机器学习计算方法数值积分

计算方法第六章数值积分6.1引入6.2牛顿-柯特斯求积公式6.3复合公式与龙贝格求积公式6.4高斯型求积公式2第六章数值积分6.1引入6.2牛顿-柯特斯求积公式6.3复合公式与龙贝格求积公式6.4高斯型求积公式3f(x)地原函数F(x)不能用初等函数表示一个实际问题——波纹瓦材料长度建筑上用地一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整地铝板压制而成地.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹地高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板地长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定地曲线,从x=0到x=48英寸（1英尺=12英寸）间地弧长L.由微积分学我们知道,所求地弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。WhaIt’ssotheplexOriginalthatwecannotfunction?!getit.类似地,下列函数也不存在由初等函数表示地原函数:2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它地原函数却十分复杂:f(x)没有解析表达式,只有数表形式:1234544.5688.5原来呵通呵过…原这函就数需来要计积算分积地分数有它值地方局法限来性帮。忙那啦……。怎么办呢？关于积分,有Newton-Leibniz公式但是在许多实际计算问题中F(x)表达式较复杂时,计算较困难。如F(x)难求！甚至有时不能用初等函数表示。如f(x)表达式未知,只有通过测量或实验得来地数据表积分中值定理•若函数f在[a,b]上连续,则在[a,b]内存在一点,使下式成立•若函数f与g在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点ξ属于[a,b],使下式成立11第六章数值积分6.1引入6.2牛顿-柯特斯求积公式6.3复合公式与龙贝格求积公式6.4高斯型求积公式126.2.1插值型求积公式与代数精度13数值积分公式地一般形式一般地,用f(x)在[a,b]上地一些离散点a x0<x1<···<xn b上地函数值地加权平均作为f()地近似值,可得机械求积方法求积系数求积节点将定积分计算转化成被积函数地函数值地计算无需求原函数易于计算机实现插值型求积公式设求积节点为:ax0<x1<···<xnb若f(xi)已知,则可做n次多项式插值:(6.2.1)其中:(6.2.2) 令:•则(6.2.3)称为插值型数值积分公式。插值型求积公式误差:其中即(6.2.4)则代数精度定义:如果对于所有次数不超过m地多项式f(x),公式精确成立,但对某个次数为m+1地多项式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度代数精度地验证方法将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即:(k=0,1,…,m)例题例:试确定Ai,使得下面地求积公式具有尽可能高地代数精度解:将f(x)＝1,x,x2,…,xn代入求积公式,使其精确成立,得存在唯一解:… …所以求积公式为:具有至少n阶代数精度举例例:试确定系数A,B,C使得下面地求积公式具有尽可能高地代数精度,并求出此求积公式地代数精度。解:将f(x)＝1,x,x2代入求积公式,使其精确成立,可得解得A=h/3,B=4h/3,C=h/3。所以求积公式为易验证该公式对f(x)＝x3也精确成立,但对f(x)＝x4不精确成立,所以此求积公式具有3次代数精度。插值型求积公式性质:插值型求积公式具有至少n次代数精度定理6.1:形如下式地n+1点求积公式,其代数精度至少为n地充要条件是,它是插值型地。20代数精度证明设形如（6.2.3）式地n+1个点求积公式是插值型地。当f(x)是次数不超过n地多项式时,由（6.2.4）式得Rn[f]=0,即求积公式（6.2.3）得到地是定积分地精确值。所以,其代数精确度至少是n。反之,若（6.2.3）式地代数精确度至少是n,则它对n次插值基函数li(x)是精确成立地,即21代数精度定理6.1形如（6.2.3）式地n+1个点求积公式,其代数精确度至少为n地充分必要条件是,它是插值型地。证明（续）注意到li(xk)=δik,有这就是（6.2.2）式,即相应地求积公式是插值型地226.2.2牛顿-柯特斯求积公式236.2.2牛顿-柯特斯求积公式当求积节点取为等距节点xk=a+kh(k=0,1,…,n;h=(b-a)/n)时,记x=a+th,则得求积系数(6.2.5)梯形求积公式•在(6.2.5)中,令n=1•代入(6.2.3)中,得到(6.2.6)梯形求积公式(6.2.6)•余项(6.2.7)抛物线求积公式-Simpson公式•在(6.2.5)中,令n=2抛物线求积公式-Simpson公式(6.2.8)•余项公式(6.2.10)例题给定积分分别用梯形求积公式与抛物线求积公式计算。3Cotes求积公式•在(6.2.5)中,令n=4•求积公式(6.2.11)•余项公式(6.2.12)牛顿-柯特斯公式基于等分点地插值型求积公式积分区间:[a,b]求积节点:xk=a+kh求积公式:Cotes系数牛顿-柯特斯公式=1:n=2:

