2023初高中数学衔接教材（已整理）

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现有初高中数学教材存在以下“脱节〞：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中大量化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必需把握的基此题型和常用方法；

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必需考的综合题型之一；

9、几何中好多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸挖掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致好多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

目录

第一章数与式

1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式

其次章二次方程与二次不等式

2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组的解法第三章相像形、三角形、圆

3.1相像形

3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相像三角形形的性质与判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3圆

3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2点的轨迹

3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）

2

1.1数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：x?1?x?3＞4．

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3；①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4，即?2x?4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；

②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即2x?4＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知

点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

练习1．填空：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）假使a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.2．选择题：

以下表达正确的是（）

（A）若a?b，则a?b（B）若a?b，则a?b

3

PxC0A1BD34x|x－1|

图1．1－1

（C）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：

（1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2；

22?a2?2ab?．b（2）完全平方公式(a?b)我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：

23?ab?2b)?3a?；b（1）立方和公式(a?b)(a23?ab?2b)?3a?；b（2）立方差公式(a?b)(a222)?a?b?2c2?(ab?bc?；)a（3）三数和平方公式(a?b?cc3323?a?3ab?3a2b?；b（4）两数和立方公式(a?b)33?a?3a2b?3a2b?．b（5）两数差立方公式(a?b)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

222?解法一：原式=(x2?1)?(x?1)?x??

=(x2?1)(x4?x2?1)

=x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1)

=(x3?1)(x3?1)=x6?1．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．解：a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练习1．填空：

121211；a?b?(b?a)（）

942322（2）(4m?)?16m?4m?()；

2222(3)(a?2b?c)?a?4b?c?()．

（1）2．选择题：

1mx?k是一个完全平方式，则k等于（）21212122m（A）m（B）m（C）m（D）

416322（2）不管a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）

（1）若x?2（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?x2?2xy?y2，a2等是有理式．

2x?1，21．分母（子）有理化

4

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，假使它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等．一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与

ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，寻常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式a2的意义

a2?a???a,a?0,

?a,a?0.?例1将以下式子化为最简二次根式：

（1）12b；（2）a2b(a?0)；（3）4x6y(x?0)．解：（1）12b?23b；

（2）a2b?ab?ab(a?0)；（3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．

例2计算：3?(3?3)．

3?33?(3?3)＝(3?3)(3?3)33?39?33(3?1)＝63?1＝．

23?1133?13?3＝)解法二：3?(3＝＝＝＝．

23?13(3?1)(3?1)(3?1)3?3例3试比较以下各组数的大小：

2（1）12?11和11?10；（2）和22－6.

6?4解法一：3?(3?3＝)3＝解：（1）∵12?11?11?12?11(12?11)(12?11)1，??112?1112?1111?110?1，10(1?110)(?1110)?11?101?1又12?11?11?10，∴12?11＜11?10．

10?5

22－6(22－6)(22+6)2??,122+622+6又4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

2∴＜22－6.6?4例4化简：(3?2)2023?(3?2)2023．（2）∵22－6?解：(3?2)2023?(3?2)2023

?＝(3?2)?(3?2)?(3?2)＝??(3?2)?(3?2)?＝12023?(3?2)＝3?2．

202320232023?(3?2)

例5化简：（1）9?45；（2）x2?1?2(0?x?1)．x2解：（1）原式?5?45?4?(5)2?2?2?5?22?(2?5)2?2?5?5?2．

11（2）原式=(x?)2?x?，

xx11∵0?x?1，∴?1?x，所以，原式＝?x．

xx3?23?2例6已知x?，求3x2?5xy?3y2的值．,y?3?23?23?23?2解：∵x?y???(3?2)2?(3?2)2?10，

3?23?23?23?2??1，3?23?2∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

xy?练习1．填空：（1）1?3＝_____；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_____；（3）424?654?396?2150?_____；（4）若x?2．选择题：

5x?1?x?1x?1?x?1，则??________．2x?1?x?1x?1?x?1xx成立的条件是（）?x?2x?2（A）x?2（B）x?0（C）x?2（D）0?x?2

等式a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．

a?14．比较大小：2－35－4（填“＞〞，或“＜〞）．

1.1.４．分式

6

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有以下性质：BBBAA?MAA?M；．??BB?MBB?M上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1若，求常数A,B的值．

x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解：∵?，

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5,∴?解得A?2,B?3．

2A?4,?111??例2（1）试证：（其中n是正整数）；

n(n?1)nn?1111（2）计算：；???1?22?39?101111????．（3）证明：对任意大于1的正整数n，有

2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，

nn?1n(n?1)n(n?1)111??∴（其中n是正整数）成立．

n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知

1111111119?(1?)?(?)??(?)?1?＝．???1?22?39?10223910101011111111111???（3）证明：∵＝(?)?(?)??(?，)＝?2?33?4n(n?1)2334nn?12n?11

