二次根式全章导学案剖析

二次根式的有关公式难点【学习目标】用a(a≥0)的意义解答具体题目.2、理解a(a≥0)是一个非负数和(a)2=a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简.aa次根式二次根式的有关概念代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式的双重非负性②a本身非负，即a≥0二次根式的性质 (a远，从而能收到电远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高hkm，电视节目信号的传播一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．9二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，等也都是二次根式.428数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：2与5相乘，要写成5的形式，此时的有33理数称为二次根式的系数.2x+1来说，只有当〈即-1有意义，又要保证分母不为零.3由算术平方根的定义可知a≥0，如3，等都是非负数.2aaaaaa根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有(a)2=a，例如：(3)2=3，(6)2=6，(1.5)2=1.5.拓展(1)(a)2=a(a≥0)，可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.(2)把(a)2=a(a≥0)逆用，写成a=(a)2(a≥0).即任何一个非负数都可以写成它(3)有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用.比如：(32)2=32(32)2=32×(2)2=9×2=18.(6)2=()2×(6)2=×6=等，则用到了积的乘方法则224222bab2aa了保证的化简结果非负，所以在化简结果(5)2=52=5.如果a2中a的符号(|a(a>0),不确定，那么要讨论.即a2=a=〈| (a)2与a2的区别与联系，如下表所示：22(a(a0),可以是零.a2=a=〈a(a<0).例如当(3)2=3=3a2=a表示a的平方的算术平方根.例a2=a，其结果有两种形式，与a的取(a)2是一个非负数，且(a)2=a.例如：义(a)2=a(a≥0)表示a的算术平算术平方根的平方，结果等于5(a)2=a(a≥0)，其结果只有一种形式，就是非负数a本身x2+137x2+137((a)2=a(a≥0)是一个非负数a2=a≥0是一个非负数用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来，，t拓展代数式中不含有“＝”“＞”“＜”等符号，只有运算符号.(1)3；(2)(3)2；(3)(3)3；(4)；(5)x；(6)44；2a21；(8)；(3)()(3)()4x 11x2x232x(7(7)(8)2a+4、(1)三角形的高是底的4、(1)三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是2(2)第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是(设第一个15、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值+a11+a22,其中a=.a2549a49aaaaa55aaaa5谁的做法是正确的？说明理由.1、若代数式有意义，则x的取值范围是()1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数.解：(1)∵-3＜0，∴3不是二次根式.(2)∵(-3)2＞0，∴(3)2是二次根式.=-27＜0，∴(3)3不是二次根式.(4)∵37的根指数3，∴37不是二次根式.(5)由于x中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.∴x不一定是二次根式.(6)∵44的根指是4，∴44不是二次根式.∴不一定是二次根式.(x+3)2解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.x≥.x≥.∴当x≤0，且x≠-2时，2x+x有意义.x+212 (4)欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜23x3.2∴当x＜时，31有意义.2x+4∴当x≥-2，且x≠2时，有意义.x2有意义，则必有〈，：x≥.x∴当x≥3时，有意义.x231-2x2x-1【解题策略】本例中的(2)及(4)~(8)小题应充分考虑到分母不能为零的情况，(6)11x≥3即可.(7)小题中，由1-2x≥0，得x≤，由x-1≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围2211内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可.223、分析本题考查二次根式的性质，利用公式a2=a将形如a2的式子化简.x4、分析由面积公式或周长公式写出代数式即可.(1)底为xcm，则高为cm，所以三角2形的面积为1··xx=x2(cm2).(2)因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为r，所以2244这两个圆的周长之和为2"r+2"r=5"r.42答案：(1)x2x4 (2)"r2115aaaa=-a.aaa∵1+a22=(1a)21a，且a=1，即1.a2aa5aaaaaa难点【学习目标】【重点难点】最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式二次根式的乘除法法则二次根式的乘除法法则二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式乘除法法则的逆用二次根式乘除法法则的逆用AB136,设这个直角三角形2136(3)由(3)由a.b=，得ab=a.b(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于积中各因式的算进而将二次根式化简.例如24=46=26,x+x+x=x(x+1)2=(x+1)x(x≥0).ab6写成==13623417.两个二次根式相乘，两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即拓展(1)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.