2023届高三数学（理）33个黄金考点总动员 考点13 三角函数的图像

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1.最新考试说明：

(1)考察三角函数的值域与最值(2)考察三角函数的单调性

(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值

2.命题方向预计：

(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.

(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.

3.课本结论总结：

(1)由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是

|φ|

(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和ω

周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依靠于ωx加减多少值．(2)y?sinx的性质：①定义域为R，值域为??1,1?；②是周期函数，最小正周期为2?；③在???3????????2k?,?2k??(k?Z)单调递增，在??2k?,?2k??(k?Z)单调递减；

22?2??2?④当x??2?2k?,k?Z时，ymax?1；当x???2?2k?,k?Z时，ymin??1；

⑤其对称轴方程为x??2?k?(k?Z),对称中心坐标为?k?,0?,k?Z.

(3)y?cosx的性质：①定义域为R，值域为??1,1?；②是周期函数，最小正周期为2?；③在

????2k?,2k??(k?Z)单调递增，在?2k?,??2k??(k?Z)单调递减；④当x?2k?,k?Z????k??,0?,k?Z.

2??（4）y?tanx的性质：①定义域为?x|x?时，

ymax?1；当x???2k?,k?Z时，ymin??1；⑤其对称轴方程为x?k?(k?Z),对称中心坐标为

?????k?,k?Z?，值域为R；②是周期函数，最小正周期为2??????k???；③在???k?,?k??(k?Z)单调递增；④其对称中心坐标为?,0?,k?Z.

2?2??2?4.名师二级结论：

（1）由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是

|φ|

(ω＞0)个单ω

位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依靠于ωx加减多少值．（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π

即由＝T求出，φ由特别点确定．

ω

(3)作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：①首先要确定函数的定义域；

②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.

(4)求三角函数值域(最值)的方法：①利用sinx、cosx的有界性；

②形式繁杂的函数应化为y?Asin(?x??)?k的形式逐步分析?x??的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

M－m2

，k＝

M＋m2

，ω由周期T确定，

?x??)、y?Atan(?x??)的性质：5.y?Asin(?x??)、y?Acos(①周期性

2ππ

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

|ω||ω|②奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将?x??看作一个整体.

5.课本经典习题：

(1)新课标A版第147页，第A9题（例题）已知y?(sinx?cosx)?2cosx.①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值.

y?(sinx?cosx)?2cosx?1?2sinxcosx?1?cos2x?2?sin2x?cos2x

2222?2sin(2x?)?2

4①令

??2?2k??2x??4?3??5??2k?，解得?k??x??k?，即函数的单调区间为2885?????k?,?k?(k?Z);??8?8?②由题意得，ymax?2?2，ymin??2?2.

综合考察三角恒等变换与三角函数的图像与性质

(2)新课标A版第147页，第A10题（例题）已知函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx.①求f(x)的最小正周期；②当x??0,44???时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.??2?综合考察三角恒等变换与三角函数的图像与性质

6.考点交汇展示：(1)与定积分的交汇

已知函数f(x)?sin(x??),且轴是()A.x??2?30f(x)dx?0,则函数f(x)的图象的一条对称

5?7???B.x?C.x?D.x?61236

A

函数f?x?的对称轴为x???2?3?2?k1??x????2?k1?,

????2???sin??sinx??dx?0??cos???cos??0?????0,???33????0???5?所以???k2?????k2?,即对称轴x????k1???k2??k1?(k1,k2?N)

33265?则x?是其中一条对称轴,应选A.

6由于

三角函数图像辅助角公式定积分

(2)与平面向量的交汇

已知向量a?(m,cos2x)，b?(sin2x,n)，设函数f(x)?a?b，且y?f(x)的图象过点(?12,3)和点(2?,?2).3（Ⅰ）求m,n的值；

（Ⅱ）将y?f(x)的图象向左平移?（0????）个单位后得到函数y?g(x)的图象.若y?g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y?g(x)的单调增区间.（I）m?3,n?1.

（II）函数y?g(x)的单调递增区间为[k???2,k?],k?Z.

得到y?g(x)的单调递增区间为[k???2,k?],k?Z.

试题解析：（1）由题意知：f(x)?a?b?msin2x?ncos2x.由于y?f(x)的图象过点(?12,3)和(2?,?2)，3???3?msin?ncos??66，

所以???2?msin4??ncos4??33??133?m?n??22即?，??2??3m?1n??22解得m?3,n?1