9轴对称与等腰等边三角形复习

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学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：白迪娜辅导科目：数学学科教师：张维康课题星级上课日期及时段9、轴对称与等腰等边三角形复习★★2023.11.018:00--10:00教学内容本章重点:1.能够判断轴对称图形，能按要求作出简单平面图形经过一次二次轴对称后的图形。能利用轴对称设计图案。2.理解线段垂直平分线的性质和判定，并能够灵活运用。3.把握等腰三角形、等边三角形的性质和判定，并能够运用性质和判定进行证明和计算。4.把握30?的直角三角形的性质，并能够运用性质进行计算。本章难点:1.能够判断轴对称图形，能按要求作出简单平面图形经过一次二次轴对称后的图形。能利用轴对称设计图案。2.理解线段垂直平分线的性质和判定，并能够灵活运用。3.把握等腰三角形、等边三角形的性质和判定，并能够运用性质和判定进行证明和计算。4.把握30?的直角三角形的性质，并能够运用性质进行计算。精锐教育网站：.1

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轴对称图形轴对称轴对称作图线段垂直平分线轴对称概念性质等腰三角形判定等边三角形性质判定30?的直角三角形的性质中小学1对1课外辅导专家12.1轴对称1）轴对称图形：假使一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形。2）轴对称：把一个图形沿一条直线翻折过去，假使它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。两个图形关于直线对称也称为轴对称。两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。3）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。4）图形轴对称的性质：假使两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线）5）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。6）线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上12.2作轴对称图形12.2.1作轴对称图形1）归纳1：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一致；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。2）归纳2：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特别点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。12.2.2用坐标表示轴对称归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。12.3等腰三角形12.3.1等腰三角形1）等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角〞）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合3）等腰三角形的判定方法：假使一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边〞）12.3.1等边三角形1）等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。2）等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每一个角都等于60?.3）等边三角形的判定：（1）有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形.精锐教育网站：.1

2中小学1对1课外辅导专家（2）三个角都相等或三条边都相等的三角形是等边三角形.4）300直角三角形的性质：在直角三角形中，假使一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例1.如图1－6，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（）图1－6A．60°B．67.5°C．72°D．75°例2.已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED的度数．例3.已知：如图2－3，线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．作法：图2－3例4．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．作法：图2－4精锐教育网站：.1

3中小学1对1课外辅导专家例5．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．假使存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．例6．已知：如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.（1）求AP＋PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB．例7.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；作法：图3－8（2）如图3－9，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；作法：图3－9（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．精锐教育网站：.1

4中小学1对1课外辅导专家图3－10例8．（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；图3－11（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．图3－12例9．（1）已知：如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；图3－13（2）已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．精锐教育网站：.1

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中小学1对1课外辅导专家图3－14例10.已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．图7－9例11．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回复．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观测线段DE、CE，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？图7－10例12．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．图7－11精锐教育网站：.1

6中小学1对1课外辅导专家例13．已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．图8－4例14.（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；图8－7（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD围着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．图8－8精锐教育网站：.1

7中小学1对1课外辅导专家例15.已知△DCE的顶点C在?AOB的平分线OP上，CD交OA于F,CE交OB于G.（1）如图，若CD?OA,CE?OB,则图中有哪些相等的线段,请直接写出你的结论:；（2）如图2,若?AOB=120?,?DCE=?AOC,试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若?AOB=?，当?DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论依旧成立,请P直接写出?DCE满足的条件.A解:（1）结论:.C（2）FDOGB