(2)二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.)是完全平方数(式)，则可以利用性质ab=a.b(a≥0,b≥0)及a2=a(a≥0)将这些因数(式)(4)如果没有特别说明，本章中所有字母都为正＝＝b=3.=2=3.=228421==4=2.(2)当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次 (3)由＝a( (3)由＝a(a≥b＞)得a=a(a≥b＞).可以用语言叙述为：商的算术平方根bbb22/21022233/33aab中：(1)中：(1)a必须是非负数，b必须是正数；(2)如果被开方数是带分数，应=b13=3413=3444(4)二次根式的除法运算结果要化到最简. 得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是 10a拓展(1)判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和(或差)的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积(或一个数)的形式，则为最简二次根式.比如：因为32+42=52所以32+42不是最简二次根式.因为2x2+2y2=2(x2+y2)，且因式2和(x2+y2)的指数都是1所以2x2+2y2是最简二次根式.而a2+b2中a2+b2无法变成一个数(或因式)，所以a2+b2是最简二次根式.术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.2xxx，.xx，.x3xx2、若(+3)(3)x3xx()A.x≥3B.x≥-3xx3、如果=成立，那么xx(题5、已知a=7，b=70，请用含a，b的代数式表示4.9从不同不的计算角度考虑，用两种1、(1)有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数?3A.B.C.+D.E.02问题的答案是(只需填字母)：；ab※如下：.x1x=x=x1x=x=2x,2x2x2x222最简二次根式的概念.解:22，8x2,9x2+16y2,x是最简二次根式.322=3311(a+b)2(ab)(a>b>0),x不是最简二次根式.3的因式.，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.角三角形中去分析.1所以h2=(428求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.49497777a4.9====70707070b.4907107707707b4.9======.【解题策略】1、分析本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案.解：(1)A，D，E.212+44112、分析本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4===故填12482.2.算.算二次根式的加减难点【学习目标】重点难点】运算积分别为25.12cm2，6.28cm2，求得它们的半径分别为和，当π取值分别为8和2，这实际上是求82，那么如何计算82呢？【解析】82=222=()2=2.22222212=23,18=32，它们的被开方数不同，所以12与18不是同类的二次根式.(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.全并同类二全并同类二次根式.类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数(有理数)的加减运算.拓展(1)二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式(或因数)，它包含前面的符号.(2)当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.(3)不是同类二次根式，千万不要合并.二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.下来，它们也是结果的一部分.√二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.√二次根式的加减步骤：(1)先将每一个二次根式都化为最简二次根式.(2)判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.(3)合并同类二次根式.例如：(1)50+32+18-28=52+42+32-42(2)27-23+45=33-23+35=3+35.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示：二次根式的乘除法二次根式的加减法数被开方数相乘除被开方数不变结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并同类二次根式方法则的综合应用.(1)二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的(或者先去括号).(2)乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.(3)二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.拓展在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.aa53，，a3b2、下列二次根式中，能够与8合并的是()A.B.C.49D.5;abba1(a1)ba1(a1)4、满足不等式2(x_1)>52_18的最小整数解是()A.2B.3C.4D.5探探索创新题方法1：原式=a(a_b)=a_b=(a_b)(a_b)=(a_b)(a_b)aababababa_bab：原式===a_b.：原式===a_b.a(a+b)a+ba+b这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.babABCD.102、下列计算正确的是() (2)4 (2)41、分析要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断.a2ab1解：27=323=33.==2ab.127127a3131==3a.==3.5a5a25a3932a3a2.2aba13ab==2ab.b=b