第九章定积分

第九章定积分三个典型问题1.设求曲边梯形

A的面积S(A),其中yxO2.已知质点运动的速度为求从时刻3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为求线状物体的质量

m.a到时刻

b,质点运动的路程

s.一分为二yxO一分为四yxO一分为八yxO一分为

nyxO定义1分割：在内有个分点为分割T的模定义2黎曼和：任意取并作和式定义3并称

J为

f在[a,b]上的及任意定积分,记作注1列极限，也不是函数极限.注2

中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,这相当于要求f(x)有某种程度上的连续性.yxO注4

与积分变量所用符号无关。注3

显然,按定义计算定积分非常困难,§9.2牛顿－莱布尼茨公式须寻找新的途径计算定积分.在本节中,介绍牛顿－莱布尼茨公式,从而建立了定积分与不定积分之间的联系,大大简化了定积分的计算.返回若质点以速度

v=v(t)作变速直线运动,由定积分注意到路程函数s(t)是速度函数v(t)的原函数,定义,质点从时刻a到b所经过的路程为.另一方面,质点从某时刻

a

到时刻

b所经过的路于是程记为

s(b)-

s(a),则定理9.1(牛顿—莱布尼茨公式)函数f在[a,b]上满足条件:(i)f在[a,b]上连续,(ii)f在[a,b]上有原函数F,则(1)f在[a,b]上可积;证因f在[a,b]上一致连续,则任取又F在上满足拉格朗日中值定理条件,于是例1解例2解例3解例4.求由曲线y=x|1-x|以及直线x=2和x轴所围曲边梯形的面积S.解:根据定积分的几何意义,O12xy=x|1-x|y此式由定积分的几何意义得到，事实上定积分确有此性质！例5解上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为因此例6解令因此则概念辨析1.在[a,b]上具有原函数的函数f(x)未必可积：f在[-1,1]上有原函数F;但f在[-1,1]上无界，进而不可积.概念辨析2.在[a,b]上可积的函数f(x)未必存在原函数：f在[-1,1]上可积;但f在[-1,1]上不存在原函数.下节将证明：可积函数必有界下节将证明：有有限间断点的函数可积判别一个函数f(x)

在[a,b]上是否可积,就是判别§9.3可积条件的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别极限是否存在.在实际应用中，直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身函数的可积性.为此,先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件,连续性是可积的充分条件而非必要条件.返回定理9.1

(可积必有界）若函数在上可积，则在上必有界.证设由定义,对于是一、可积的必要条件于是矛盾.称为

f关于分割

T的上和,其中称为

f关于分割

T的下和,其中对任意分割定义2二、可积的充分条件(一)上和与下和的性质有相应的上和与下和:上和的几何意义:曲边梯形“外接”矩形下和的几何意义:曲边梯形“内接”矩形面积之和.面积之和.xyOxyO性质1性质2性质2证由于性质3性质4证性质5定义3都存在,分别称为

f在[a,b]上的上积分与下积分.性质6(达布定理)二、可积的充要条件定理9.14(可积的第一充要条件)定理9.15(可积的第二充要条件)定理9.3（可积准则）函数f在[a,b]上可积的充要条件是：常见的有三种方法,下面分别作出介绍.每个，从而第一种方法:定理9.4（连续必可积）连续，则可积.若连续,从而一致连续.于证三、可积函数类从而因此当第二种方法:定理9.5（单调必可积）证不妨设是非常值的增函数，则对任意分割于是因此,若第三种方法:于是定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若有界,且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明f可积.

f在[a,b]上可积.只有一个间断点,且为

b.证不妨设使则存在分割令则例1证明函数例2证明黎曼函数上可积,且证的有理数只有有限多个,设它们为分割使的小区间至多有2k个,记为因此这些小区间长度之和为从而§9.4定积分的性质一、定积分的性质

本节将讨论定积分的性质,包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具.二、积分中值定理返回证一、定积分的性质从而性质1k为常数,则kf若

f在[a,b]上可积，因此性质2可积,且证从而因此，f±g在[a,b]上可积,且性质3证并而成的新分割),则于是因此fg在[a,b]上可积.性质4f在[a,b]上可积的充要条件是:证(充分性)若

f在[a,c]与[c,b]上可积,则(必要性)因此,f在[a,b]上可积.在T上加入分点

c得到新的分割由§3习题第1题,知道因此，f在[a,c]与[c,b]上都可积.若

f在[a,b]上可积,由必要性证明,若分割

T使点性质5证注因此推论证若

f在[a,b]上可积,则

|

f|在[a,b]上也性质6证即可积,且因此证得注1一般不能推得上连续，则可得到严格不等式例1证由连续函数的局部保号性质,由此推得即此结论,由本章总练习题10证明.注3注2二、积分中值定理定理9.7(积分第一中值定理)

