小学数学校本教材

第一部分读一读第二部分算一算第三部分想一想第一讲中国古代数学家刘徽刘徽-简介刘徽九章算术刘徽〔生于公元250年左右〕,是中国数学史上一个非常伟大的数学家,在世界数学史上,也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产.《九章算术》约成书于东汉之初,共有246个问题的解法.在许多方面：如解联立方程,分数四则运算,正负数运算,几何图形的体积面积计算等,都属于世界先进之列,但因解法比较原始,缺乏必要的证明,而刘徽则对此均作了补充证明.在这些证明中,显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人,并用十进小数来表示无理数的立方根.在代数方面,他正确地提出了正负数的概念与其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面,提出了"割圆术",即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π≈3.14的结果.他用割圆术,从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆,依次得正12边形、正24边形……,割得越细,正多边形面积和圆面积之差越小,用他的原话说是"割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣."他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法,奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位.刘徽在数学上的贡献极多,在开方不尽的问题中提出"求徽数"的思想,这方法与后来求无理根的近似值的方法一致,它不仅是圆周率精确计算的必要条件,而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中,他创造了比直除法更简便的互乘相消法,与现今解法基本一致；-2-/40并在中国数学史上第一次提出了"不定方程问题"；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂〔面积〕；方程〔线性方程组〕；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提.他的大多数推理、证明都合乎逻辑,十分严谨,从而把《九章算术》与他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作,但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割术圆中提出的"割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与合圆体而无所失矣",这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中,刘徽精心选编了九个测量问题,这些题目的创造性、复杂性和富有代表性,都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷,方法灵活,既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下,但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人,而是学而不厌的伟人,他给我们中华民族留下了宝贵的财富.第二讲法国数学家勒内．笛卡尔勒内·笛卡尔-3-/40勒内·笛卡尔〔ReneDescartes,1596——1650〕,著名的法国哲学家、科学家和数学家.笛卡尔常作笛卡儿,1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩〕.他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.他还是西方现代哲学思想的奠基人,是近代唯物论的开拓者提出了"普遍怀疑"的主张.他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人,开拓了所谓"欧陆理性主义"哲学.人物简介笛卡尔出身于一个地位较低的贵族家庭,父亲是布列塔尼议会的议员.1岁多时母亲患肺结核去世,而他也受到传染多病.母亲去世后,父亲移居他乡并再婚,而把笛卡尔留给了他的外,自此父子很少见面,但是父亲一直提供金钱方面的帮助,使他能够受到良好的教育.,造成体弱祖母带大在他8岁时笛卡尔就进入拉夫赖士<LaFlèche>的耶稣英语会学校接受教育,受到良好的古典学以与数学训练.1613年到普瓦捷大学学习法律,1616年毕业.毕业后笛卡尔一直对职业选择不定,又决心游历欧洲各地,专心寻求"世界这本大书"中的智慧.因此他于-4-/401618年在荷兰入伍,随军远游.笛卡尔对数学的兴趣就是在荷兰当兵期间产生的.一次他看到军营公告栏上用佛莱芒语写的数学问题征答引起了兴趣,并且让一位他当兵的朋友,进行了翻译.他的这位朋友在数学和物理学方面有很高造诣,很快成为了他的老师.4个月后,他写信给这位朋友,"你是将我从冷漠中唤醒的人...",并且告诉他,自己在数学上有了4个重大发现.可惜的是这些发现现在已经无从知道了.26岁时,笛卡尔变卖掉父亲留下的资产,用4年时间游历欧洲,其中在意大利住了2年,随后定居巴黎.1621年笛卡尔退伍,并在1628年移居荷兰,在那里住了20多年.在此期间,笛卡尔专心致力于哲学研究,并逐渐形成自己的思想.他在荷兰发表了多部重要的文集,包括了《方法论》、《形而上学的沉思》<Méditationsmétaphysiques>和《哲学原理》<LesPrincipesdelaphilosophie>等.1649年笛卡尔受瑞典女王之邀来到斯德哥尔摩,但不幸在这片"熊、冰雪与岩石的土地"上得了肺炎,并在1650年2月去世.1663年他的著作在罗马和巴黎被列入禁书之列.1740年,巴黎才解除了禁令,那是为了对当时在法国流行起来的牛顿世界体系提供一个替代的东西.第三讲速算与巧算一、知识要点：〔一〕四则运算的定律、性质、法则是进行速算与巧算的重要依-5-/40据.1、利用运算定律使计算简便2、利用运算顺序的改变使计算简便3、利用运算法则使计算巧妙...〔二〕转化是速算与巧算的主要技巧.1、当一个数接近整十、整百、整千……的时候,将其转化为整十、,计算比较简便2、利用数的分解或拆数,转化后巧算3、改变计算方法〔变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘〕使整百、整千的数..计算简便.〔三〕认真观察算式与数的特征,剖析数于数之间的关系,是灵活的选择和合理运用计算技巧的主要方法.二、例题精讲例1：〔凑整法〕计算下面各题.〔1〕、5.8＋2.32＋0.68＋4.2〔2〕、1999＋199.9＋19.99＋1.999〔3〕、12.59－3.24－5.76〔4〕、8.1＋7.8＋8.2＋8.4＋7.9＋7.6[思路点拨]〔1〕5.8与4.2刚好凑成10,2.32与0.68刚好凑成3,这样凑整可以使计算简便.〔2〕1999接近2000,其余各加数也分别接近一个整数,可先把各-6-/40

