知识讲解-直线、平面平行的性质-基础

直线、平面平行的性质【习标掌握直与平面平行的性质定理及其应用；掌握两平面平行的性质定理及其应用；．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．【点理【清堂线平的定性399459识解2要一直和面行性文语一条直线与一个平面平行，则过这条线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简为：线面平行则线线平行.符语：若//，，图语：

，则a要诠：直线和平面平行的性质定理可简述“若线面平行线”用号表示∥

，

则a∥这性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理该定理判断直线与行时必具备三个条件线a和面行即∥平面和

相交即

）直线a在面，a．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出“条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线的错误．【清堂空面平的定性知识讲】要二平和面行性文语：果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的线平.符语：若，

，

，a图语：要诠：（1面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（则将导致这两个平面有公共点要三平关的合化

空间中的平行关系有线线平行面平行面面平行这种关系不是孤立的而互相联系的它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．【典题类一直与面行性例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是面外点，M的点，在DM上取一点G过G和AP作面交平面于GH．求证：∥．【解析】如图，连接AC交BD于，接MO∵四边形ABCD是行四边形，∴O是AC的点，又M是的点，∴∥OM根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面．∵平面PAHG∩平BDM=GH，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤确（或寻找）一条线平行于一个平面；（2确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面）确定交线）由定理得出结论．举反：【变式江无锡模拟图面⊥面ABCAC⊥BC∥CB是AE的点MN平面，证N是的点．【答案】详见证明【证明】∵∥面，PE∥CB∴∥PE，∵M是的点，N是的点

aa例．如图所示，已知异直线AB、都行平面且、在的两侧，AC、

分别交于MN两，求证：

AMND

．【解析如所示连AD交面于连MQMQNQ分是平面ACD平面与的交线．∵∥AB，∴∥MQ，∥．于是

AMDQ，MCDQNB

，∴

AMBNMC

．【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作平面ACD与面，得到交线MQ和NQ举反：【清堂线平的定性3994593】【变式】已知直线∥面，直线a∥面平面

平面=

，求证

b

．证明：经过作个平面，与平面别交于直线和d，∵

a

∥平面

，

，

a

∥平面

，

b∴a∥a∥d∴c∥，又∵d面平∴c∥面又c平面，平面平，∴c∥又∵∥c，∥．

cd【变式】如图所示，在三棱锥—ABCPA=4BC=6与BC都行的截面四边形EFGH的长为

l

，试确定

l

的取值范围．【解析】与、BC平行的截面四边形应二边平行于PA，另二边平行于BC故它是一个平行四边形，

EFBC，EF，理，BCACACGFCF，

，四边形EFGH的长=2）

BCAF12AFAF+ACAC因为截四边形EFGH周长l应于小于128<l<12.类二平与面行性例3．已知：平面

∥平面

∥平面

，两条直线

l

，分与平面

，

，

相交于点A，B，和D，E，F如图

求证：

DEBC

．【解析】连接DC，设与平面交于点，连接BG，则平面与面、别相交于直线ADBD平面与面分相交于直线GE、．因为

//

，

，所以BGAD，GECF于是，得

DEABDE，．所以．BCGCEFEF【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是）找两个平面，使这两个平分别经过这两线中的一条）判定这两个平面平行3）找一个平面，使这两条直线都这个平面内）定得出结论．举反：【变式】已知

∥平面

，点A∈

，点BD∈

，直线AB，CD交点S且SA=8，，CD=34（1若点在面间则SC=________；（2若点不平面

，

之间，则SC=________．【答案）

（2例4所示

∥平面

∈

∈

别在线段AB上

FD

证：EF∥【解析）ABCD共时，∵

∥

，且平面ABDC

=AC，面ACDB∩

=BD，∴ACBD，∴四边形ABDC是形或平行四边形．由

FD

，得EFBD又∵BDEF∴EF∥（2当AB，CD异时，作AHCD交

于，∵且面AHDC与平面，交分别为AC，HD，∴AC．∴四边形AHDC平行四边形．作FGDH交于，接，于是

FD

．∵

AE，∴．从而∥BH，而BHFDGH

，EG

，∴EG

又FGDH，

，

，∴∥

．∵，平∥又面，∴∥【总结升华）面平行性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如本例的第二种情况：面面平→线线平→平行四边→线面平行→面面平行线平行．（2由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例）中由平面∥出∥便是这一性质的灵活运用．举反：【变式2015年上海陀区二模）在正方体ABCDACD中，是棱DD的点．1111在棱CD上否存在一点使∥面A若存在指明点F的置若存在请明理由．111【思路点拨】在棱D上存在点，F平面，分别取CD和1111的中点F，G，连接EG，CD，FG，因D∥C∥，D=BC11111所以四边形BCD为行四边形，根据中位线定理可知∥AB从而说明111A，B，G，共面，则面ABE根据FG∥CCBG，且1=CBB，从而得到四边形BBGF为行四边形，则F∥，而F111平面，平ABE，据线面平行的判定定理可知F∥平面111A．1【答案】详见证明【证明】在棱D上在点F，使BF∥平面A，111事实上，如图所示，分别取CD和CD的点F，G连接EGBG，，FG111因D∥，且D，所以四边ABCD为行四边形，11111因此D∥B，又EG分为D，的点，所以∥C，111从而∥AB，这说明，，G共面，所以BG面1因四边形CDD与B皆正方形F，G分为D和CD1111中点，所以FGCC∥B，1且FGCCB，因此四边形BBGF平行四边形，所以FBG11而F面BE，面A，故F平面ABE．1111类三线平的定性的合用例．已知正四棱柱CD中M是DD的点．111求证：BD∥面．1【思路点拨】连结AC于N，连MN．由此利用三角形中位线定理证明BD∥面AMC．1【答案】详见解析【证明】在正四棱柱—BD中111连结BD交于，结．因为ABCD为方形，所以为BD中．

在中因为M为DD中，11所以BD∥．1因为MN面AMC，不含于平面，1所以BD∥面．1举反：【变式如图所示知P是ABCD所平面外一点MN分是AB、的点，平面PBC平APD=l．（1求证：

l

∥；（2与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解析】方法一）为∥AD，

平面，

平面，所以∥平面PAD．又因为平面PBC平l所以BC∥l（2平行．如下图（1