专题四 功和能 学案

专题四功和能学案典例精析题型1.（功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H。设上升过程中空气阻力为F恒定。则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（）小球动能减少了mgH小球机械能减少了FH小球重力势能增加了mgH小球加速度大于重力加速度g解析：由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力F做的功。为（mg+F）H，A错误；小球机械能的减小等于克服阻力F做的功，为FH，B正确；小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功，为mgH，C正确；小球的加速度，D正确规律总结：功是能量转化的量度，有以下几个功能关系需要理解并牢记⑴重力做功与路径无关，重力的功等于重力势能的变化⑵滑动摩擦力（或空气阻力）做的功与路径有关，并且等于转化成的内能⑶合力做功等于动能的变化⑷重力（或弹力）以外的其他力做的功等于机械能的变化题型2.（功率及机车启动问题）审题指导：1.在汽车匀加速启动时，匀加速运动刚结束时有两大特点⑴牵引力仍是匀加速运动时的牵引力，即仍满足⑵注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度题型3.（动能定理的应用）如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L。求：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？解析：（1）小物块最终停在AB的中点，在这个过程中，由动能定理得得（2）若小物块刚好到达D处，速度为零，同理，有解得CD圆弧半径至少为（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是，由动能定理得解得物块滑回C点时的动能为，由于，故物块将停在轨道上。设到A点的距离为x，有解得即物块最终停在水平滑道AB上，距A点处。规律总结：应用动能定理要比动力学方法方便、简洁。只有应用动力学方法可以求解的匀变速直线运动问题，一般应用动能定理都可以求解。尽管动能定理是应用动力学方法推导出来的，但它解决问题的范围更广泛。题型4.（综合问题）滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作给人以美的享受。如图甲所示，abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均为斜直轨道，倾角θ=37º，de段是一半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，o点为圆心,其正上方的d点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用Nd表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s2，sin37º=，cos37º=除下述问(3)中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点。(1)运动员从bc段紧靠b处无初速滑下，求Nd的大小；(2)运动员逐渐减小从bc上无初速下滑时距水平地面的高度h，请在图乙的坐标图上作出Nd-h图象(只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据)；(3)运动员改为从b点以υ0=4m/s的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d点滑离轨道?请通过计算得出结论解析：解：(1)从开始滑下至d点，由机械能守恒定律得

①(1分)②(1分)由①②得：③(1分)

(2)所求的图象如图所示(3分)

(图线两个端点画对各得1分，图线为直线得1分)

(3)当以从b点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q点，如图所示设Bq=，则

④(1分)

⑤(1分)

由④⑤得⑥(1分)