加数看作与它接近的整数.再把多加的那部分减去.〔3〕3.24与5.76的和是整数12.59－〔3.24＋5.76〕,这样计算就简便了.〔4〕算式中的6个数都接近8,可以用8作为基准数,先求出6个8的和,再加上比8大的数中少加的部分,减去比8小的数中多加的.也可以运用凑整法.9,可以运用减法运算的性质把原式变为部分例2：〔分解法〕计算下面各题〔1〕18×5.5〔2〕8.88×1.25〔3〕34.7×0.25〔4〕238÷1.25〔5〕0.25×12.5×3.2[思路点拨]〔1〕运用分解法巧算.把18分解为9×2,然后运用乘法结合律,把2×5.5结合积为11,最后求出9与11的积.〔2〕把8.88分解为8×1.11,然后运用乘法结合律.〔3〕因为4×0.25=1,所以一个数乘0.25,就相当于这个数除以4.〔4〕因为8×1.25=10,所以一个数除以1.25,相当于这个数除以10,再乘8,即先把小数点向左移动一位,再乘8.〔5〕把3.2分解为4×0.8,再运用乘法结合律.例3：计算〔1〕124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68〔2〕5795.5795÷5.795×579.5[思路点拨]〔1〕可运用拆分法巧算.把每一个加数都拆分为一个整数和一个小数的和,可以使计算简便.-7-/40

〔2〕运用改变运算顺序法使计算简便.,先求出579.5除以5.795的商得100,然后再求出5795.5795×100的积.例4：计算下面各题.〔1〕1990×198.9－1989×198.8〔2〕2.25×0.16＋264×0.0225＋5.2×2.25＋0.225×20[思路点拨]〔1〕利用扩缩法巧算.根据积的变化规律：一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变的道理,可以把被减数写成199×1989,然后利用乘法分配律巧算.〔2〕同样利用扩缩法简便计算,注意选择最佳方案.例5：计算：〔1＋0.28＋0.84〕×〔0.28＋0.84＋0.66〕－〔1＋0.28＋0.84＋0.66〕×〔0.28＋0.84〕[思路点拨]可以利用设数法解题.整个式子是乘积之差的形式,两个乘积斗的构成很有规律：如果把1＋0.28＋0.84用字母A表示,把0.28＋0.84用字母B表示,原式就可以变成A×〔B＋0.66〕－〔A＋0.66〕×B.在运用乘法分配律使计算简便.例6：计算4.82×0.59＋0.41×1.59－0.323×5.9[思路点拨]先改变原运算顺序〔加法交换律〕,先求出4.82×0.59与0.323×5.9的差,可运用扩缩法把0.323×5.9写成3.23×5.9,后运用乘法分配律计算,然后再加上0.41×1.59,再次运用乘法分配律巧算.例7：计算654321×123456－654322×123455.-8-/40

[思路点拨]观察算式中数的特点,发现被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1,即654321比654322少1,123456比123455多1,可以利用乘法分配律简算.解：654321×123456－654322×123455=654321×〔123455＋1〕－〔654321＋1〕×123455=654321×123455＋654321－654321×123455－123455=654321－123455=530866例8：计算1998××[思路点拨]可以运用数的分解和乘法分配律简算.因为abab=ab×101,abcabc=abc×××100010001.这样被减数和减数都有相同因数100010001,就可以运用乘法分配律进行简算了.解：1998××=1998×1999×100010001－1999×1998×100010001=0例9：计算〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕[思路点拨]根据减法的性质,将原式拆开后,在配对组合,进行等量变形.即〔3－2〕为一组,〔5－4〕为一组…〔1999－1998〕为一组,这样每组的差都是1,共分为〔1998÷2〕组,所以结果为1000.当然本题也可以运用等差数列求和的方法进行计算.例10：计算100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1.-9-/40

