ch数列收敛性的判别准则

第1章函数、极限、连续第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数1第2节数列的极限

2.1数列极限的概念2.2收敛数列的性质2.3数列收敛性的判别准则2数列极限的两大问题数列极限的存在性；（此问题为最关键的问题）数列极限值的大小；（存在性成立后，才想办法计算极限）3几种证明极限存在的方法：按照数列极限的定义证明。利用夹逼性证明。最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性4（1）单调有界准则（2）数列极限的归并原理（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理（4）柯西(Cauchy)收敛原理2.3数列极限存在的判别准则5（1）单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.用确界定理证明6几点说明：•

定理中{an}的单调性只要从某一项之后满足即可.这是因为数列的敛散性与前有限项无关。•此定理的条件为充分但非必要条件。

•本定理只是证明了存在性。7例6证(舍去)8证明例7证9正的1011EX解解EX

设

其中，证明收敛。

12证明：

递增显然，下面证明有上界，事实上：

EX

设

其中，证明收敛。

13分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法进一步考虑

思考14EX.证法1证法215证法316子数列概念及其收敛性定义注（2）数列极限的归并原理17数列收敛与其子数列收敛的密切联系：定理2.7(数列极限的归并原理)证明：必要性充分性，注意到是其自身的子数列！18推论

若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。注意

该推论是证明数列发散的很好的工具。19例8证明(必要性)由定理2.720数列收敛与其子数列收敛的密切联系：1若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）2若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限21证明提示：C.由例8得,隐藏22（3）Weierstrass定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界有界数列未必收敛定理2.8(Weierstrass定理)

有界数列必有收敛子数列用单调有界准则证明！引理从任意数列中必可取出一个单调的子数列先给出以下引理证明：设{an}是有界数列，由引理从中可取出一个单调的子数列{ank

},它显然是有界的，由单调有界准则得{ank}是收敛的。引理从任意数列中必可取出一个单调的子数列23引理从任意数列中必可取出一个单调的子数列（2）若数列中只有有限多项可作为“龙头”，这时取最后一个“龙头”的下一项，记作an1，由于an1不是“龙头”，在它的后边必有一项an2（n2>n1)满足an1

<an2，如此进行下去就得到一个子列{ank},它是一个严格递增子列。证明先引进一个定义：若数列中的一项大于等于在这项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。分二种情况讨论。（1）若数列中存在着无穷多个“龙头”，那么把这些可作为“龙头”的项依次地取下来，显然得到一个递减的数列。242.数列的任意收敛子数列的极限称为该数列的极限点,也称为聚点.说明1.定理2.8也称为致密性定理

;数列的聚点原理.定理2.8(Weierstrass定理)

有界数列必有收敛子数列注意：聚点可以属于数列中的点也可以不属于！25（4）柯西(Cauchy)收敛原理1）Cauchy数列（基本数列）:定义2.2

如果对为基本数列思考:证明26补充：证明证2）柯西收敛原理定理2.9

(柯西收敛原理)收敛为基本数列，简称基本列。27定理2.9

柯西极限存在准则(柯西收敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证明:

“必要性”.设则时,有使当因此有28“充分性”为基本数列由定理2.8，使当时,有另一方面，为基本数列,使当时,有取使当时,有29柯西(Cauchy)收敛原理30例9分析31证明32例10证明：33柯西(Cauchy)收敛准则的意义收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。判别的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。34柯西(Cauchy)收敛原理35例11利用：取：36注意：区间套定理37故极限存在，1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则382.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法39内容小结1.数列极限的“–N

”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;保不等式性;四则运算法则;夹逼性3.数列收敛性（极限存在）判别准则:单调有界准则;柯西准则数列极限的归并原理Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理40维尔斯特拉斯(Weierstrass

1815–1897)德国数学家.他的主要贡献是在分析学方面.1854年他解决了椭圆积分还建立了椭圆函数的新结构.他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的–定义,

及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数:的逆转问题,给出了连续函数的严格定义为分析学的算术化作出了重要贡献.41柯西柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集２６卷，仅次于欧拉，居第二位。

柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。１８０５年柯西入理工科大学，１８１６年成为那里的教授。１８２１年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。