2023年南昌一中南昌十中第四次联考

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2023年南昌一中、南昌十中第四次联考

数学试卷（理）命题人：吴建民审题人:梁伟

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上1．设i是虚数单位，复数

A．?12

1?ai为纯虚数，则实数a为（）2?i1B。?2C。D。2

2式

为

2．函数y?Asin(?x??)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析

()

A．y?2sin(2x?C．y?2sin(?2??)B．y?2sin(2x?)33

x??)D．y?2sin(2x?)2333．已知直线a和平面?,?，????l，a??，a??，且a在?,?内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是()

A．相交或平行B。相交或异面C。平行或异面D。相交﹑平行或异面

????11????1????????4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP?(OA?OB?2OC)，

322则点P一定为三角形的（）

A．AB边中线的中点B。AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D。AB边的中点5．以下各命题中正确的命题是（）

①命题“p或q〞为真命题，则命题“p〞和命题“q〞均为真命题；

2②命题“?x0?R,x0；?1?3x0〞的否定是“?x?R,x?1?3x〞

2③“函数f(x)?cosax?sinax的最小正周期为?错误！未找到引用源。〞是“a?1〞的必要不充分条件；

22????④“平面向量a与b的夹角是钝角〞的充分必要条件是“a?b?0〞。

A．②③

B．①②③C．①②④

D．③④

6．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD?平面CBD，形成三棱锥C?ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）

A．

2211B。C。D。

2424234xxxx2x3x4x2023x20237．已知函数f(x)?1?x?，g(x)?1?x?????????????2342023202323420232023xx，若函数f(x)有唯一零点x1，函数g(x)有唯一零点x2，则有（）??20232023A．x1?(0,1),x2?(1,2)B。x1?(?1,0),x2?(1,2)

C．x1?(0,1),x2?(0,1)

D。x1?(?1,0),x2?(0,1)

8．已知定义在R上的函数y?f(x)满足以下三个条件：①对任意的x?R都有f(x?2)??f(x)，②对于任意的

0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2)，

③y?f(x?2)的图象关于y轴对称，则以下结论中，正确的是()

B．f(4.5)?f(7)?f(6.5)

A．f(4.5)?f(6.5)?f(7)

C．f(7)?f(4.5)?f(6.5)D．f(7)?f(6.5)?f(4.5)9．已知an?()n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状，

13

记A(m,n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)?（）

A．()93B。()92C。()94D。()112

13131313

10．取棱长为a的正方体的一个顶点，过此后顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a2；⑤体积为

A．①②⑤C．②④⑤

53a。以上结论正确的是()6

B．①②③D．②③④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。

11．已知集合A?{a1,a2,a3,?,an}，记和ai?aj(1?i?j?n)中所的个数为M(A)．如当A?{1,2,3,4}时，由1?2?3，1?3?4，

有不同值

1?4?2?3?5，2?4?6，3?4?7，得M(A)?5．对于集合B?{b1,b2,b3,?,bn}，若实数b1,b2,b3,?,bn成等差数列，则

M(B)?________________

12．某程序的框图如下图，若执行该程序，则输出的值为

13．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于____________________。14．底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为．15．已知正实数x,y，记m为x和

y中较小者，则m的最大值为__________。22x?y三、解答题：共6小题，共75分。解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题总分值12分）

已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值．62

17.（本小题总分值12分）

?????已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c，设向量m?(a,b),n?(sinB,sinA),p?(b?2,a?2)

???（Ⅰ）若m∥n，求证：?ABC为等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，C?，求?ABC的面积.

3

18.（本小题总分值12分）已知p:f(x)?

1?x,且|f(a)|?2；3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.

19．（本小题总分值12分）在如下图的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，实；

B（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；（3）求点G到平面BCE的距离．

AGE并证明这一事

DC

20、（本小题总分值13分）若由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n?N*均有bn?1?bn,其中bn?an?1?an，则称数列{an}为“Z数列〞。

（I）在数列{an}中，已知an??n2，试判断数列{an}是否为“Z数列〞；（II）若数列{an}是“Z数列〞，a1?0,bn??n,求an;

（III）若数列{an}是“Z数列〞，设s,t,m?N,且s?t,求证at?m?as?m?at?as.