[思路点拨]本题按顺序计算太繁,观察算式的特点,发现每两个数相加后,又会减去两个数,我们可以考虑把它们四个数分为一组,每组结果都是4,共分为100÷4=25组.所以结果是4×25=100.三、同步练习计算下面各题〔1〕0.125×0.25×32〔2〕16×4.5〔3〕0.25×1.25×22.4〔4〕0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999〔5〕〔72×357＋357×28〕÷〔51×7×4〕〔6〕98989898×99999999÷1010101÷11111111〔7〕3.14×6.5＋4.5×3.14－3.14〔8〕1240×3.8＋124×51＋1.24×1400＋760×9.6＋0.76×700〔9〕1÷〔2÷3〕÷〔3÷4〕÷〔4÷5〕÷…÷〔1999÷2000〕1－2＋3－4＋5－6＋…－98＋99－100＋100〔10〕〔2＋5＋8＋…＋2000〕－〔1＋4＋7＋…＋1999〕20112012×20122011－20112011×20122012〔11〕1＋2＋3＋4－5－6－7－8＋9＋10＋11＋12－13－14－15－16＋…＋1985＋1986＋1987＋1988－1989－1990－1991－1992＋1993＋1994第四讲平面图形的面积〔1〕一、例题精讲-10-/40例1已知平行四边形的面积是28平方厘米,求阴影部分的面积.5厘米4厘[思路点拨]米4厘米既是平行四边形的高,也是阴影三角形的高面积是28平方厘米〕,平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底,7-5=2〔厘米〕.根据三角形的面积公式直出阴影部分的面积.,平行四边形的,它的底为28÷4=7〔厘米接求的面积技巧最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积.这两种是最常用最简便的方法.二：同步精练1.下面的梯形中,阴影部分的面积是150平方厘米,求梯形的面积.15厘米25厘米2．已知平行四边形的面积是48平方厘米,求阴影部分的面积.5厘米63．如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形,需要用铁丝多厘米少厘米？〔单位：厘米〕912第五讲平面图形的面积〔2〕一、例题精讲-11-/40例2下图中甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积.〔单位：厘米〕AGC甲乙FB6E4[思路点拨]图中的阴影部分是一个三角形.所以,无法用公式计算出它的面积,我们可以发现,如果延长GA和FC,它们会相交〔设交点为H〕,这样就得到长方形GBFH〔如下图〕,它的面积很容易求而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分〔△AGB、△BFC与△AHC〕的面积都,它的三条边的长都不知道,三条边上的高也不知道.仔细观察本题的图,能直接求出.二、同步练习1、求下图中阴影部分的面积.〔单位：厘米〕43432、求下图中阴影部分的面积.〔单位：厘米〕8585-12-/40第六讲平面图形的面积〔3〕一、例题精讲例3如图所示：,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,求CE的长度.A4厘米D甲4厘米F乙EBC[思路点拨]题目中告诉我们,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,即甲-乙=6〔平方厘米〕,而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米,即：甲-乙=6〔平方厘米〕〔甲+四边形ABCF〕-〔乙+四边形ABCF〕=6〔平方厘米〕即：正方形ABCD-△ABE=6〔平方厘米〕这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积,再用三角形的面积乘以2再除以AB,就得到BE的长度,从而求出CE的长度.同步练习6平方厘米.1、四边形ABCD是一个长为10厘米,宽6厘米的长方形,三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米.求CF的长是多少厘米？-13-/40FEDACB2、正方形ABCD的边长是12厘米,已知DE是EC长度的2倍,求：〔1〕三角形DEF的面积.〔2〕CF的长.AD第七讲：逻辑推理〔1〕E一、知识要点FB四年级已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题.从广义C上说,任何一道数学题,任何一个思维过程,都需要逻辑分析、判断和推理.我们这里所说的逻辑问题,是指那些主要不是通过计算,而是通过逻辑分析、判断和推理,得出正确结论的问题.逻辑推理必须遵守四条基本规律：〔1〕同一律.在同一推理过程中,每个概念的含义,每个判断都应从始至终保持一致,不能改变.〔2〕矛盾律.在同一推理过程中,对同一对象的两个互相矛盾的判断,至少有一个是错误的.,"这个数大于8”和"这个数小于5”是两个互相矛盾的判断,其中至少有一个是错的,甚至两个都是错的.〔3〕排中律.在同一推理过程中,对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的,它们不能同时都错."这个数大于8”和"这-14-/40个数不大于8”是两个恰好相反的判断,其中必有一个是对的,一个是错的.〔4〕理由充足律.在一个推理过程中,要确认某一判断是对的或不对的,必须有充足的理由.我们在日常生活和学习中,在思考、分析问题时,都自觉或不自觉地使用着上面的规则,只是没有加以总结.例如假设法,根据假设推出与已知条件矛盾,从而否定假设,就是利用了矛盾律.在列表法中,对同一事件"√"与"×"只有一个成立,就是利用了排中律.二、例题精讲例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五〔英语、音乐、美术、体育六门课的教学,每人教两门.现知道：〔1〕英语老师和数学老师是2〕班的语文、数学、邻居；〔2〕王仁年纪最小；〔3〕张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；〔4〕体育老师比语文老师年龄大；〔5〕王仁、语文老师、音乐老师三人经常一请判断各人分别教的是哪两门课程.解：题中给出的已知条件较复杂,我们用列表法起做操.分析与求解.先设计出右图的表格,表内用"√"表示肯定,用"×"表示否定.因为题目说"每人教两门",所以每一横行都应有2个"√"；因为每门课只有一人教,所以每一竖列都只有1个"√",其余均为"×".-15-/40

