2023西南交通大学数学建模校赛C题

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西南交通大学2023年大学生数学建模竞赛

题目：B姓名学号学院专业电话

参赛队员1刘童超20235728数学学院统赛队员2王枝20234702信息学院计赛队员3李若晗20234693信息学院计mail1223955681@.com237688468@.com313033320@.com西南交通大学教务处

西南交通大学试验室及设备管理处西南交通大学数学建模创新实践基地

景区灭火的数学模型

本文采用网格划分的方法，将连续性问题离散化，建立了图论及其相关模型。同时运用MATLAB的图形处理能力进行了三维制图及一维二维插值，运用C++进行了Dijsktra等算法的编程计算，进而合理的解决了问题。

第一问中，考虑到等高线的缺失是由于“破损〞，我们舍弃了曲线模拟，而采用了一维插值的方法，并用MATLAB给出了插值曲线，并直观的将曲线拟合至原等高线，发现其效果良好。对于插值结果与直观观测的差异，我们给出了误差分析，并解释了原因。

其次问中，在已知等高线高度的状况下，我们采用了二维插值的方法，并利用MATLAB软件画出了三维地形图，将景区外貌直观的浮现了出来，在计算地表面积时，我们采用了划分网格、近似求值的方法，利用MATLAB所给出的网格平面与水平面的夹角，估算出了地表面积，约为26.6Km，对于其误差，我们也进一步给出了分析。

第三问中，我们利用其次问中所求出的高度矩阵，用网格中心点代替此网格，给出了任意两点的空间距离，即任意两点的权重，从而建立了一个图论模型，对于该无向图，我们采用Dijkstra算法利用C++，确定出了最正确路线，并运用MATLAB作图直观的将路线做了出来，并估算出最优路线的空间距离长度约为4567m。

第四问中，我们将着火点简化为几个最有可能发生火灾并且救援不便利的点，建立了一个目标规划的模型，然后在一定范围内，对消防点进行了假设，利用第三问的C++程序求出了到着火点的最长时间，移动消防点求出了最优消防站的地址。计算得出结论：在给定的坐标系下，最优消防站点的位置位于点（28，25）。

：网格离散化大型稀疏阵三次样条插值最短路线MATLABC++

2一、问题的提出

某国家级森林公园的地形等高图如图1所示。由于该风景区植被丰富，拥有大量的国家级重点保护动植物，因此旅游管理部门在图1的A点设置了景区消防站，当景区发生火灾时能及时控制和消灭火情。

图1说明：该图水平及竖直方向以10m为单位，山高以50m为单位。

请你利用所学数学知识回复以下问题：

1、由于人为原因，图1所示的等高图出现了局部破损的状况，请利用数学模型修补好该地图；

2、在完成第一问的基础上，结合数学模型建立该景区的三维地形图，并估计该景区的地表面积；

3、某天图1所示的B点发生了火灾，于是需要从景区消防站派遣消防员去B点灭火，建立模型确定最正确灭火路线。

4、假使需要对景区消防站进行重新选址，请建立模型确定合理的消防站地址。

二、模型假设

1.该公园的俯视图是一个5120m?5120m的正方形（一个像素单位为10m），相邻两等高线的高程差为50m；

2.由于该公园植被丰富，故假设消防员步行灭火；3.消防员在前往灭火地点的过程中速度均匀；

4.山体表面为连续可导的光滑曲面，其等高线之间的山体均匀线性变化；5.每一网格的山体近似看做平面；6.消防员的路线近似沿网格正交方向。

三、符号说明

1.i,j——第个i(j)网格，即其编号方式为先行后列，其具体编号过程见5.3.22.S——表示整个景区的表面积；3.Si——表示第i个网格的面积；

4.Qi——表示第i个网格与水平面的夹角；5.Bij——表示i点到j点的权值。

四、问题分析

第一问中，需要修补该地形图缺失的等高线，主要有两种方法:一是平面插值，二是曲线拟合。由于曲线拟合的原则是使各点距拟合曲线的距离平方和最小，故拟合曲线基本不过已知点。而考虑到题目所给前提为“等高图破损〞，故等高线需过已知点，因此我们选用平面插值方法。插值方法有好多种，譬如拉格朗日插值，艾米尔特插值，三次样条插值等，我们可以根据各自优劣来选择其插值方式，进而利用MATLAB软件编程计算，绘制出等高线。