又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，

n＋11111???∴＜2．2?33?4n(n?1)c例3设e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

a2

解：在2c－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝2＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．

练习7

1．填空题：对任意的正整数n，2．选择题：

111?(?)；

n(n?2)nn?22x?y2x?，则＝（）若x?y3y（A）１（B）54（C）45（D）65

3．正数x,y满足x2?y2?2xy，求x?yx?y的值．

4．计算11111?2?2?3?3?4?...?99?100．

习题1．1

A组

1．解不等式：

(1)x?1?3；(2)x?3?x?2?7；(3)x?1?x?1?6．

２．已知x?y?1，求x3?y3?3xy的值．3．填空：

（1）(2?3)18(2?3)19＝________；

（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，则a的取值范围是________；（3）11?2?12?3?13?4?14?5?15?6?________．

B组

1．填空：

（1）a?12，b?13，则3a2?ab3a2?5ab?2b2?________；（2）若x?xy?2y?0，则

x2?3xy?y222x2?y2?____；2．已知：x?11y2,y?3，求x?y?yx?y的值．C组

1．选择题：

（1）若?a?b?2ab??b??a，则（（A）a?b（B）a?b（C）a?b?0（D）b?a?0

（2）计算a?1a等于（（A）?a（B）a（C）??a（D）?a

2．解方程2(x2?11x2)?3(x?x)?1?0．

3．计算：111?3?2?4?13?5??19?11．4．试证：对任意的正整数n，有11?2?3?12?3?4??1n(n?1)(n?2)＜1

4

．

1.2因式分解

8

））因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1xx1－2－1－ay－1

1xx16－2－by－2

图1．1－1图1．1－3图1．1－4图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．1－4，得

x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by)x－1（4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

y1

＝(x－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．

图1．1－5

课堂练习

一、填空题：

1、把以下各式分解因式：

（1）x?5x?6?__________________________________________________。（2）x?5x?6?__________________________________________________。（3）x?5x?6?__________________________________________________。（4）x?5x?6?__________________________________________________。（5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。

22222（6）x?11x?18?__________________________________________________。（7）6x?7x?2?__________________________________________________。（8）4m?12m?9?__________________________________________________。（9）5?7x?6x?__________________________________________________。（10）12x?xy?6y?__________________________________________________。2、x?4x???x?3??x??

22222223、若x?ax?b??x?2??x?4?则a?，b?。二、选择题：（每题四个答案中只有一个是正确的）

21、在多项式（1）x?7x?6（2）x?4x?3（3）x?6x?8（4）x?7x?10（5）x?15x?44中，有一致因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式a?8ab?33b得（）

a?3?B、?a?11b??a?3b?C、?a?11b??a?3b?D、?a?11b??a?3b?A、?a?11??3、?a?b??8?a?b??20分解因式得（）

22222222a?b?2?B、?a?b?5??a?b?4?A、?a?b?10??

9

a?b?10?D、?a?b?4??a?b?5?C、?a?b?2??4、若多项式x?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（）

2A、a?10，b?2B、a?10，b??2C、a??10，b??2D、a??10，b?2

x?b?其中a、b为整数，则m的值为（）5、若x?mx?10??x?a??2A、3或9B、?3C、?9D、?3或?9

三、把以下各式分解因式

1、6?2p?q??11?q?2p??32、a?5ab?6ab

2423、2y?4y?64、b?2b?8

23222．提取公因式法

例2分解因式：

（1）a2?b?5??a?5?b?（2）x3?9?3x2?3x解：（1）．a2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)

（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3)=(x?3)(x2?3)．或

x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)课堂练习：

一、填空题：

1、多项式6xy?2xy?4xyz中各项的公因式是_______________。2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。3、m?x?y??n?y?x???x?y??____________________。

222224、m?x?y?z??n?y?z?x???x?y?z??_____________________。5、m?x?y?z??x?y?z??x?y?z??______________________。6、?13abx?39abx分解因式得_____________________。7．计算99?99=二、判断题：（正确的打上“√〞，错误的打上“×〞）

1、2ab?4ab?2ab?a?b?…………（）

222632522、am?bm?m?m?a?b?……………（）3、?3x?6x?15x??3xx?2x?5……………（）4、x?xnn?132?2??xn?1?x?1?………………（）

3：公式法

例3分解因式：（1）?a4?16（2）?3x?2y???x?y?解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)

22(2)?3x?2y???x?y?=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)