由〔3〕知,张聪不是体育、数学老师；由〔5〕知,王仁不是语文、音乐老师；由〔2〕〔4〕知,王仁不是体育老师,推知陈来是体育老师.至此,得到左下表.由〔,体育老师与数学老师不是一个人,即陈来不是数学老3〕知师,推知王仁是数学老师；由〔.至此,得到右上表4〕知,体育老师陈来与语文老师不是一个人文老师,推知张聪是语文老师；由〔5〕知,语文老师张聪不是音乐老师,推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师,见下表1〕知,数学老师王仁不是英语老师,推知王仁是美术老师.由〔,即陈来不是语.所以,张聪教语文、英语,王仁教数学、美术,陈来教音乐、体育.以上推理过程中,除充分利用已知条件外,还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件,充分加以利用.另外,还充分利用了表格中每行只有两个"√",每列只有一个"√",其余都是"×"这个隐含条件.例1的推理方法是不断排斥不可能的情况,选取符合条件的结论,这种方法叫做排他法.例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,并分别一在小、二小、三小中的一所小学上学.现知道：〔1〕小明不一在小；〔2〕小芳不在二小；〔3〕爱好乒乓球的不在三小；〔4〕爱好游泳的一在小；-16-/40

〔5〕爱好游泳的不是小芳.问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解：这道题比例1复杂,因为要判断人、学校和爱好三个内容.与四年级第26讲例4类似,先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：因为各表中,每行每列只能有一个"√",所以表3可补全为表4.由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小芳不在一小小上学,爱好,爱好游泳.例1、例2用列表例4.例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事.天他们来到了"面两国",却忘记星期几.迎面见了"两.于是可将表1补全为表5.对照表5和表4,得到：小明在二打乒乓球；小芳在三小上学,爱好打羽毛球；小花在一小上学法求解.下面,我们用分析推理的方法解例3、有一了这一天是面国"里的牛头和马面.他们知道,牛头在星期一、二、三说假话,在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话,在星期一、二、三、日说真话.牛头巧,昨天也是我说假话的日子."请判断这一星期几.牛头、马面只有一个说真话,另一个说假话,所以这一天不是假话,与题意不符.说："昨天是我说假话的日子."马面说："真天是分析与解：因为星期日都说真话,其它时间总是星期日,否则星期六都说-17-/40

由题意知,这一天说真话的.推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子.因为星期二、三、五、六都不是说假话转换的日子,,前一天必说假话；这一天说假话的,前一天必说真话与说真话所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子,但不是马面由说假话变为说真话的日子,所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子,也是马面由说真话变为说假话的日子,所以这天是星期四.例4A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下.A："C,D两人中有人做了好事."B："C做了好事,我没做."C："A,D中只有一人做了好事."D："B说的是事实."最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入.到底是谁做了好事？分析与解：我们用假设法来解决.题目说四人中有两人说的是事实,另两人说的与事实有出入.注意,此处的"与事实有出入"表示不完全与事实相符,比如,当B,C都做了好事,或B,C都没做好事,或B做了好事而C没做好事时,B说的话都与事实有出入.因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正确,A与C错；要么B与D错,A与C正确.〔1〕假设B与D说的话-18-/40

正确.这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A说的话也正"两人说的是事实"相矛盾.所以假设不对.确,这与题目条件只有〔2〕假设A与C说的话正确.那么做好事的是A与C,或B与D,或C与D.若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也正确,与题意不符；若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,符合题意.综上所述,做好事的是B与D.三、同步练习1.A,B,C,D,E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题.今天他们又聚在了一起,回忆当时的情景.A说："我坐在B的旁边."B说："坐在我左边的不是C就是D."C说："我挨着D."D说："C坐在B的右边."实际上他们都记错了.你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？2.从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会.根据挑选规则,参展产品满足下列要求：〔1〕A,B两种产品中至少选一种；〔2〕A,D两种产品不能同时入选；〔3〕A,E,F三种产品中要选两种；〔4〕B,C两种产品都入选或都不能入选；〔5〕C,D两种产品中选一种；-19-/40

〔6〕若D种产品不入选,则E种也不能入选.问：哪几种产品被选中参展？3.三户人家每家有一个孩子,分别是小平〔女〕、小红〔女〕和小虎〔男〕,孩子的爸爸是老王、老张和老陈,妈妈是刘英、李玲和方丽.〔1〕老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；〔2〕老张的女儿不是小红；〔3〕老陈和方丽不是一家人.请你将三户人家区分开.4.甲、乙、丙三人,他们的籍贯分别是##、##、##,他们的职业分别是教师、工人、演员.已知：〔1〕甲不是##人,乙不是##人；〔2〕##人不是演员,##人是教师；〔3〕乙不是工人.求这三人各自的籍贯和职业.5.甲说："乙和丙都说谎."乙说："甲和丙都说谎."丙说："甲和乙都说谎."根据三人所说,你判断一下,下面的结论哪一个正确：〔1〕三人都说谎；〔2〕三人都不说谎；〔3〕三人中只有一人说谎；〔4〕三人中只有一人不说谎.-20-/40

6.五号楼住着四个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩也大4岁,求最大的男孩的岁数.第八讲逻辑问题〔2〕一、例题精讲例1老师拿来五顶帽子,两顶红的三顶白的.他让三个聪明的同学甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队,并闭上眼睛,然后分别给他们各戴上一顶帽子,同时把余下的帽子藏起来.当他们睁开眼后,乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色,而站在最前面的甲却根据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色.甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？分析与解：这是一个典型的逻辑推理问题.甲站在最前面,虽然看不见任何一顶帽子,他但可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子,因为一共只有两顶红帽子,那么丙就会判断出自己戴的是白帽子.丙判断不出自己戴的帽子的颜色,说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红.甲接着想：乙也很聪明,当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色时,他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红.此时,如果他看到我戴是红帽子,那么他的是白帽子时,他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色.所以,我戴的一定是白帽子.例1中,甲的分析非常精采,严密而无懈可击.就会知道自己戴的是白帽子,只有我戴-21-/40