其次问中，需要画出景区的三维地形图，经过分析，可以利用MATLAB强大的数据处理功能对问题进行求解。对于未知坐标点的高程，可以用MATLAB进行二维插值，从而绘制出地形图。在需要计算地表面积的时候，可以根据假设5的平面假设，利用分块求和的方法，计算出地表面积。

第三问中，需要寻觅最正确路线，使消防员由消防站A赶到火灾点B的时间最短，即在假设3的速度均匀的条件下，求一条最短时间的路线。可以将最短时间问题简化为最短路径的问题。而对于每两个已经简化的点，由C++编程可以算出其路径，然后根据Dijkstra算法，可以求出其最短路径，即最正确灭火路线。为了将直观将结果浮现出来，我们可以做出它的路径图。

第四问中，需要选择合理的消防站地址，这是图论中的选址问题，目标是该消防站到最远处的景区着火点时间最短，为了避免繁琐的运算，我们可以将着火点选取在几个最不利的位置，将消防站选取在尽量“中心〞的位置，运用C++编程对之进行遍历,进而求出最正确消防站地址。

五、模型的建立及求解

5.1地图修补模型的建立及求解

由问题分析可知，我们在等高线的修补过程中宜采用插值法而不是曲线拟合，而对于插值法则有拉格朗日插值、艾米尔特插值、三次样条插值、线性插值等，下面我们将对几种主要的插值方法进行比较。5.1.1不同插值方法的比较

a.拉格朗日插值

拉格朗日插值是将已知的n个点用n-1次多项式进行插值，其优点是在整个区间，

只需要一个简单多项式函数去拟合，但其缺点也显而易见，即在已知点过多的状况下，反而易出现龙格现象——即在一些点不收敛于原函数。

b.线性插值

线性插值是将相邻的两个插值点之间用直线相连，这样的整个区间上的插值函数是一个分段函数。其优点是在单个区间上的函数简单，而缺点不能保证在整个函数区间中都可导，这样的插值方法与假设3中的可导性假设相矛盾，故在此不适用。

c三次样条插值

三次样条插值函数在各个区间中均是三次函数，并且在各个点中均连续可导，这样良好的性质在物理等领域中有着广泛的用途，鉴于此，我们在等高线的修补一问中选择这种方法。

5.1.2插值模型的建立与求解

如图1建立坐标系，并通过比例尺量取所需要的点的坐标。

图1由于在进行插值运算时，选取的点个数太多会造成方程繁杂并且误差过大，而选取点的个数太少会又造成信息量不足而不够确切，故经过分析比较，我们选取4-6个已知点作为插值点，具体选取点如下：

等高线1等高线2等高线3等高线4等高线5等高线6（12，37）(22,33)(15,43)(17,37)(17,41)(19,40)（13,36）(24,33)(16,38)(19,36)(18,38)(20,38)(15,35)(26,33)(17,36)(24,35)_(20,37)(22,37)(18,33)(28,33)(19,35)(26,35)(22,36)(24,36.5)(19,32)(21,34)(24,35.5)(26,36.5)(20,32)(23,34)(26,35.5)(22,31)表1各等高线的插值点的选取（单位：百米）

1403,1404,1405,1454,1455,1456,1505,1506,1507};

intdst[5]={1285,1625,2119,587,1316};

intmain(){

freopen(\

N=2601;//顶点个数init();//图的初始化过程do