初等变换与线性方程组课件

邱启荣第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换三、小结

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵四、矩阵的等价（1）如果矩阵A经有限次初等行变换变成B，就称矩阵A与B行等价，记作（2）如果矩阵A经有限次初等列变换变成B，就称矩阵A与B列等价，记作（3）如果矩阵A经有限次初等变换变成B，就称矩阵A与B等价，记作定理设是矩阵，则(1)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得。(2)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得。(3)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得。A可逆的充分必要条件是特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.由定理知，的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得。将A变成行最简型，并求相应的可逆变换阵P的方法：例把如下矩阵化为行最简形矩阵，并求相应的可逆变换阵P：

定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即利用初等变换求逆阵的方法：解例即初等行变换注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，不能作任何列变换．例２列变换列变换解例31.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:三、小结课堂作业：求矩阵A的行阶梯阵和最简型邱启荣华北电力大学数理系第二节矩阵的秩一、矩阵秩的概念第二节矩阵的秩二、矩阵秩的求法-----初等变换法矩阵的秩一、矩阵秩的概念例1解例2解如果逐个判别每一个子式计算量是很大的。由例2可知，如果矩阵是一个行阶梯阵，那么它的秩与最高阶非零子式是很容易求得。。定理：如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，而包含该子式的所有r+1阶子式全为零，则该矩阵的秩为r。例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！问题：经过变换矩阵的秩变吗？证二、矩阵秩的求法-----初等变换法自己看书。经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．证毕初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例5解分析：例已知解1：由于A的秩是2，因此故解2：由于A的秩是2，因此故解3：由于A的秩是2，因此故(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);三、小结邱启荣华北电力大学数理系第三节线性方程的解第三节线性方程的解一、线性方程组有解的判定条件三、小结二、线性方程组的解法问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而一、线性方程组有解的判定条件这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.证必要性．,有解设方程组bAx=()(),BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性.()(),BRAR=设()()(),nrrBRAR£==设证毕其余个作为自由未知量,把这

行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,小结有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４

解对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例５设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结思考题解思考题解答故原方程组的通解为邱启荣华北电力大学数理系第五节综合与提高一本章知识回顾二、典型问题三、测试题换法变换倍法变换消法变换１初等变换的定义初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．反身性传递性对称性２矩阵的等价矩阵A与B等价的必要条件是A与B是同型矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵．由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．３初等矩阵（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．定理定理推论4初等矩阵与初等变换的关系经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如5行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如6行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如7矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．定义定义8矩阵的秩定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．9矩阵秩的性质及定理定理定理10线性方程组有解判别定理

齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．

非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．11线性方程组的解法一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．

注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．例１求如下矩阵的秩解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组例２求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其成为行最简单形．由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量.例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵的行列式为从而得到方程组的通解解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法例４求下述矩阵的逆矩阵．解

注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．或者四、解矩阵方程的初等变换法例５解例设，求矩阵的秩。解法1：对A作初等变换，化为阶梯形矩阵由于因此解法2：利用矩阵乘积的秩的性质例设3阶非零矩阵B的每一列向量都是方程组的解，求（1）求的值；（2）求证.

例设求解方程例3.5.8已知方程组(1)如果互不相等，证明方程组无解；(2)若，则方程组有解，并求其通解.解：（1）由于增广矩阵B的行列式是4阶范德蒙行列式，且互不相等，于是所以。又方程组的系数矩阵A是矩阵，从而，故方程组无解.(2)若，则因为，所以方程组有解，同解方程组为

故通解为例3.5.9*设方程组已知是该方程织的一个解向量，试求(1)方程组的通解；(2)该方程组满足的通解．