例2三个盒子各装两个球,分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个白球.封装后,发现三个盒子的标签全部贴错.如果只允许打开一个盒子,拿出其中一个球看,那么能把标签全部纠正过来吗？分析与解：因为"三个盒子的标签全部贴错"了,贴错的情况见下图〔○表示白球,●表示黑球〕:如果从标签是两黑的盒子中拿一个球,那么最不利的情况是拿出一个白球,此时无法判定是实际情况1,还是实际情况2,也就无法把标签全部纠正过来；同理,从标签是两白的盒子中拿一个球,若拿的是黑球,则也无法把标签全部纠正过来；从标签是一黑一白的盒子中拿出一个球,若拿出的是黑球,则能确定出是实际情况1,若拿出的是白球,则能确定出是实际情况2,因此能把标签全部纠正过来.所以,只要从标签是一黑一白的盒子中拿一个球,就能纠正全部标签.例3A,B,C三名同学参加了一次标准化考试,试题共10道,都是正误题,每道题10分,满分为100分.正确画"√",错误画"×".他们的答卷如下表：考试成绩公布后,三人都得70分.请你给出各题的正确答案.分析与解：我们先分析一下三人的得分情况.因为三人都得70分,所以每人都错了3道题.A,B的答卷发现,他们有6道题的答案不一样,说明这6道题A,B两人各错3道,也就是说,A,B答案相同的题-22-/40

都对了,因此找到了第1,3,4,10题的正确答案.同理,A,C的答卷也有6道题的答案不一样,因此找到了第3,6,8,9题的正确答案；同理B,C的答卷也有6道题的答案不一样,因此找到了第2,3,5,7题的正确答案.各题的正确答案如下表：例4A,B,C,D,E五位选手进行乒乓球循环赛,每两人都只赛一盘.规定胜者得2分,负者不得分.现在知道的比赛结果是：A与B并列第一名〔有两个并列第一名,就不再设第二名,下一个名次规定为第三名〕,D比C的名次高,每个人都至少胜了一盘.试求每人的得分.分析与解：因为乒乓球比赛没有平局,所以求胜的盘数与得分是一回事,胜的盘数乘以2就是得分.五人进行循环赛,共需赛10盘,总得分是2×10=20〔分〕.因为每人都赛4盘,所以第一名最多胜4盘,但因为A,B并列第一,A,B不可能都胜4盘,所以A,B最多各胜3盘.如果A,B没有各胜3盘,而是各胜2盘,那么剩下的10-2×2=6〔盘〕的胜利者只会是C,D,E,根据抽屉原理,C,D,E三人中至少有1人胜了至少2盘,与第一名胜2盘矛盾.所以,A,B各胜3盘,各得6分.还有4盘,已知D比C名次高,每个人都至少胜一盘,只能是D胜2盘得4分,C,E各胜一盘,各得2分.注意：题目中"每个人都至少胜一盘"是制约结果的重要条件,如果没有这个条件,那么该题的结果就有两种可能：一是A,B各胜3盘,各得6分,D胜2盘得4分,C,E各胜1盘,各得2分；二是A,B各胜3盘,各得6分,D,E各胜2盘各得4分,C胜0盘,得0分.-23-/40

二、同步练习1.有个老汉想考考他的四个聪明的儿子,他拿出六顶帽子,三顶红的、两顶蓝的和一顶黄的.然后,让四个儿子按大的在前小的在后的顺序排成一路纵队,并让他们闭上眼睛.接着,给他们每人戴上一顶帽子,藏起其余两顶.当他们睁开眼睛后,每个人都只能看见前边人的帽子.这时,老汉依次问小儿子、三儿子和二儿子,"你戴的帽子是什么颜色？"他们都回答"不知道".最后,老汉又问大儿子.大儿子想了一会儿,正确地说出了自己戴的帽子的颜色.问：大儿子戴的帽子是什么颜色？他是如何判断的？2.五年级有四个班,每个班有两名班长,每次召开年级班长会议时各班参加一名班长.参加第一次会议的是A,B,C,D,参加第二次会议的是E,B,F,D,参加第三次会议的是A,E,B,G.已知H三次会都没参加,请问每个班各是哪两位班长？3.甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上,座号是1号至4号.一个专说谎话的人说："乙坐在丙的旁边,甲坐在乙和丙的中间,乙的座位不是3号."问：坐在2号座位上的是谁？4.李大娘问三位青年人的年龄.小张说："我22岁.比小吴小2岁.比小徐大1岁."小吴说："我不是年龄最小的.小徐和我差3岁.小徐25岁."小徐说："我比小张年龄小.小张23岁.小吴比小张大3岁."这三位青年人爱开玩笑,每人讲的三句话中,都有一句是错的.李大娘难辩真真假假,请你帮助李大娘弄清这三人的年龄.-24-/40