证由于f在[a,b]上连续，因此存在最大值M和最小值m.由于注1内取到,事实上若由连续函数的介值性定理，则由连续函数的介值定理,必恒有因此注2积分第一中值定理的几何意义如下图所示:定理9.8(推广的积分第一中值定理）证复习思考题1.2.§9.5微积分学基本定理一、变限积分与原函数的存在性本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法返回一、变限积分与原函数的存在性积分;类似称为变下限的定积分.定理9.9(变上限定积分的连续性)证则为变上限的定于是定理9.10（微积分学基本定理)若f在[a,b]上连续,上处处可导,且由

x的任意性,

f在[a,b]上连续.证由于

f在

x处连续，因此注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数,定理9.11(积分第二中值定理)设

f在[a,b]上可积.(i)若函数

g在[a,b]上单调减,且则存所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为(ii)若函数

g在[a,b]上单调增,

且则存证这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下五步:(1)对任意分割

T：(4)综合(2),(3),得到推论即证若

g为单调递减函数，则h非负、单调减,由定理9.11(i)，因此即得二、换元积分法与分部积分法则证定理9.12（定积分换元积分法）的一个原函数.因此注与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要例1解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，例2解（变元,变限）例3解（必须注意偶次根式的非负性）例4解因此,定理9.13（定积分分部积分法）若

u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式：证因为

uv是在[a,b]上的一个原函数,移项后则得所以例5解例6解于是其中若

u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)阶连续导函数,则三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.阶连续导数,则则定理9.14注由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型由积分第一中值定理,可得此式称为泰勒公式的柯西型余项.若记复习思考题(2)给出正确证明(提示:需要借助变限积分).要求:(1)指出其中三处错误;*§9.6可积性理论补叙一、上和与下和的性质本节首先证明达布定理,然后用达布定理证明函数可积的第一、第二、第三充要条件,其中第二充要条件即为第三节中介绍的可积准则.二、可积的充要条件返回一、上和与下和的性质有相应的上和与下和:由§2,其中上和的几何意义:曲边梯形“外接”矩形下和的几何意义:曲边梯形“内接”矩形面积之和.面积之和.xyOxyO性质1证性质2证由于性质3性质4证由性质2可直接得到:性质5定义3都存在,分别称为

f在[a,b]上的上积分与下积分.定理9.14(达布定理)证因此由性质2和性质3,得到二、可积的充要条件定理9.15(可积的第一充要条件)证(必要性)(充分性)定理9.16(可积的第二充要条件)证(必要性)(充分性)定理9.17(可积的第三充要条件)于是证(必要性)(充分性)例1证因此有证例2复习思考题1.可积第二充要条件的以下两种叙述是等价的:请予以证明.§10.1

平面图形的面积本节介绍用定积分计算平面图形在一、直角坐标方程表示的平面图形的二、参数方程表示的平面图形的面积三、极坐标表示的平面图形的面积面积各种表示形式下的面积.返回平面图形的面积一、直角坐标方程表示的通过上移由定积分的几何意义，可知A的面积为例1解于是于是例2解则显然,由于

g1(y),g2(y)不是分段定义的函数,比较容易计算.二、参数方程表示的

平面图形的面积设曲线C由参数方程表示,积为因此,不论

x(t)递增或递减,若上述曲线C是封闭的，即则由C所围的平面图形A的面积同样是解所围图形的面积.与

x轴例3三、极坐标表示的平面图形的面积由曲线C设曲线C的极坐标方程为从而由于设因此例4解例5由图形的对称性,解

a/2

aOx解例6注也可利用对称性.§2由平行截面面积求体积面x=a,x=b之间(a<b).作垂直于

x为三维空间中一立体,它夹在垂直于x轴的两平轴的平面,截得

的截面面积为

A(x).返回证若A(x)在于是因此例1求由两个圆柱面围立体的体积.解以下讨论旋转体的体积.例2旋转一周所得环状立体的体积.解从而例3解复习思考题定义1设平面曲线C由以下参数方程表示:§3

