2023年高考数学一轮复习第八章立体几何82空间几何体的VIP

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第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积理

1．多面体的表面积、侧面积

由于多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称几何体柱体(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)球

1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论

表面积S圆锥侧＝πrlS圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l体积S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh13S表面积＝S侧＋S底13V＝ShV＝(S上＋S下＋S上S下)hS表面积＝S侧＋S上＋S下S＝4πR2V＝πR343「优质」资料推荐下载1

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(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c.(3)正周边体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)(3)球的体积之比等于半径比的平方．(×)

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(√)(5)长方体既有外接球又有内切球．(×)

(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)

2

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1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12πcm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmC．3cm答案B

解析S表＝πr＋πrl＝πr＋πr·2r＝3πr＝12π，∴r＝4，∴r＝2cm.

2．某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则此几何体的表面积是()

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B．2cm3

D.cm2

A．90cmC．132cm答案D

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B．129cmD．138cm

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解析该几何体如下图，长方体的长，宽，高分别为6cm,4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm，5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]12

＋(5×3＋4×3＋2××4×3)＝99＋39＝138(cm)．

2

3．(2023·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A．12πC．8π答案A

解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR＝(2R)π＝12π，应选A.

14．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛(1丈＝10

3尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈3尺C．9丈2尺答案B

解析设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πrh＝2000×1.62≈3×r×13.33，所以r≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，应选B.

5．(2023·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．

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2

2

2

2

32B.π3D．4π

B．5丈4尺D．48丈6尺

答案1∶1

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解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥＝×π×238141683

＝π，V半球＝×π×2＝π，所以V剩余＝V半球－V圆锥＝π，故剩余部分与挖去部分的体32333

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积之比为1∶1.

题型一求空间几何体的表面积

例1(1)(2023·淮北月考)一个多面体的三视图如下图，则该多面体的表面积为()

A．21＋3C．21

B．18＋3D．18

(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案(1)A(2)12

解析(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如下图，因此该几何体的表面积为132

6×(4－)＋2××(2)＝21＋3.应选A.

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(2)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.11

由题意，得×6××2×3×h＝23，

32∴h＝1，∴斜高h′＝1＋

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3

2

＝2，

1

∴S侧＝6××2×2＝12.

2

思维升华空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位

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置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(2023·大连模拟)如下图的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为

________．

答案26

解析该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱12

＋S＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×1－2×1＋×2π×1＝26.轴截面半圆柱侧

2题型二求空间几何体的体积

命题点1求以三视图为背景的几何体的体积

例2(2023·山东)一个由