圆锥曲线题型归纳剖析

专题直线与圆锥曲线高考命题趋势圆锥曲线方程是历年高考命题的热点，圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是每年必考内容，多出现在选择题和填空题中，分值大约是9~10分。直线和圆锥曲线的位置关系，多是综合题，分值大约是12~13分，考查综合能力的应用，近几年与平面向量知识相结合，体现了较强的综合性。选择题和填空题中，主要考查曲线的几何性质、标准方程等基础知识、基本技能、基本方法，每年都有考题。解答题一定有解析几何题，综合考查考生的“四大”能力，其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程，关于圆锥曲线的最值问题，考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理能力等数学思想方法。加强探索性题型的考查力度，以平面几何知识为背景，构建了寻求轨迹的探索性问题。加强了与其他知识（如平面向量）的综合，体现了学科间的综合应用。二、直线和圆锥曲线的位置关系问题解决此类问题常从方程的观点出发，把直线与二次曲线的关系问题等价于直线方程与二次方程联立的方程组解的问题，即等价于消元后的一元二次方程的判别式情况。这是代数方法研究两曲线位置关系的基础。此类问题常涉及到直线被二次曲线截得的弦长问题；二次曲线上关于已知直线对称的两点问题；直线与二次曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定问题。处理以上问题常常用到：一元二次方程的韦达定理、整体思想、“设而不求、间接考虑问题的思想方法和数形结合的思想方法。例1（06湖北）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。OFOFxyPMH的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。三、解析几何中的最值问题圆锥曲线上本身存在最值问题，如：椭圆上两点间最大距离为2a，双曲线上两点间最小距离为2a，椭圆的焦半径的取值范围为[a-c,a+c],抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。圆锥曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间距离公式转化为区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题。圆锥曲线上的点到定直线的距离最值解法同上，或可用平行切线法。点在圆锥曲线上条件下，求相关一式子的取值范围，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数（有几何意义）化为函数进行处理。由直线和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数满足的范围，解决方法常把所求参数作为函数，另一变元作为自变量求解。求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，求法有两种：代数法和几何法。解析几何中的定值问题：涉及圆锥曲线的定值问题；涉及直线过定点的问题例3、P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.例4（06全国）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．四、求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消例5、已知过点A（1，0）且互相垂直的两动直线与直线分别相交于E、F两点，O为坐标原点，动点P满足（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线中轨迹C交于M、N两点，且，求k的取值范围.例6（06江西）如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1）求点P的轨迹H的方程（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0），确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？练习一1、（06北京）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.2、（06福建）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。练习二1、设双曲线C：与直线：相交于两个不同的点A、B.（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且，求的值2、如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.练习三1、（06陕西）如图,三定点A(2,1)，B(0,－1)，C(－2,1)，三动点D，E，M满足eq\o(AD,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))=teq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))=teq\o(DE,\s\up6(→))，t∈[0,1]，(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围，(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.yyxOMDABC－1－1－212BE2、（06广东）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(=1\*ROMANI)求点的坐标；(=2\*ROMANII)求动点的轨迹方程.解析几何选择题练习（1）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（）A、B、C、D、（2）过点（1，3）作直线，若经过点和，且，则可作出的的条数为（）A、1B、2C、3D、多于3（3）半径不等的两定圆无公共点，动圆与都内切，则圆心O的轨迹是（）A、双曲线的一支B、椭圆C、双曲线的一支或椭圆D、抛物线或椭圆（4）是直线上的点，是直线外一点，则方程所表示的直线与直线L（）A、相交但不垂直B、垂直C、平行D、重合（5）平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1,则动点的轨迹方程为（）A、B、和C、D、和（6）设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（）A、B、C、3D、-3（7）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使的面积等于12，这样的点P共有（）个A、１B、２C、３D、４（8）设，且，，则点在平面上的区域的面积是（）A、B、1C、2D、（9）与圆相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（）A、2条B、3条C、4条D、6条（10）直线的倾斜角是（）。A、B、C、D、（11）设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为()A、2B、2或C、D、(12)已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）ABCD（13）若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是（）A、B、C、D、（14）P、Q取一点使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则=（）A、B、0C、–1D、（15）能够使得圆上恰好有两个点到直线距离等于1的一个c值为（）A、2B、C、3D、3（16）已知圆+y=4和直线的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则︱OP︱·︱OQ︱=()A、1+mB、C、5D、10（17）在圆内过点（，）有条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项,最长弦长为，若公差，那么的取值集合为（）A、B、C、D、（18）设双曲线－＝1与－＝1（＞0,＞0）的离心率分别为、，则当、变化时，最小值是（）A、4B、4C、D、2（19）已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsin－ycos=1表示（）A、焦点在轴上的双曲线B、焦点在轴上的双曲线C、焦点在轴上的椭圆D、焦点在轴上的椭圆（20）已知实数满足，则的最大值是()A、B、4C、5D、2（21）双曲线的焦点为F1、F2，，P在双曲线上，且满足：，则ΔPF1F2的面积是（）A、1B、2C、4D、eq\f(1,2)（22）过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A、1条B、2条C、3条D、0条（23）过点A（，0）作椭圆的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为,若和的离心率分别为和，则和的关系是（）。