故选：A．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanC＝，cosA＝，b＝3时，则△ABC的面积为（）A．3 B． C． D．解：因为tanC＝，C∈（0，π），所以sinC＝＝，cosC＝＝，又因为cosA＝，A∈（0，π），所以sinA＝，sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝•+•＝，由正弦定理可得＝，而b＝3，所以a＝2，所以S△ABC＝absinC＝×2××＝，故选：B．11．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+n（n∈N*），则{an}的通项公式为an＝（）A．2﹣3n B．2﹣3n C．1﹣2n D．1﹣2n解：∵Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+n（n∈N*），①∴a1＝2a1+1⇒a1＝﹣1；当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1；②①﹣②可得：an＝2an﹣2an﹣1+1⇒an＝2an﹣1﹣1⇒an﹣1＝2（an﹣1﹣1）；∵a1﹣1＝﹣2；∴an﹣1＝﹣2n；∴an＝1﹣2n；故选：C．12．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为π的球O的球面上，其中AA1＝2，底面ABCD是正方形，则OA与平面ABCD所成角的大小为（）A． B． C． D．π解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为π的球O的球面上，∴设球的半径为R，则πR3＝，解得R＝2，从而长方体的对角线d＝2R＝4，设AB＝a，∵AA1＝2，底面ABCD是正方形，则a2+a2+22＝16，解得a＝，连结AC，过点O作OE⊥平面ABCD，交AC于点E，则∠OAE是OA与平面ABCD所成角，∵OA＝2，OE＝1，∴sin∠OAE＝＝．则OA与平面ABCD所成角的大小为．故选：A．二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13．若圆台的母线与高的夹角为，且上下底面半径之差为4，则该圆台的高为．解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，圆台的母线与高所在直线的夹角为，轴截面如图所示；所以圆台的高为h＝＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，•＝，则a＝．解：因为b＝2，c＝3，可得•＝bccosA＝6cosA＝，可得cosA＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+9﹣2×2×3×＝，可得a＝．故答案为：．15．已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），若数列{an}中最小项为第3项，则t∈（5，7）．解：∵已知an＝n2﹣tn+2020（n∈N*，t∈R），∵数列{an}中最小项为第3项，∴＜＜，求得5＜t＜7，故答案为：（5，7）．16．在△ABC中，cosA+cosB＝，AB＝2．当sinA+sinB取最大值时，△ABC的外接圆半径为2．解：设sinA+sinB＝t，因为cosA+cosB＝，所以3+t2＝sin2A+2sinAsinB+sin2B+cos2A+2cosAcosB+cos2B＝2+2cos（A﹣B），所以cos（A﹣B）＝，所以当A＝B时，tmax＝1，∠C＝，此时△ABC的外接圆半径为＝2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中．（1）若a＝2，b＝，求边c；（2）若sinC＝cosA，求角C．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵＝，∴可得：sinAcosA＝sinBcosB，可得：sin2A＝sin2B，∴可得：2A＝2B（舍去），或2A+2B＝π，∴C＝π﹣（A+B）＝，∴c＝＝．…5分（2）由（1）可知2A＝2B，或2A+2B＝π，当2A＝2B时，由sinC＝cosA＝sin（﹣A），可得：C＝﹣A，或C+（﹣A）＝π，①当C＝﹣A时，又A＝B，联合可得A+C+B+C＝π，不合题意；②C+（﹣A）＝π时，又A＝B，代入A+B+C＝π，可得：A＝C＝，当2A+2B＝π时，即A+B＝，可得：C＝，显然不符合条件sinC＝cosA，故舍去．综上可得：C＝．…12分18．已知函数f（x）＝sin（﹣x）+cos（）．（1）求函数f（x）在区间[，]上的最值；（2）若cos，θ∈（π，），求f（2θ+）的值．解：（1）∵f（x）＝sin（﹣x）+cos（），＝（），＝，＝，∵x∈[，]，∴，∴﹣1≤sin（x+）≤，，故函数的最大值，最小值﹣．（2）∵cos，θ∈（π，），∴sin，sin2θ＝2sinθcosθ＝，∴f（2θ+）＝═＝＝．19．数列{an}满足a1＝1，an＝an+1（1+2an）（n∈N*）．（1）求证：数列是等差数列；（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整数n的最小值．解：（1）证明：由an＝an+1（1+2an）（n∈N*），可得an﹣an+1＝2anan+1，则＝＝2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即an＝，anan+1＝＝（﹣），所以a1a2+a2a3+…+anan+1＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝＞，解得n＞16，所以正整数n的最小值为17．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，点E是AD中点，PB＝AB═AE＝2．（1）求证：平面PCE⊥平面PBE；（2）求点D到平面PCE的距离．解：（1）证明：PB⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PB⊥CE，∵四边形ABCD是矩形，E是AD中点，且AB＝AE＝2，∴DE＝CD＝2，∠BAE＝∠CDE＝90°，∴∠BEA＝∠CED＝45°，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥BE，∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，∴CE⊥平面PBE，∵CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBE．（2）解：由（1）知AB＝AE＝DE＝CD＝2，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴BE＝CE＝2，且△CDE的面积为2，∵PB⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PB⊥BE，∵PB＝2，∴PE＝＝2，∵CE⊥平面PBE，∴CE⊥PE，∴△PCE的面积为2，设点D到平面PCE的距离为d，由VD﹣PCE＝VP﹣CDE，得，解得d＝．∴点D到平面PCE的距离为．21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，当产量不足90万箱时，p（x）＝+40x；当产量不小于90万箱时，p（x）＝101x﹣2180，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．（1）求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式