5.A,B,C三支足球队举行循环比赛〔每队之间赛一场〕,下面是记有详细比赛情况的表.但后来发现表中有四个数是错误的.请按规定重制一张正确的表格.〔胜一场记2分,负一场记0分,平一场双方各记1分.〕6.某次数学测验,共有六道试题,均是是非题.正确的画"√",错误的画"×".每题答对得2分,不答得1分,答错得0分.甲、乙、丙、丁的答案与前三人的得分如下表,求丁得了多少分.第九讲列方程解应用题一、知识要点有些数量关系比较复杂的应用题,用算术方法求解比较困难.此时,如果能恰当地假设一个未知量为x〔或其它字母〕,并能用两种方式表示同一个量,其中至少有一种方式含有未知数x,那么就得到一个含有未知数x的等式,即方程.利用列方程求解应用题,数量关系清晰、解法简洁,应当熟练掌握.二、例题精讲例1商店有胶鞋、布鞋共46双,胶鞋每双7.5元,布鞋每双5.9元,全部卖出后,胶鞋比布鞋多收入10元.问：胶鞋有多少双？分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来,用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来.设胶鞋有x双,则布鞋有〔46-x〕双.胶鞋销售收入为7.5x元,布鞋销售收入为5.9〔46-x〕元,根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程.-25-/40

解：设有胶鞋x双,则有布鞋〔46-x〕双.〔46-x〕=10,7.5x-271.4+5.9x=10,13.4x=281.4,x=21.答：胶鞋有21双.分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较,所以答：袋中共有74个球.在例1中,求胶鞋有多少双,我们设胶鞋有x双；在例2中,求袋中共有多少个球,我们设红球有x个,求出红球个数后,再求共有多少个球.像例1那样,直接设题目所求的未知数为种方法叫直接设元法；像例2那样,为解题方便,不直接设题目所求的未知数,而间接设题目中另外一个未知数为x,这种方法叫间接设元法.x,即求什么设什么,这具体采用哪种方法,要看哪种方法简便.在小学阶段,大多数题目可以使用直接设元法.例3某建筑公司有红、灰两种颜色的砖,红砖量是灰砖量的2倍,计划修建住宅若干座.若每座住宅使用红砖80米3,灰砖30米3,那么,红砖缺40米3,灰砖剩40米3.问：计划修建住宅多少座？分析与解一：用直接设元法.设计划修建住宅x座,则红砖有〔80x-40〕米3,灰砖有〔30x+40〕米3.根据红砖量是灰砖量的2倍,列出方程-26-/40

80x-40=〔30x+40〕×2,80x-40=60x+80,20x=120,x=6〔座〕.分析与解二：用间接设元法.设有灰砖x米3,则红砖有2x米3.根据修建住宅的座数,列出方程.〔x-40〕×80=〔2x+40〕×30,80x-3200=60x+1200,20x=4400,x=220〔米3〕.由灰砖有220米3,推知修建住宅〔220-40〕÷30=6〔座〕.同理,也可设有红砖x米3.留给同学们做练习.例4教室里有若干学生,走了10个女生后,男生是女生人数的2倍,又走了9个男生后,女生是男生人数的5倍.问：最初有多少个女生？分析与解：设最初有x个女生,则男生最初有〔x-10〕×2个.根据走了10个女生、9个男生后,女生是男生人数的5倍,可列方程x-10=[〔x-10〕×2-9]×5,x-10=〔2x-29〕×5,x-10=10x-145,9x=135,x=15〔个〕.-27-/40

例5一群学生进行篮球投篮测验,每人投10次,按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进3个球的人平均投进6个球,投进不到8个球的人平均投进3个球.问：共有多少人参加测验？分析与解：设有x人参加测验.由上表看出,至少投进3个球的有〔x-7-5-4〕人,投进不到8个球的有〔x-3-4-1〕人.投中的总球数,既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数,0×7+1×5+2×4+6×〔x-7-5-4〕=5+8+6×〔x-16〕=6x-83,也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数,3×〔x-3-4-1〕+8×3+9×4+10×1,=3×〔x-8〕+24+36+10=3x+46.由此可得方程6x-83=3x+46,3x=129,x=43〔人〕.例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行,三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量,需另付行李费,三人共付4元,而三-28-/40

人行李共重150千克.如果一个人带150千克的行李,除免费部分外,8元.求每人可免费携带的行李重量.应另付行李费分析与解：设每人可免费携带x千克行李.一方面,三人可免费携带3x千克行李,三人携带150千克行李超重〔150-3x〕千克,超重行李每千克应付4÷〔150-3x〕元；另一方面,一人携带150千克行李超重〔150-x〕千克,超重行李每千克应付8÷〔150-x〕元.根据超重行李每千克应付的钱数,可列方程4÷〔150-3x〕=8÷〔150-x〕,4×〔150-x〕=8×〔150-3x〕,600-4x=1200-24x,20x=600,x=30〔千克〕.三、同步练习1、甲乙两人共存款100元,如果甲取出错误!,乙取出错误!,那么两人存款还剩60元.问：甲、乙二人各有存款多少元？2、大、小两个水池都未注满水.若从小池抽水将大池注满,则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满,则大池还剩30吨水.已知大池容积是小池的1.5倍,问：两池中共有多少吨水？3、一群小朋友去春游,男孩每人戴一顶黄帽,女孩每人戴一顶红帽.在每个男孩看来,黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来,黄帽子是红帽子的2倍.问：男孩、女孩各有多少人？-29-/40