平面曲线的弧长与曲率本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计算公式.一、平面曲线的弧长返回定义2

设平面曲线C由参数方程曲线,则C是可求长的,且弧长为定理10.1(光滑曲线弧长公式)设曲线C由参数方若C为一光滑于是证因此由第一章§1习题6可知于是,即从而因此当f在[a,b]上连续可微时,示,则

C又可看作注1若曲线C由直角坐标方程表示,则C亦可看作注2若曲线C由极坐标方程由于解例1a例2解解段弧长.例3在光滑曲线上,弧段与的长度相差不*二、平面曲线的曲率曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.转过的角度要大得多比动点从Q移到R时切线.到Q时,切线转过的角度这反映动点沿曲线从P移设表示曲线在点处切线的倾角,表示动点由P沿曲线移至时切线倾角的增量.若之长为,则称为弧段的平均曲率.如果存在有限极限则称此极限K为曲线C在点P的曲率.由于曲线光滑,故总有可得即若曲线由表示,则例1求椭圆上曲率解由于最大和最小的点.因此椭圆在各点的曲率为当时,在处曲率最大,在由例1可得,若则各点处曲率相等,为处曲率最小,显然,直线上各点处的曲率为0.设曲线上一点P处曲率若过

P作一个半径为的圆,使它在点P处与曲线有相同的切线,

并在

P近旁与曲线位于切线的同侧(见图).在

P处的曲率圆.曲率圆率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径,曲我们把这个圆称为曲线火车轨道从直道进入半径为

R的(使火车的向心加速度以保证火车行驶安全道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨例2如图所示,对此曲线用曲率公式求得:缓冲曲线常采用三次曲线的曲率从0渐渐增加到接近于从而起到缓冲因此曲线段作用.§10.4旋转曲面的面积定积分的所有应用问题,都可按“分一、微元法二、旋转曲面的面积用以导出旋转曲面面积的计算公式.“微元法”来处理.本节将介绍微元法,并量的积分形式,但在实际应用中又常用割、近似、求极限”三个步骤导出所求返回则,且当上的连续函数时，若令一、微元法现在恰好要把问题倒过来:若所求量是分布在区或者说它是该区间的端点x的函数,即其中f为某一连续函数,而且当时,而且当x=b时,适为最终所求的值.那么只要把计算出来,就是该问题所在任意小区间上,若能把

的微小增量近似表示为的线性形式在一般情况下,要严格检验以上方法通常称为微元法,在用微元法时,应注意:求的结果.(2)微元法的关键是正确给出

的近似表达式为

的高阶无穷小量不是一件容易的事.(1)所求量

关于分布区间必须是可加的.这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).设平面光滑曲线C的方程为二、旋转曲面的面积通过x轴上点x与分别作垂直于x轴的平其中由于时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,即面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.当很小因此由的连续性可以保证所以得到如果光滑曲线由参数方程给出,且则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为例1求将椭圆绕x轴旋转所得椭球面的面积.解将上半椭圆写成参数方程令例2求心脏线绕极轴旋转所得曲面的面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解将曲线用参数方程表示:于是请读者自行指出这应该怎么做？§10.5定积分在物理中的应用定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问一、液体静压力应用微元法化为计算题中,常遇到的物理量具有连续性与可加性.要求三、功与功率二、引力返回出某物理量,重要的是找到然后例1如图所示为管道一、液体静压力解取圆心为原点,建立坐标系如图.此时圆的方的静压力为多大(设水径时,闸门所受到的水米).问水平面齐及直的圆形闸门(半径为3的比重为)？由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水的而总静压力为各狭条所受的静压力之和,因此程为比重与深度的乘积,故当很小时,从深度x到x的狭条上所受的静压力为二、引力例2一根长为l的均匀细解建立直角坐标系如图所示.细杆位于x轴上的质点位于y轴上点a.任取质点的万有引力.量为m的质点,试求细杆对上相距细杆为a处有一质杆,质量为M,在其中垂线则其质量微元为它对质点m的引力为由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不能直接对dF积分,为此将dF分解到x轴和y轴两个方向上,得得垂直方向总合力为负号表示合力与y轴方向相反.例3间的作用力.例4一圆锥形水池,池三、功与功率解如图建立直角坐标系.的功?全部池水抽出池外需作池中盛满了水.试求将口直径30米