2023智轩其次基础基础导学桥 第七章 无穷级数

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第七章无穷级数

2023考试内容(本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交织级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单

幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[－l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数

2023考试要求

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，把握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.把握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3.把握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.把握交织级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6.了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幂级数收敛半径的概念，并把握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在

收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.把握ex,sinx,cosx,ln(1?x)及(1?x)?的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，

会写出傅里叶级数的和的表达式。

一、三基层面及其拓展

?1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：Sn?lim?uk存在，称级数收敛。

n??k?1?2.级数的本质：级数就是无限项求和，记为?un?u1?u2???un??，虽然在形式上是用

n?1m加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式?un?u1?u2???um完全不同。

n?1从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交换

?律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，?un?u1?u2???un??只是形式上的记号而

n?1325

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已。

无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能探讨无穷级数的性质。研考数学需要把握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交织和任意项），函数项级数（只要求把握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，由于正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交织级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数?un收敛，?un发散，则称?un条件收敛，若?un收敛，则

n?1n?1n?1n?1n?????称级数?unn?1??1?绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。任意项级数（如?）加上nn???2?n?2??绝对值后就是正项级数，交织级数（如?n?2??1?nn）是任意项级数的特例，故判别它们的收敛

性，就必需首先考虑其绝对收敛性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。假使任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交织级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更繁杂的类型不是考研数学的范畴。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如an?(?1)n1n，则?an收，?a2n发，。

3.任何级数收敛的必要条件是limun?0

n??n?k这是由于部分和Sn?nn?1k?uk?1?limSn?n???uk?1k?S

?uk??uk?1??uk?Sn?Sn?1?limuk?limSn?limSn?1?S?S?0

k?1k??k??k??????4．若有两个级数?un和?vn，?un?s,?vn??

n?1n?1n?1n?1则

??①?(un?vn)?s??，??un?n?1n?1????????v???n??s????n?1??。

②?un收敛，?vn发散，则?(un?vn)发散。

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③若二者都发散，则?(un?vn)不确定，如?1,???1?发散，而??1?1??0收敛。

n?1k?1k?1k?1????已知级数???1?n?1????n?1??an?2,?a2n?1?5,求?ann?1n?1??。

解：?an=?a2nn?1n?1??n?1??a2n?1=?????1?an?n?1?n?1?a?2n?1??n?1??an?12n?1???2?5??5?8

5．下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。

?①?(an?an?1)收敛?liman存在n?1n??证明：

n?(ai?1?n?an?1)??a1?a0???a2?a1??a3?a2?????an?1?an?2???an?an?1??an?a0

n??n???(an?1n?an?1)收敛?lim?an?a0??liman?a0??liman?n??②正项（不变号）级数?an收?结论。证明：

??a收，反之不成立，假使不是不变号级数，则无此2n?n?an?1收敛?liman?0?an?1??an??2n?an??an?12n收敛

③?an2和?bn2都收敛?证明：

0?anbn???2n?anbn收，?ann或?bnn收1?a222n?bn2?12n?an?1和?bn收?n?1?2?an?1??bn1n2?收??n?1??anbn收

令bn?1n???n?1ann收,令an???n?1bnn收二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

1.达朗贝尔比值法327

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un?1un?l?1,收???l?l?1,发（实际上导致了lim?n?0)

n??????l?1,单独探讨（当?n为连乘时）limn??2.柯西根值法

?l?1,收?un?l?l?1,发（当?n为某n次方时）??l?1,单独探讨limnn??3.比阶法

??nn??①代数式un?vn?unvn?v收敛??un?1n?1?收敛，?un发散?n?1??v发散

nn?1②极限式limn???A，其中：?unn?1和?vn都是正项级数。

n?1

??nn???A?0?un是vn的高阶无穷小?un?vn??v收敛??un?1??nn?1收敛，?un发散?n?1?vn?1n发散。?A?0?un是vn的同阶无穷小?un?kvn??A???vn是un的高阶无穷小?vn?un??un?1?和?vn敛散性一致。n?1??nn?n

发散。?un?1n收敛??v发散??u?v收敛，n?1n?1n?1●三个常用于比较判敛的参考级数：

?a,收敛，r?1?na)等比级数：?ar??1?rn?0?发散，r?1???b)P级数：?n?1?1np?收敛，p?1???发散，p?11c)对数级数：?n?2??收敛，p?1??pnlnn?发散，p?1?1lnn!?1n例如，级数?n?21lnn!?1nlnn??lnii?1，故?n?21lnn!发散。

●斯特定公式：

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2023智轩考研数学其次基础导学桥系列高等数学n!?n??n?n?12n2?n????e,0??n?1?e?n?????lnn!?n(lnn?1)?nlimn!ennnn???limnen?n2?n?e?ennn12nn???limn??2?n???

●常用收敛快慢

正整数lnn?n?(??0)?an(a?1)?n!?nn由慢到快连续型lnx?x?(??0)?ax(a?1)?xx由慢到快例如根据上面的规律可以快速判断limn??annn?0等等。

4．积分判敛法若f?x??0，在?1,???上单调递减，则?f?n?与反常积分?1n?1???f?x?dx同敛散。

5．对数判敛法ln1an?lnn1an?若

lnn?1???an?0,??0???a收敛。

n?1lnn?1?an?0???a发散。

nn?1ln1an??lnxlnnlnn??lnx??lnx?1?当x?e时，原级数收敛。

?1例如?a?an?nlnx?lnn?b??n?2?1lnlnn1an?lnn?lnlnnlnn?lnlnn?1，原级数收敛。

?lnn??lnn陈氏第17技大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判敛。