4、教室里有若干学生,走了10个女生后,男生人数是女生的1.5倍,又走了10个女生后,男生人数是女生的4倍.问：教室里原有多少个学生？5、一位牧羊人赶着一群羊去放牧,跑出一只公羊后,他数了数羊的只数,发现剩下的羊中,公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群,却又跑走了一只母羊,牧羊人又数了数羊的只数,发现公羊与母羊的只数比是7∶5.这群羊原来有多少只？第十讲行程问题一、知识要点行程问题是研究物体的速度、时间和所经过的路程三者之间关系的问题.按运动物体的路线：可分为直线运动和曲线运动两大类；按运动物体的方向可分为：相向、反向、同向.行程问题的基本数量关系：速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间相遇问题和追击问题是行程问题中常见的两种主要题型.主要公式为：相遇问题：速度和×相遇时间路程÷相遇时间=速度和路程÷速度和=相遇时间=路程追击问题：速度差×追击时间=追与距离-30-/40

追与距离÷速度差=追击时间追与距离÷追击时间=速度差二、例题精讲[例1]甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行,甲的速度是每小时20千米,乙每小时行18千米,两人相遇时距中点3千米.甲、乙两地相距多少千米？[分析]甲的速度快,所以甲行了全程的一半多3千米,乙行了全程的一半少3千米,甲比乙多行了〔3×2=6〕千米.又因为乙每小时比甲慢2千米,所以甲乙的相遇时间时间是6÷2=3小时.〔路程差÷速度差=相遇时间〕解：〔20＋18〕×[3×2÷〔20－8〕]=114〔千米〕[例2]甲乙两地相距100千米出发,相向而行,6千米,乙每小时行4千米.甲带着一只狗,狗每小时行10候,它就掉头向甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇,这只狗一共走了多少千米？[分析]如果分段计算狗跑的路程,再求出这些路段的和是很困难的.要求狗跑的,就要求出狗跑的时间,而狗跑的时间,两人同时从两地甲每小时行千米.这只狗同甲一道出发,碰到乙的时路程正好就是甲乙两人的相遇时间,所以用狗的速度乘相遇时间就可以了.〔通过找不变量解题,既有情趣,又可以开阔思路〕解：100÷〔6＋4〕=10〔小时〕10×10=100〔千米〕[例3]两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米,两车错车时,甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗-31-/40

时开始,到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒.求乙车的长度.[分析]从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一刻起,乙车车头和甲车乘客开始作反向运动.经过1秒钟,他们之间的距离就等于乙车车头和甲乘客1秒钟所行的路程之和.经过14秒,他们之间的距离就等于乙车车头和甲乘客1秒钟所行路程之和的14倍.因为甲乘客在14秒钟结束时看到乙车车尾,所以乙车车头与甲乘客在这段时间内所走路程之和恰好等于乙车车身的长度.即乙车车长等于甲乙两车14秒所行路程之和.解：甲每秒的路程：36000÷3600=10米乙每秒的路程：54000÷3600=15米乙车长度：〔10＋15〕×14=350米[例4]龟兔赛跑,同时出发,全程8000米,龟以每分钟30米的速度爬行,兔每分钟跑330米.兔跑了10分钟就停下来睡了200分钟,醒来后立即以原速度向前奔跑.当兔子追上龟时,离终点的距离是多少千米？[分析]在210分钟内,龟向前爬行了〔30×210=6300米〕,兔只跑了〔330×10=3300米〕,他们的路程差为6300－3300=3000米,兔醒来后追上龟需用时间为3000÷〔330－30〕=10分钟,这样兔一共用了20分钟,行了330×20=6600米.用总路程减去已行的路程,就求出了距离终点的路程.解：330×10=3300米30×〔200＋10〕=6300米〔6300－3300〕÷〔330－30〕=10分钟-32-/40

330×〔10＋10〕=6600米8000－6600=1400米[例5]一支2400米长的队伍以每分90米的速度行进,队伍前端的联络员用12分钟的时间跑到队伍末尾传达命令.联络员每分钟跑多少米？[分析]队伍在向前行进,联络员从排头跑到排尾,因此,这是联络员和排尾队员的相遇问题,当两人合走完这支队伍的总长度后,就可以相遇了.所以,12分钟两人共行了2400米,这样就能算出速度和,也就能算出联络员的速度.解：2400÷12－90=110米[例6]客车与货车同时从甲城开往乙城,客车每小时行46千米,货车每小时行32千米.客车到达乙城时,因上下旅客停留了30分钟后,立即返回甲城,在返回途中与货车相遇.两车从出发倒相遇用了5小时30分.求两车相遇时离乙城多少千米？[分析]从题意可知,两车相遇时一共行了甲乙两城市之间距离的2倍.有知道共用了5小时30分相遇,因为客车在乙城停留了30分钟,所以客车实际行驶了5小时,货车行驶了5.5小时.解：从出发到相遇客车行驶了：46×〔5.5－0.5〕=230〔千米〕从出发到相遇货车行驶了：32×5.5=176〔千米〕两城市之间的距离：〔230＋176〕÷2=203〔千米〕相遇时距离乙城的距离：203－176=27〔千米〕[例7]兄妹两人同时离家去上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米.哥哥到校门口时发现忘了带英语书,立即沿原路返回去取,-33-/40