⑦(1分)在Q点缓冲后⑧(1分)从⑨(1分)运动员恰从d点滑离轨道应满足：⑩(1分)由⑨⑩得即⑩(1分)可见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道。(1分)·······E+Qdcabfeo题型5.（功能关系在电场中的应用）如图所示匀强电场E的区域内，在O点处放置一点电荷+Q，·······E+QdcabfeoA．b、d两点的电场强度相同B．a点的电势等于f点的电势C．点电荷+q在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功D．将点电荷+q在球面上任意两点之间移动，从球面上a点移动到c点的电势能变化量一定最大解析：由于点电荷+Q在b、d两点的场强方向分别向上和向下，b、d两点的场强大小相同，方向不同，A错；a点和f点位于+Q形成电场的等势面上，但若把一电荷从a点移动到f点，电场E要对电荷做功，B错；当点电荷+q在bedf面上任意两点间移动时，电场力不做功，C错；球面上相距最远的点（沿场强E的方向）是ac，电场E对其做功最大，电势能的变化量最大。规律总结：1.在等势面上移动电荷是，电场力不做功。电场力做功与路径无关，W=qU3.电场力做的功等于电势能的变化量。题型6.（功能关系在电磁感应中的应用）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gB．金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→bC．金属棒的速度为v时．所受的安培力大小为F=D．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少解析：在释放的瞬间，速度为零，不受安培力的作用，只受到重力，A对。由右手定则可得，电流的方向从b到a，B错。当速度为时，产生的电动势为，受到的安培力为，计算可得,C对。在运动的过程中，是弹簧的弹性势能、重力势能和内能的转化，D错。题型7.（功能关系在混合场内的应用）如图所示，MN是一固定在水平地面上足够长的绝缘平板（左侧有挡板），整个空间有平行于平板向右、场强为E=2N/C的匀强电场，在板上C点的左侧有一个垂直于纸面向外、磁感应强度为B=1T的匀强磁场，一个质量为m=4×10－3kg、带负电的小物块，带电量q=10－2C，从C点由静止开始向左先做加速运动再做匀速运动.当物体碰到左端挡板后被弹回，若在碰撞瞬间将电场改为竖直向下，大小不变.小物块返回时在磁场中恰做匀速运动，已知平板MC部分的长度为L=5m（1）小物块向左运动过程中克服摩擦力做的功Wf；（2）小物块与左端挡板碰撞过程损失的机械能△E；（3）小物块从与左挡板碰后到最终静止所用时间t；（4）整个过程中由于摩擦产生的热量Q.解析：设小物块向左匀速运动时的速度大小为v1，由平衡条件有①设小物块在向左运动过程中克服摩擦力做的功为W，由动能定理有②由①②式解得③（2）设小物块返回时在磁场中匀速运动的速度大小为v2，与右端挡板碰撞过程损失机构能为，则有④⑤由③⑤⑥式解得⑥（3）小物块由M到C匀速运动，时间为⑦小物块由C到静止匀减速运动，⑧时间为⑨总时间为t=t1+t2=⑩（4）对全过程，由能量守恒定律有eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)（或由⑤⑧式解得eq\o\ac(○,13)评分标准：①式2分，其余各1分，共14分专题突破针对典型精析的例题题型，训练以下习题1.如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中，OA．小球的机械能守恒OB．重力对小球不做功C．绳的张力对小球不做功D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少点拨：此题属于功能关系的应用。由于摩擦力做功，机械能不守恒，任一时间内小球克服摩擦力所做的功总是等于小球机械能的减少。转动过程重力做功，绳的张力总与运动方向垂直，不做功。此题选C。O/sm－1F/N6×1032×103O/sm－1F/N6×1032×103点拨：功率及机场启动问题。由图知当v=15m/s时，F=4×103N<6×104N,因此仍处在额定功率阶段，匀加速运动末速度，又v=at，，，解之得t=5s.3.据2008年2月18日北京新闻报导：北京地铁10号线进行运行试验。为节约能源，一车站站台建得高些，车辆进站时要上坡将动能转换为重力势能，出站时要下坡将重力势能换为动能，如图所示。已知坡长为x，坡高为h，重力加速度为g，车辆的质量为m，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源。（1）车辆在上坡过程中，若只受重力和轨道的支持力，求车辆“冲”到站台上的速度多大？（2）实际上车辆上坡时，还受到其它阻力作用，要使车辆能“冲”上站台，车辆克服其它阻力做的功最大为多少？hA点拨：动能定理的应用。（1）车辆上坡过程，机械能守恒，设车辆“冲”坡站台的速度为v，则有：hA（6分），解得：（2分）（2）车辆上坡过程，受到最大阻力功，冲到站台上的速度应为零，设最大阻力功为Wf，由动能定理有：（6分）解得：（2分）4.如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m=2kg小球A。半径R＝0.3m的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m=2kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取10m/s2。现给小球A一个水平向右的恒力F＝55N。求：（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功；（2）小球B运动到C处时的速度大小；BABAPOF点拨：综合问题（1）小球B运动到P点正下方过程中的位移为（m）（2分）得：WF=FxA=22J（2分）（2）由动能定理得代入数据得：v=4m/s（4分）⑶当绳与圆环相切时两球的速度相等。=0.225m（4分）学法导航复习指导：①回归课本夯实基础，仔细看书把书本中的知识点掌握到位②练习为主提升技能，做各种类型的习题，在做题中强化知识③整理归纳举一反三，对易错知识点、易错题反复巩固④恒定加速度启动问题：解决问题的关键是明确研究的问题是处在哪个阶段上。以及匀加速过程的最大速度和全程的最大速度的区别和求解方法。⑴求：由，可求：求：动能定理的应用⑴动能定理的适用对象：涉及单个物体（或可看成单个物体的物体系）的受力和位移问题，或求解变力做功的问题。⑵动能定理的解题的基本思路：ⅰ选取研究对象，明确它的运动过程分析研究对象的受力情况和各力做功情况，然后求各个外力做功的代数和ⅲ明确物体在过程始末状态的动能。列出动能定理的方程，及其它必要的解题方程，进行求解。⑥机械能守恒定律的应用机械能是否守恒的判断：ⅰ用做功来判断，看重力（或弹簧弹力）以外的其它力做功代数和是否为零ⅱ用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其它形式的能对绳子突然绷紧，物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明或暗示⑵机械能守恒定律解题的基本思路：㈠选取研究对象---物体系。㈡根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。㈢恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初末状态时的机械能。根据机械能守恒定律列方程，进行求解。⑦功能关系在电学中的应用的题目，一般过程复杂且涉及多种不同性质的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程的分析是关键，然后根据不同的运动过程各力做功的特点来选择规律求解。1.如图3-1，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力