课堂练习

2210

3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．

习题2.1A组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）以下四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个

相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为()

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2023x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（2）假使a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，假使2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：（1）|x1－x2|和

7；35．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．

C组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边

长等于（）

（A）3（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

x1?x2；（2）x13＋x23．2（3）假使关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为

（）（A）α＋β≥

x1x2?的值为（）x2x13（A）6（B）4（C）3（D）

211（B）α＋β≤（C）α＋β≥1（D）α＋β≤12216

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋

c＝0的根的状况是()4（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根

2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；2xxx（2）求使1?2－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，??1，试求?的值．

x2x2x12m2?0．4．已知关于x的方程x?(m?2)x?4（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2．2二次函数

2.2.1二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质

情境设置：可先让学生通过具体实例摸索二次函数的图象，如作图（1）y?x(2)y??x(3)y?x?2x?3

问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

222

2

＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：xx22x2………－3918－248－112000112248391812

x，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y2……从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到

22

这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x的图象可以由函数y＝x的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝

数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特别的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从

2

函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状一致，位置不同〞的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

17

12

x，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函2yy＝2(x＋1)2＋1y＝2(x＋1)2y＝2x2－1O图2.2-2

x通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移〞；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移〞．

2

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性质：

b2b2bb2

由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－

4a4aaab2b2?4ac)??a(x?，2a4a2

2

b4ac?b2,)，对称轴为直线x（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?2a4abbbb＝－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的增大而增大；当x＝?2a2a2a2a4ac?b2时，函数取最小值y＝．

4ab4ac?b22

,)，对称轴为（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?2a4abbb直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着x的增大而减小；当x

2a2a2a4ac?b2b＝?时，函数取最大值y＝．

4a2a2

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次

函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

b4ac?b2yyA(?y,)b2y＝x22a4ay＝2xx＝－2aOxOxb4ac?b2b,)A(?x＝－x2a4aO2a图2.2-4图2.2-3图2.2-1

例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；A(－1,4)y对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

D(0,1)采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(23?3,0)和323?3,0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5C(?3

18

COBx＝－1图2.2－5x所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更确切．

2

函数y＝ax＋bx＋c图象作图要领：

（1）确定开口方向：由二次项系数a决定

（2）确定对称轴：对称轴方程为x??b2a2

（3）确定图象与x轴的交点状况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x＋bx＋c=0求

2

出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x＋bx＋c=0求出③①若△

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在以下关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以

bcbc，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．aaaabc2所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x?x?)=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．

aax1＋x2＝?由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为y?a(x?2)2?1(a?0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1），

2∴?1?a(3?2)?1，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为y??2(x?2)2?1，即y＝－2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，

21

展开，得y＝ax2＋2ax－3a，

?12a2?4a2??4a，顶点的纵坐标为

4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝?1．2所以，二次函数的表达式为y＝

12313x?x?，或y＝－x2?x?．2222分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴

的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．

∴a＝－

11，或a＝．2211(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．22所以，所求的二次函数为y＝－说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来

解题，在今后的解题过程中，要擅长利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

??22?a?b?c,???8?c,?8?4a?2b?c,?解得a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么状况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练习1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定

1

（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）

2

（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0)．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据以下条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

22

2.2.3二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换

问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过以下平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2．

问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于以下直线对称后所

y得到图象对应的函数解析式：

x＝－1（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图Ox象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，A(1,－1)A1(－3,－1)2

所以，二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．y图2.2－72B(1，3)（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线x

＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,y＝－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y1＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2

Ox＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．

A(1,－1)

练习1．选择题：图2.2－8

2

把函数y＝－(x－1)＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（）

（A）y＝(x＋1)2＋1（B）y＝－(x＋1)2＋1（C）y＝－(x－3)2＋4（D）y＝－(x－3)2＋1

2．对称变换

23

2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件：(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法

一、知识概述1、二元二次方程

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．

关于x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项．

例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．2、二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．

3、解二元二次方程组的思想和方法

解二元二次方程组的基本思想是“转化〞，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元〞和“降次〞．因此，把握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键．二、重点、难点和疑点突破

1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一〞型方程组)(1)代入消元法(即代入法)代入法是解“二·一〞型方程组的一般方法，具体步骤是：

①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；⑤写出方程组的解．(2)逆用根与系数关系定理法

对“二·一〞型二元二次方程组成的形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解〞．2、对“二·一〞型的二元二次方程组的解的状况的判别“二·一〞型的二元二次方程组的实数解有三种状况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的状况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种状况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的状况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．3、“二·二〞型方程组的解法解“二·二〞型方程组的基本思想仍是“转化〞，转化的方法是“降次〞、“消元〞．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一〞型方程组，解这两个“二·一〞型方程组，所得的解都是原方程组的解．