行到离学校180米处与妹妹相遇.他们家离学校有多远？[分析]从题意可知相遇时,哥哥比妹妹多行了180×2=360米,哥哥比妹妹每分钟要多走90－60=30米,那么多走360米就需要360÷30=12分钟,这个12分钟就是相遇时间.解：180×3÷30×60＋180=900〔米〕[例8]甲乙两车同时从A、B两地相对开出,第一次在离A点80千米处相遇.相遇后两车继续前进,到达目的地后又立即返回,第二次相遇离B点60千米.求A、B两地间的距离.[分析]本题既没有给出甲的速度,也没有给出乙的速度,给解题增加了难度,可以借助线段图来分析.第一次相遇时,甲乙合走了一个全程,甲行了80千米.从第一次相遇到第二次相遇,甲乙又合走了两个全程.合走一个全程,甲行了80千米,所以到第二次相遇时,甲共行了80×3=240千米.〔也就是一个全程多60千米〕.解：80×3－60=180〔千米〕[例9]A、B辆汽车同时从甲、乙两站相对开出,两车第一次在距甲站32千米处相遇.相遇后两车继续行驶,各自到达乙、甲两站后,立即沿原路返回,第二次在距甲站64千米处相遇.甲乙两站相距多少千米？[分析]画线段图.从图上可以看出：A、B两车从出发到第一次相遇合走了一个全程,这时A车走了32千米.从第一次相遇到第二次相遇,两车又合走了2个全程.A车又应该行了32×2=64千米.所以从出发到第二次相遇,A车行了96千米.A车如果再走64千米就会回到甲-34-/40

站,刚好是两个全程.解：〔32×3＋64〕÷2=80〔千米〕[例10]快、慢两车同时从甲、乙两地相向而行,快车每小时行90千米,慢车每小时行40千米.两车不断往返于甲乙两地,当第三次相遇后,快车又行了360千米与慢车相遇.甲乙两地相距多少千米？[分析]快、慢两车从第三次相遇到第四次相遇一共行了2个全程.这时快车行了360千米,因此合行一个全程快车应该走了360÷2=180千米.所用时间为180÷90=2小时.知道了行一个全程的相遇时间,就可以求出甲、乙两地之间的路程了.解：360÷2÷90=2〔小时〕〔90＋40〕×2=260〔千米〕[例11]甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,如果两人同向而行,甲26分钟追上乙,如果两人相向而行,6分钟可以相遇.已知乙每分钟行50米,求A、B两地之间的距离.[分析]画出线段图,设甲乙两人相遇地点为D,甲追到乙的地点为C.由题意可知从A到D用6分钟.从A到C用26分钟,因此,甲走D到C之间的路程时,所用的时间为20分钟.乙在26分钟和6分钟所走的路程之和为〔26＋6〕×50=1600〔米〕.所以甲的速度为1600÷20=80米/分.由此可以求出A、B两地之间的距离.解：50×〔26＋6〕÷〔26－6〕=80〔米/分〕〔80＋50〕×6=780〔米〕火车过桥[例12]一列火车长150米,每秒行20米.全车通过一座450米长-35-/40

的大桥,需要多少时间？[分析]火车通过过大桥就是指从车头上桥起到车尾离桥止,这就叫全车通过桥.解决这类题我们可以通过演示、观察、作图等手段帮助理解,不难发现,火车过桥所走的路程是车长＋桥长.解：〔150＋450〕÷20=30〔秒〕[例13]一列客车通过一座长860米的大桥需要45秒,用同样速度穿过620米长的隧道需要35秒.求这列客车行驶的速度是多少？车长是多少米？[分析]根据题意可知,45秒行的路程是：860＋车长；35秒行的路程是：620＋车长.它们的路程差是：860－620=240米,时间差是45－35=1秒.也就是火车10秒行的路程是240米.由此就可以算出火车的速度.也就能求出车长了.解：火车的速度：〔860－620〕÷〔45－35〕=24〔米/秒〕火车的长度：24×45－860=220〔米〕[例14]实验学校三、四年级学生528人排成4列纵队去野炊,队伍前进的速度是25米/分,前后两人都相距1米.现在队伍要走过一座桥,整个队伍从上桥到离桥,需要先求出队伍的长度,再总长度减去队伍的长度就等于桥的长度.共需16分钟.这座桥长多少米？[分析]解决这道题解：队伍的长度528÷4×1－1=131〔米〕桥的长度：25