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]垂直于接触面，做功为零B．垂直于接触面，做功不为零C．不垂直于接触面，做功为零D．不垂直于接触面，做功不为零【错解】斜面对小物块的作用力是支持力，应与斜面垂直，因为支持力总与接触面垂直，所以支持力不做功。故A选项正确。【错解原因】斜面固定时，物体沿斜面下滑时，支持力做功为零。受此题影响，有些人不加思索选A。这反映出对力做功的本质不太理解，没有从求功的根本方法来思考，是形成错解的原因。【分析解答】根据功的定义W=F·scosθ为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由于地面光滑，物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力，在水平方向系统动量守恒。初状态系统水平方向动量为零，当物块有水平向左的动量时，斜面体必有水平向右的动量。由于m＜M，则斜面体水平位移小于物块水平位移。根据图3-2上关系可以确定支持力与物块位移夹角大于90°，则斜面对物块做负功。应选B。【评析】求解功的问题一般来说有两条思路。一是可以从定义出发。二是可以用功能关系。如本题物块从斜面上滑下来时，减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能，物块的机械能减少了，说明有外力对它做功。所以支持力做功。以20m/s的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是18m。如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变，则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。(g=10m/s2)【错解】以物体为研究对象，画出运动草图3-3，设物体上升到h高处动能与重力势能相等此过程中，重力阻力做功，据动能定量有物体上升的最大高度为H由式①，②，③解得h=【错解原因】初看似乎任何问题都没有，仔细审题，问物全体离地面多高处，物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。【分析解答】上升过程中的解同错解。设物体下落过程中经过距地面h′处动能等于重力势能，运动草图如3-4。据动能定理解得h′=8.5m【评析】在此较复杂问题中，应注意不要出现漏解。比较好的方法就是逐段分析法。

如图3－6，质量为M的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度v0射入木块中。设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为D，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？【错解】（1）以木块和子弹组成的系统为研究对象。系统沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒。设子弹和木块共同速度为v。据动量守恒有mv0=（M＋m）v解得v=mv0子弹射入木块过程中，摩擦力对子弹做负功（2）系统损失的机械能即为子弹损失的功能【错解原因】错解①中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误。子弹对地的位移并不是D，而D打入深度是相对位移。而求解功中的位移都要用对地位移。错解②的错误是对这一物理过程中能量的转换不清楚。子弹打入木块过程中，子弹动能减少并不等于系统机械能减少量。因为子弹减少的功能有一部分转移为木块的动能，有一部转化为焦耳热。【分析解答】以子弹、木块组成系统为研究对象。画出运算草图，如图3—7。系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有设v0方向为正)子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：由运动草图可S木=S子-D

③【评析】子弹和木块相互作用过程中，子弹的速度由V0减为V，同时木块的速度由0增加到V。对于这样的一个过程，因为其间的相互作用力为恒力，所以我们可以从牛顿运动定律（即f使子弹和木块产生加速度，使它们速度发生变化）、能量观点、或动量观点三条不同的思路进行研究和分析。类似这样的问题都可以采用同样的思路。一般都要首先画好运动草图。例：如图3-8在光滑水平面上静止的长木板上，有一粗糙的小木块以v0沿木板滑行。情况与题中极其相似，只不过作用位置不同，但相互作用的物理过程完全一样。参考练习：如图3-9一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M。现以地面为参考系，给A和B以大小相同，方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。求小木块A向左运动到达最远处（对地）离出发点的距离。提示：注意分析物理过程。情景如图3-10。其中隐含条件A刚好没离B板，停在B板的左端，意为此时A，B无相对运动。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先减为零，然后加速达到与B同速。

如图3-13，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(

)A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒。球、B球和地球组成的系统机械能守恒D．A球、B球和地球组成的系统机械不守恒【错解】B球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。拉力不做功，只有重力做功，所以B球重力势能减少，动能增加，机械能守恒，A正确。同样道理A球机械能守恒，B错误，因为A，B系统外力只有重力做功，系统机械能守恒。故C选项正确。【错解原因】B球摆到最低位置过程中，重力势能减少动能确实增加，但不能由此确定机械能守恒。错解中认为杆施的力沿杆方向，这是造成错解的直接原因。杆施力的方向并不总指向沿杆的方向，本题中就是如此。杆对A，B球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力。所以杆对A，B球施的力都做功，A球、B球的机械能都不守恒。但A+B整体机械能守恒。【分析解答】B球从水平位置下摆到最低点过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力方向待定。下摆过程中重力势能减少动能增加，但机械能是否守恒不确定。A球在B下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加。由于A+B系统只有重力做功，系统机械能守恒，A球机械能增加，B球机械能定减少。所以B，C选项正确。【评析】有些问题中杆施力是沿杆方向的，但不能由此定结论，只要杆施力就沿杆方向。本题中A、B球绕O点转动，杆施力有切向力，也有法向力。其中法向力不做功。如图3-14所示，杆对B球施的力对B球的做负功。杆对A球做功为正