21、（本小题总分值14分）已知函数f(x)?x?ax(a?0)，g(x)?lnx，f(x)图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g(x?1)与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行.（1）求f(2)的值；

（2）已知实数t∈R，求u?xlnx,x??1,e?的取值范围及函数y?f[xg(x)+t],x??1,e?的最小值；

（3）令F(x)?g(x)?g'(x)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2，对于两个大于1的正数?,?，存在实数m满足：

2*

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，并且使得不等式|F(?)?F(?)|?|F(x1)?F(x2)|恒成立，求实数

m的取值范围.

2023年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（理）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1D

2A

3D

4B

5A

6D

7B

8B

9A

10A

10.解析由题意可知，正方体的12条棱的中点均为此多面体的顶点，故共有12个顶点，而正方体的每个面上的四条棱的中点连成的小正方形的四条边均是此多面体的棱，故共有24条棱，作图易知共有14个面，表面积为(3＋3)a2，

11?1?353

a＝a.体积为a3－8×××

32?2?6

答案A

二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分）

11.2n-3;

12.7;解析此题主要考察程序框图计算问题.当i?1,s?1；

i?2,s?1?2?3；i?3,s?3?4?7；i?4,s?7?8?15；i?5,s?15?16?31；i?6,s?31?32?63；

i?7,s?63?64?127?100；所以最终输出值为7

13.1/3;

14.4215.23;

2三、解答题：解允许写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16.（本小题总分值12分）

已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[?。

??,]上的最大值和最小值．62解：（Ⅰ）?f(x)?sinxcosx?3cos2x

?13?2sinxcosx?(cos2x?1)22133sin2x?cos2x?222??sin(2x??3)?322???．…6分2???4?（Ⅱ）∵??x?，0?2x??，

6233∴函数f(x)的最小正周期T?∴?3??sin(2x?)?1,…9分23∴0?sin(2x??3)?332?3?1??,2222?3，最小值为0．……………12分2∴f(x)在区间[???,]上的最大值为62

17.（本小题总分值12分）

?????已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c，设向量m?(a,b),n?(sinB,sinA),p?(b?2,a?2)

???（Ⅰ）若m∥n，求证：?ABC为等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，C?，求?ABC的面积.

3???证明：(Ⅰ)∵m∥n，∴asinA?bsinB，由正弦定理可知，

ab，其中R是?ABC外接圆的半径，?b?2R2R∴a?b.

因此，?ABC为等腰三角形.…6分a?

????（Ⅱ）由题意可知，m?p?0，即a(b?2)?b(a?2)?0,?a?b?ab.

由余弦定理可知，4?a?b?ab?(a?b)?3ab,即(ab)?3ab?4?0

2222?ab?4，(ab?1舍去)

11?∴S?absinC??4?sin?3.…12分

223

18．（本小题总分值12分）已知p:f(x)?

1?x,且|f(a)|?2；3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.解答：若|f(a)|?|1?a|?2成立，则?6?1?a?6，3即当?5?a?7时p是真命题；????????4分若A??，则方程x?(a?2)x?1?0有实数根，

2

由??(a?2)?4?0，解得a??4，或a?0，

即当a??4，或a?0时q是真命题；????????8分由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，

故知所求a的取值范围是(??,?5]?(?4,0)?[7,??)．????????12分

219．（本小题总分值12分）在如下图的多面体ABCDE

ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，点．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有

ACD，并证明这一事实；（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的（3）求点G到平面BCE的距离．解法一：以D点为原点建立如下图的空间直角

轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,1)，C(1,3,0)，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为

∴???BF??(?332,2,0)，

显然???BF?与平面xOy平行，此即证得BF∥平面

ACD；????????4分

（2）设平面BCE的法向量为?n?(x,y,z)，

则?n????CB?，且?n????CE?，

由???CB??(1,?3,1)，???CE??(?1,?3,2)，

EBAGDCzEBFxAGDCy中，AB⊥平面AB=1，G为AD中直线BF∥平面大小；

坐标系，使得x的坐标为

F(132,2,1)，

???x?1?x?3y?z?0∴?，不妨设y?3，则?，即n?(1,3,2)，

?z?2???x?3y?2z?0?n?(0,0,1)2??∴所求角?满足cos??，∴??；????????8分?42|n|????（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴BG?(?1,0,?1)，?由（2）平面BCE的法向量为n?(1,3,2)，

