线性时不变系统湘潭大学信号与系统课件期末复习综述

2023/4/5Signals&Systems12.0引言2.1离散时间LTI系统：卷积和2.2连续时间LTI系统：卷积积分2.3线性时不变系统的性质2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系统第2章线性时不变系统LinearTime-InvariantSystems2023/4/5Signals&Systems2时域描述方法卷积和、卷积积分常系数线性微分方程、差分方程方框图法状态变量法2023/4/5Signals&Systems32.0Introduction

基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。

由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。2023/4/5Signals&Systems4研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。基本单元信号应满足的要求：本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；LTI系统对这种信号的响应易于求得。问题的实质：2023/4/5Signals&Systems52.1离散时间LTI系统：卷积和2.1.1用单位脉冲表示离散时间信号2023/4/5Signals&Systems62.1.2离散时间LTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示Time-InvariantPropertyUnitImpulseResponse

LinearProperty卷积和（convolutionsum）2023/4/5Signals&Systems7一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。2023/4/5Signals&Systems82023/4/5Signals&Systems92023/4/5Signals&Systems10卷积和的计算1、解析法；2、图解法Example:解答2023/4/5Signals&Systems11图解法的思想：反转、平移、相乘、求和反转平移求和相乘2023/4/5Signals&Systems12卷积和图解法的计算过程：（1）以k作为自变量，画出的信号波形。（2）从n等于负无穷开始，也就是将向时间轴左端远处平移。（3）写出中间信号的数学表达式。（4）增加时移量n，也就是将向右移动，直到的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的n值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。（5）对新区间中的n，重复步骤3和4，直到所有时间区间被划分，对应的数学表达式被确定。（6）在每个时间区间，将相应的对k求和，得到该区间的输出。2023/4/5Signals&Systems13例2.1：解析法2023/4/5Signals&Systems14例2.2：图解法2023/4/5Signals&Systems15...例2.3：

2023/4/5Signals&Systems16例2.4：

2023/4/5Signals&Systems17①

时2023/4/5Signals&Systems18②

时2023/4/5Signals&Systems19③

时2023/4/5Signals&Systems20④

时2023/4/5Signals&Systems21

⑤

时2023/4/5Signals&Systems222023/4/5Signals&Systems23例2.5：

2023/4/5Signals&Systems242.2.1用冲激表示连续时间信号

与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。2.2连续时间LTI系统：卷积积分2023/4/5Signals&Systems25引用，即：则有：

对一般信号，可以将其分成很多宽度的区段，用一个阶梯信号近似表示。当时，有2023/4/5Signals&Systems26

第个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号，即：表明：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。于是：当时，2023/4/5Signals&Systems272.2.2连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示卷积积分convolutionintegralUnitImpulseResponseTime-InvariantPropertyLinearProperty2023/4/5Signals&Systems282023/4/5Signals&Systems29(2)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应y(t)与激励x(t)之间的关系。(3)卷积是数学方法，也可运用于其他学科。一般数学表示：(4)积分限由存在的区间决定，即由的范围决定。(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量；

:

信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有对卷积积分的几点认识2023/4/5Signals&Systems30卷积积分的性质：2023/4/5Signals&Systems312023/4/5Signals&Systems32求解卷积的方法：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法，特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质,比较灵活。图解法思想：2023/4/5Signals&Systems33卷积积分的图解法计算过程：（1）以

作为自变量，画出的信号波形。（2）从t等于负无穷开始，也就是将向时间轴左端远处平移。（3）写出中间信号的数学表达式。（4）增加时移量t，也就是将向右移动，直到的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的t值标志着现在区间的结束以及下一个新区间的开始。（5）对新区间中的t，重复步骤3和4，直到所有时间区间被划分，对应的数学表达式被确定。（6）在每个时间区间，将相应的对t求积分，得到该区间的输出。2023/4/5Signals&Systems34例2.6:

2023/4/5Signals&Systems35例2.7:

①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，新解：2023/4/5Signals&Systems362023/4/5Signals&Systems37例2.8:

2023/4/5Signals&Systems38Tasks2.32.22：a，c学习报告(学习组为单位)：阅读文献、专著和网络查询，描述卷积运算的物理意义和应用（列出引用文献）2023/4/5Signals&Systems392.3线性时不变系统的性质

（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）2023/4/5Signals&Systems401、交换律一、卷积积分与卷积和的性质2023/4/5Signals&Systems412、分配律

两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。结论2023/4/5Signals&Systems422023/4/5Signals&Systems433、结合律2023/4/5Signals&Systems442023/4/5Signals&Systems45如：平方乘2乘2平方若交换级联次序，即成为：显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。产生以上结论的前提条件：①系统必须是LTI系统；②所有涉及到的卷积运算必须收敛。练习：2023/4/5Signals&Systems462023/4/5Signals&Systems472023/4/5Signals&Systems48二、LTI系统的性质1、记忆性