A、＝B、＝2C、2＝D、不能确定（24）在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（）A、一条直线和一个圆B、一条线段和一个圆C、一条直线和半个圆D、一条线段和半个圆（25）已知实数，满足，那么的最小值为()A、B、C、D、（26）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是()A、B、C、D、（27）当、满足约束条件（为常数）时，能使的最大值为12的的值为()A、－9B、9C、－12D、12（28）对于抛物线C：，称满足的点在抛物线内部，若点在抛物线内部，则直线与曲线C（）A、恰有一个公共点B、恰有两个公共点C、可能有一个公共点也可能有2个公共点D、无公共点例题答案解：（Ⅰ）依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）eq\o\ac(○,1)又点M异于顶点A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.eq\o\ac(○,2)将eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化简得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝（x1－2)(x2－2)＋y1y2eq\o\ac(○,3)又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又点M在椭圆上，则，即eq\o\ac(○,5)于是将eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化简后可得－＝.从而，点B在以MN为直径的圆内。例2、解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。例3、解：由椭圆可得焦点F（0，1），由题意弦PQ和MN相交于同一点F，且互相垂直.∴=∴直线PD与MN至少有一条直线斜率存在，不妨设直线PQ斜率存在，设其为k.设P（），Q（），直线PQ方程为：联立方程组，消去y整理得，则∵==(1)当k≠0时，直线MN方程为：，同理可得∴==··=令得，∴，当且仅当k=±1时，等号成立.（2）当k=0时，，∴S=2综合（1）和（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.例4、解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))将①式两边平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝EQ\f(1,4)x2，求导得y′＝EQ\f(1,2)x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出两条切线的交点M的坐标为(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2．于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3，由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．例5、解：（Ⅰ）设点P的坐标是（x，y），，∴点P轨迹方程是（Ⅱ）设，联立方程组，则有，∴例6、解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）则＝＝2sin（＋）当＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋11，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。练习一：1、(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因为A，B关于点M对称.所以解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ① ②由①－②得 ③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)2、解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设则圆半径 由得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令得 点G横坐标的取值范围为练习二：1、解：（Ⅰ）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得①∴，解得双曲线的离心率，即离心率e的取值范围是（Ⅱ）设由于都是方程①的根，且，2、[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则={x+6,y},={x－4,y},由已知可得(x+6)(x－4)+y2=0则2x2+9x－18=0,x=或x=－6.由于y>0,只能x=,于是y=.∴点P的坐标是(,)(2)直线AP的方程是x－y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－x2=(x－)2+15,由于－6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值练习三：1、解法一:如图，(Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由eq\o(AD,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))=teq\o(BC,\s\up6(→))，知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)．∴EQ\b\lc\{(\a\al(xD=－2t+2,yD=－2t+1))同理EQ\b\lc\{(\a\al(xE=－2t,yE=2t－1))．∴kDE=eq\f(yE－yD,xE－xD)=eq\f(2t－1－(－2t+1),－2t－(－2t+2))=1－2t．∴t∈[0，1]，∴kDE∈[－1，1]．(Ⅱ)∵eq\o(DM,\s\up6(→))=teq\o(DE,\s\up6(→))∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)．∴EQ\b\lc\{(\a\al(x=2(1－2t),y=(1－2t)2))，∴y=eq\f(x2,4)，即x2=4y．∵t∈[0，1]，x=2(1－2t)∈[－2，2]．即所求轨迹方程为:x2=4y，x∈[－2，2]解法二:(Ⅰ)同上．yxOMDABC－1－1－212BE第21题解法图(Ⅱ)如图，eq\o(OD,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+teq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))=(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))+teq\o(OB,\s\up6(→))，yxOMDABC－1－1－212BE第21题解法图eq\o(OE,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+teq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))+t(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))=(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))+teq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→))+eq\o(DM,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→))+teq\o(DE,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→))+t(eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))=(1－t)eq\o(OD,\s\up6(→))+teq\o(OE,\s\up6(→))=(1－t2)eq\o(OA,\s\up6(→))+2(1－t)teq\o(OB,\s\up6(→))+t2eq\o(OC,\s\up6(→))．设M点的坐标为(x，y)，由eq\o(OA,\s\up6(→))=(2，1)，