平面向量知识点

平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a=λ*e1＋μ*e2,(λ+μ=1）。设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。4、向量的的数量积向量数量积定义：（1）向量A与向量B的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量A与B的夹角。（2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣^2≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。坐标运算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=（x1+x2，y1+y2）。同理可得

a-b=（x1-x2，y1-y2）。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。根据上面的结论又可得若a=(x,y),则λa=(λx,λy)这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时，左边取等号；②当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。①当且仅当a、b同向时，左边取等号；②当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件:若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。a//b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件:a⊥b的充要条件是a•b=0。a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.相关练习1．若a

=0，则对任一向量b

，有a·b=0.对2．若a

≠0，则对任一非零向量b

,有a·b≠0．错（当a⊥b时，a·b=0）3．若a

≠0，a·b

=0，则b=0

错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a·b=0）4．若a·b=0，则a·b中至少