则在任何时刻，都只能和时刻的输入有关，和式中只能有时的一项为非零，因此必须有：

根据，如果系统是无记忆的，，即：2023/4/5Signals&Systems49所以，无记忆系统的单位冲激响应为：2023/4/5Signals&Systems502、可逆性

如果LTI系统是可逆的，存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。因此有：2023/4/5Signals&Systems51例如：延时器是可逆的LTI系统

累加器是可逆的LTI系统2023/4/5Signals&Systems523、因果性：

由，当LTI系统是因果系统时，在任何时刻，都只能取决于时刻及其以前的输入，即和式中所有的项都必须为零，即：或:

对连续时间系统有:这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。2023/4/5Signals&Systems532023/4/5Signals&Systems54若有界，则若系统稳定，则要求必有界4、稳定性：2023/4/5Signals&Systems55对连续时间系统:

LTI系统稳定的充分必要条件对离散时间系统:绝对可和绝对可积2023/4/5Signals&Systems56Example：1、纯时移：稳定2023/4/5Signals&Systems573、积分器：不稳定2、累加器：不稳定2023/4/5Signals&Systems582.3.8LTI系统的单位阶跃响应单位阶跃响应：系统对或所产生的响应。2023/4/5Signals&Systems592.4微分和差分方程描述的因果LTI系统系统数学模型：连续时间系统——线性常系数微分方程离散时间系统——线性常系数差分方程CausalLTISystemsDescribedbyDifferentialandDifferenceEquations

对给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性建立对应的方程。（1）电路联接方式的约束:KCL、KVL（2）元器件伏安关系的约束:RLC2023/4/5Signals&Systems60

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关，对应于齐次解。

形式取决于外加激励，对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：各种系统响应定义自然响应强迫响应完全响应2023/4/5Signals&Systems61

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应，卷积形式。

(2)零输入响应：零状态响应：零输入响应零状态响应完全响应2023/4/5Signals&Systems622023/4/5Signals&Systems63＋－2.4.1线性常系数微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）2023/4/5Signals&Systems64均为常数2023/4/5Signals&Systems65求解方法：齐次解+特解变换域法利用卷积积分法求解零状态利用经典法求解零输入零输入响应＋零状态响应经典法：解方程列写方程::

2023/4/5Signals&Systems66齐次解特解因果LTI系统的初始条件：初始松弛

用常系数线性微分方程描述的系统只有在初始状态为0的条件下，系统才是线性时不变的，而且是因果的。初始状态不为0，则是非线性时变系统，非因果。经典解法：2023/4/5Signals&Systems672.4.2线性常系数差分方程(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation)1、由实际问题直接得到差分方程2、由微分方程导出差分方程差分方程来源：2023/4/5Signals&Systems681、由实际问题直接得到差分方程例如：y(n)表示一个国家在第n年的人口数a(常数)：出生率b(常数):死亡率x(n)是国外移民的净增数则该国在第n+1年的人口总数为：y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n)=(a-b+1)y(n)+x(n)2023/4/5Signals&Systems692、由微分方程导出差分方程2023/4/5Signals&Systems70PID控制规律的数字化实现2023/4/5Signals&Systems71

一般的线性常系数差分方程可表示为：求解方法：（1）迭代法：包括手算逐次代入求解或利用计算机求解，比较简单，但只能得到其数值解，不能直接给出一个完整的解析式作为解答，适应差分方程阶次较低时。（2）时域经典法：齐次解＋特解（3）零输入响应＋零状态响应，利用卷积求系统的零状态响应（4）变换域方法：Z变换——反变换2023/4/5Signals&Systems72对于差分方程，还可以将其改写为：递归方程recursiveequation2023/4/5Signals&Systems73Example：2023/4/5Signals&Systems74当时，差分方程变为：非递归方程

方程是一个卷积和的形式，是有限长的,因而把这种方程描述的LTI系统称为FIR（Finite

ImpulseResponse）系统。将递归方程描述的系统称为IIR（InfiniteImpulseResponse）系统,是一个无限长的序列。FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。75例1求脉冲响应h[n],指出该系统是IIR,还是FIR?y[n]=x[n]-2x[n-2]+x[n-3]h[0]=1,h[1]=0,h[2]=-2,h[3]=1其余h[n]均为零FIR76例2求脉冲响应h[n],指出该系统是IIR,还是FIR?y[n]+2y[n-1]=x[n]+x[n-1]y[n]=x[n]+x[n-1]-2y[n-1]n<0,h[n]=0,h[0]=1,h[1]=-1n2,h[n]=-2h[n-1]IIR2023/4/5Signals&Systems772.4.3由差分和微分方程描述的一阶LTI系统的方框图表示由微分或差分方程描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系统,用图形表示系统的数学模型,将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异2023/4/5Signals&Systems781、由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）。延时器标量乘法器2023/4/5Signals&Systems79加法器：乘法器：2023/4/5Signals&Systems8081examplea2a1unitdelayunitdelay++++y[n]x[n]y[n-1]y[n-2