梯形公式代数精度=1抛物线公式Simpson公式n=4:

代数精度=3科特斯(Cotes)公式 代数精度=5Cotes系数与被积函数f(x)及积分区间[a,b]无关Cotes系数可通过查表获得牛顿-柯特斯公式Cotes系数具有以下特点:(1)当n8时,出现负数,稳定性得不到保证。而且当n较大时,由于Runge现象,收敛性也无法保证。一般不采用高阶地牛顿-科特斯求积公式当n7时,Newton-Cotes公式是稳定地34第六章数值积分6.1引入6.2牛顿-柯特斯求积公式6.3复合公式与龙贝格求积公式6.4高斯型求积公式356.3.1复合求积公式366.3.1复合求积公式•数值积分公式与多项式插值有很大地关系,因此存在着龙格（Runge）现象•使得我们不能用太多地积分点计算。•采用分段,低阶地方法复合梯形公式•记(6.3.1)•余项(6.3.2)复合抛物线公式•记•余项

(6.3.3)(6.3.4)6.3.2分半加速算法40分半加速算法在使用复合求积公式时,我们通常将步长h逐次分半利用低次复合求积公式地结果来计算高一次复合求积公式地值龙贝格算法复合梯形求积公式可表示为(6.3.5)其中:步长为h′=h/2=(b-a)/(2m)龙贝格算法复合抛物线求积公式可表示为(6.3.9)其中:步长为龙贝格算法复合柯特斯求积公式可表示为(6.3.11)龙贝格算法龙贝格(Romberg)公式(6.3.12)龙贝格算法计算过程龙贝格算法例6.1用龙贝格算法计算 地近似值解将积分区间[0,1]依次分为1,2,4,8等份,按龙贝格算法当计算到Q2(8)=3.14159时,误差接近于0,即可停止计算第六章数值积分6.1引入6.2牛顿-柯特斯求积公式6.3复合公式与龙贝格求积公式6.4高斯型求积公式486.4.1高斯型求积公式49高斯型求积公式求积公式（6.2.3）最高地代数精确度是多少?对任意给定地n+1点求积公式,都可以找到一个2n+2次多项式,使得求积公式对该多项式地积分是不精确地通过适当选择插值节点与求积系数,可使求积公式（6.2.3）地代数精确度达到2n+1,这是求积公式（6.2.3）可能具有地最高地代数精确度高斯型求积公式例6.2考虑计算区间[-1,1]上地积分地两点（n=1地情形）求积公式求积公式地代数精确度不超过2n+1=3例6.2将求积节点与求积系数 作为4个待定参数,依次取被积函数为,代入求积公式,得可解出例6.2得到求积公式可解出高斯型求积公式6.4.2正交多项式55正交多项式定义6.2设为i次多项式。若多项式序列满足(6.4.2)则称为区间[a,b]

上带权函数地

正交多项式正交多项式定理6.2n+1个节点 是求积公式(6.4.3)地Gauss点地充分必要条件是n+1次多项式与所有次数≤n地多项式正交,即有(6.4.4)6.4.3高斯-勒让德求积公式58高斯-勒让德求积公式• 正交多项式地零点均为互异实数,且均属于[a,b]构造Gauss求积公式(6.4.3)可先求Gauss点,即正交多项式gn+1(x)地零点再利用求积公式是插值型地,求出求积系数高斯-勒让德求积公式例6.2可先求Gauss点x0,x1由此得方程组例6.2解之便得到Gauss节点由此易得求积系数从而