3振动与波习题思考题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——3振动与波习题思考题习题3

3-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)，在此题中，kx?mg，所以k?9.8；∴??k9.8??98。m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以假使使弹

簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：x?0.1cos即：x??0.1cos(98t)。（98t??）

3-2．有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g，t?0时，小球正好经过

???0.06rad处，并以角速度??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看

作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)我们只要依照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：??g?9.8?3.13rad/s，l1g9.8??0.5Hz，频率：??2?l2?周期：T?2?l2???2s；g9.8??Acos（3.13t??），（2）振动方程可表示为：∴???3.13Asin（3.13t??）

?0(1，象限）2??根据初始条件，t?0时：cos??，sin???

A?0(3，象限）43.13A可解得：A?8.8?10m，??227??133??2.32，

?200（3.13t?2.32）m。所以得到振动方程：??8.8?10?2cos

3-3．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）假使在某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知A=0.12m，T=2s，∴??2???T又∵t=0时，x0?6cm，v0?0，由旋转矢量图，可知：????3

（?t?故振动方程为：x?0.12cos（2）将t=0.5s代入得：

?3）m；

x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.104m，

36v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.188m/s，36???3a??0.12?2cos（?t?）??0.12?2cos??1.03m/s2，36方向指向坐标原点，即沿x轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于x??6cm??????P?A，2???t?，2?TA2xQ且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到平衡位置Q处需要走???有：?t??3??2，建立比例式：

5s。63-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2??A/2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：

当质点1在x1?A/2处，且向左运动时，相位为

?，34?。3而质点2在x2??A/2处，且向右运动，相位为

所以它们的相位差为?。

3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体

在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

1211kx，Ek?mv2，有：EP?kA2cos2(?t??)，22211Ek?m?2A2sin2(?t??)?kA2sin2(?t??)，

22A（1）当x?时，由x?Acos(?t??)，

213有：cos(?t??)?，sin(?t??)?，

22解：由EP?∴

EP1Ek3?，?；E4E41E时，有：cos2(?t??)?sin2(?t??)2（2）当EP?Ek?∴cos(?t??)??12A??0.707A。，x??22

3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如下图)

（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且

A1初相：?1??2，A2初相：?2???2，

说明两者处于反相状态，

1，，2（反相????2??1??(2k?1)?，k?0，）∵A1?A2，∴合成振动的振幅：A?A2?A1；合成振动的相位：???2???2；

（A2?A1）cos（合成振动的方程：x?2??t?）。T2

3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为

?。若第一个振动的振幅为103cm。则（1）其次个振动的振幅为6多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：

2由图知A2?A12?A2?2A1Acos30?=0.01m∴A２=0.1m，

sin?sin300再利用正弦定理：，有：?AA2?Asin???1，∴??。

22A2说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2。

3-8.质点分别参与以下三组相互垂直的谐振动：

??x?4cos????（1）??y?4co?s??????x?4cos????（3）??y?4co?s?????8t?????x?4cos?8t?????6?6???；（2）?；??5???y?4co??8t??s?8t????6?6??????8t??8t????6?2???3?。试判别质点运动的轨迹。

解：质点参与的运动是频率一致，振幅一致的垂直运动的叠加。对于x?Acos(?t??x)，y?4cos(?t??y)的叠加，可推得：

x2?y2?2xycos(?x??y)?A2sin2(?x??y)

???222?（1）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos?16sin，663322则方程化为：x?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆；

?5?222（2）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos??16sin?

6622则方程化为：x?y?2xy?0，即x?y?0，轨迹为一直线；

?2??222?，?y?代入有：x?y?2xycos?16sin6322则方程化为：x2?y2?42，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

（3）将?x?

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位

?，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。6?解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?，?x?2m，

比A点落后

而相位和波长之间满足关系：????2??1??6x2?x1?2????x?2?，

代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u??T?12m/s。

3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为

y?Acos(?t??)，波速为u，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

（t?）??0]，则P点的振动式为：解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，u?x1x?x1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?有：?0?)??]；

uu（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：

xy?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：

uxyP?Acos[?（t?1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，