?????BG?n3?|?∴所求距离d?|2．????????12分

4|n|解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

//1ED，∴FH?//AB，连接FH，则FH?2∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH，由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，?BF//平面ACD；?????4分（2）由已知条件可知?ACD即为?BCE在平面ACD上的射影，

设所求的二面角的大小为?，则cos?????????2分

S?ACD，????????6分S?BCEE

易求得BC=BE?5，CE?22，∴S?BCE?

1CE|CE|?BE2?()2?6，223|AC|2?3，4B

而S?ACD?AGCD

∴cos??∴??S?ACD2?，而0???，?2S?BCE2

?4；??????8分

（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，由ED?平面ACD，∴平面ABED?平面ACD，又CG?AD，∴CG?平面ABED，

设G点到平面BCE的距离为h，则VC?BGE?VG?BCE即S?BGE?GC?由S?BGE?131S?BCE?h，33，S?BCE?6，CG?3，2

3S?BGE?GC233∴h???2即为点G到平面BCE的距离．??????12分

S?BCE4620、（本小题总分值13分）若由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的n?N*均有bn?1?bn,其中bn?an?1?an，则称数列{an}为“Z数列〞。

（I）在数列{an}中，已知an??n2，试判断数列{an}是否为“Z数列〞；（II）若数列{an}是“Z数列〞，a1?0,bn??n,求an;*

（III）若数列{an}是“Z数列〞，设s,t,m?N,且s?t,求证at?m?as?m?at?as.解：（I）由于an??n2,

所以bn?an?1?an??(n?1)2?n2??2n?1,n?N*,所以bn?1?bn??2(n?1)?1?2n?1??2,所以bn?1?bn,数列{an}是“Z数列〞。（II）由于bn??n,

??????4分

??????2分

所以a2?a1?b1??1,a3?a2?b2??2,?,an?an?1?bn?1??(n?1),所以an?a1??1?2???(n?1)

(n?1)n(n?2)，2(n?1)n所以an??(n?2)，

2(n?1)n又a1?0,所以an??(n?N*).

2????????6分

??????8分

（III）由于as?m?as?(as?m?as?m?1)???(as?1?as)?bs?m?1???bs，

al?m?al?(al?m?al?m?1)???(al?1?al)?bl?m?1???bl,

又s,l,m?N*,且s?t,所以s?i?t?i,bs?i?bl?i，所以bs?m?1?bl?m?1,bs?m?2?bl?m?2,?,bs?bt,所以al?m?al?as?m?as,即al?m?as?m?al?as.

2??????10分

??????12分??????13分

21.（本小题总分值14分）已知函数f(x)?x?ax(a?0)，g(x)?lnx，f(x)图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g(x?1)与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行.（1）求f(2)的值；

（2）已知实数t∈R，求u?xlnx,x??1,e?的取值范围及函数y?f[xg(x)+t],x??1,e?的最小值；

（3）令F(x)?g(x)?g'(x)，给定x1,x2?(1,??),x1?x2，对于两个大于1的正数?,?，存在实数m满足：

??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，并且使得不等式|F(?)?F(?)|?|F(x1)?F(x2)|恒成立，求实数m的取值范围.

解.（1）y?f(x)图象与x轴异于原点的交点M(a,0)，f'(x)?2x?a

y?g(x?1)?ln(x?1)图象与x轴的交点N(2,0)，g'(x?1)?1x?1由题意可得kl1?kl2，即a?1，????????2分∴f(x)?x?x,，f(2)?2?2?2???????3分（2）y?f[xg(x)+t]?[xlnx+t]?(xlnx+t)=(xlnx)?(2t?1)(xlnx)?t?t?4分令u?xlnx，在x??1,e?时，u'?lnx?1?0，

∴u?xlnx在?1,e?单调递增，0?u?e,