24

(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与其次个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．4、“二·二〞型方程组的解的状况

由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．

值得注意的是“二·一〞型方程组最多有两个解；“二·二〞型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解．三、解题方法技巧点拨1、“二·一〞型二元二次方程组的解

例1、解方程组分析：

此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；假使把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个二元一次方程组元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是其次种解法．解法1：

由②得x=2y＋5③

将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．整理，得3y2＋10y＋7=0．

．解这两个二

点评：解“二·一〞型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的其次种解法是一种特别解法，它只适合一些特别形式的方程组．

分解：

细心观测这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以x，y为根的一元二次方程来求解．解法1：

25

由①得y=8－x．③

把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．解得x1=2，x2=6．

把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2=2．

解法2：

根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得z1=2，z2=6．

点悟：“代入法〞是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法〞虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小．

2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法

例3、解方程组分析：

观测方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于(x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解．解：

由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．∴x－y－3=0或x－y＋1=0．∴原方程组可化为两个方程组：

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法

例4、解方程组

分析：方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的．解：由①得(x－4y)(x＋y)=0∴x－4y=0或x＋y=0由②得(x＋2y)2=1

∴x＋2y=1或x＋2y=－1．

26

原方程可化为以下四个方程组

点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象．4、已知解的状况，确定字母系数

例5、k为何值时，方程组(1)有一个实数解，并求出此解；(2)有两个实数解；(3)没有实数解．分析：

所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来探讨．解：

将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0③△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来探讨的．

解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0简单被忽略．

练习解方程组

27

22??3x?2xy?y?0（1）?；

2??(x?y)?3(x?y)?18?0

22??x?2xy?y?4（2）?

2??(x?y)?5x?5y?6

2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：

222设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不等式的解的各种状况如下表：??0??0??02二次函数y?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?c（a?0）的图象一元二次方程有两相等实根无实根ax2?bx?c?0有两相异实根?a?0?的根(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2)bx1?x2??2a2ax2?bx?c?0?xx?x或x?x?1?b??xx???2a???R??xx1?x?x2?例1解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．

例2解关于x的不等式x?x?a(a?1)?0

28

2解：原不等式可以化为：(x?a?1)(x?a)?0

1

则x?a或x?1?a21121若a??(a?1)即a?则(x?)?0x?,x?R

2221若a??(a?1)即a?则x?a或x?1?a

2若a??(a?1)即a?

22例3已知不等式ax?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解．

解：由不等式ax?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知

2a?0，且方程ax2?bx?c?0的两根分别为2和3，

bc∴??5,?6，

aabc即??5,?6．

aa2由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为

b2cx?x??0，

aa2即－5x?x?6?0,

整理，得5x?x?6?0,22

所以，不等式bx?ax?c?0的解是

6

x＜－1，或x＞．

5

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

练习

1．解以下不等式：

（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．

22

2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a≤0（a为常数）．

作业：

1)或xa

aa2

2.假使方程ax＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.

3．解以下不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；

1.若0

29

（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．

(5)4+3x－2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;

4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．

5．关于x的不等式ax?bx?c?0的解为x??2或x??求关于x的不等式ax?bx?c?0的解．

2212

3．1相像形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，AB?2,BC?3，另作直线b交l1,l2,l3于点A',B'C,，不难发现

A'B'AB2??.B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，l1//l2//l3，有

ABDEAB3.1-1DE图

.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，=?BCEFACDF我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应〞线段成比例.

例1如图3.1-2，l1//l2//l3，且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.解Ql1//l2//l3\\,ABDE2==,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35图3.1-2

例2在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，

ADAEDE??.ABACBC证明（1）DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE??.?ADE∽ABC，?ABACBC证明（2）如图3.1-3，过A作直线l//BC，l//DE//BC,

求证：

30

?ADAE.?ABAC过E作EF//AB交AB于D，得BDEF，因而DE?BF.

AEBFDEEF//AB,???.

ACBCBCADAEDE???.ABACBC图3.1-3

从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3已知ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.

解假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G.EG//AC,EF?FC，

?EGF?CDF，且EG?DC，

1BEEG1?EG//AD,BEGBAD，且??,

2BAAD2图3.1-4

?E为AB的中点.

可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

我们在摸索一些存在性问题时，往往先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4在VABC中，AD为DBAC的平分线，求证：证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，

ABBD.=ACDCBABD=.AEDCQAD平分衆BAC,?BAD?DAC,由AD//CE知?BAD行E,DAC=?ACE,

ABBD\\?E?ACE,即AEAC,\\.=AC