多维随机变量的数字特征

多维随机变量的数字特征1第1页，共81页，2023年，2月20日，星期四第四章随机变量的数字特征

分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.

评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；例如：

研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；

检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;2第2页，共81页，2023年，2月20日，星期四

考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.

由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写3第3页，共81页，2023年，2月20日，星期四4第4页，共81页，2023年，2月20日，星期四

随机变量的平均取值——数学

期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容5第5页，共81页，2023年，2月20日，星期四定义设离散型随机变量X的分布列为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记为1.数学期望的定义§4.1数学期望6第6页，共81页，2023年，2月20日，星期四

设连续型随机变量X的概率密度为若积分绝对收敛，则称此积分的值为随机变量X的数学期望，记为

数学期望简称期望，又称均值

注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均7第7页，共81页，2023年，2月20日，星期四解例1

8第8页，共81页，2023年，2月20日，星期四例2

解例3

解9第9页，共81页，2023年，2月20日，星期四例4

解10第10页，共81页，2023年，2月20日，星期四例5解11第11页，共81页，2023年，2月20日，星期四例6解12第12页，共81页，2023年，2月20日，星期四常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()13第13页，共81页，2023年，2月20日，星期四分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)14第14页，共81页，2023年，2月20日，星期四2.数学期望的性质15第15页，共81页，2023年，2月20日，星期四证明：仅就证性质（4）16第16页，共81页，2023年，2月20日，星期四解引入随机变量

则有

例717第17页，共81页，2023年，2月20日，星期四故

（次）

18第18页，共81页，2023年，2月20日，星期四例819第19页，共81页，2023年，2月20日，星期四解20第20页，共81页，2023年，2月20日，星期四21第21页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.随机变量函数的数学期望22第22页，共81页，2023年，2月20日，星期四23第23页，共81页，2023年，2月20日，星期四X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123例9解24第24页，共81页，2023年，2月20日，星期四解例1025第25页，共81页，2023年，2月20日，星期四例11解26第26页，共81页，2023年，2月20日，星期四解

例12

设二维连续随机变量的概率密度为27第27页，共81页，2023年，2月20日，星期四数学期望的性质注意:28第28页，共81页，2023年，2月20日，星期四3.数学期望的简单应用

市场上对某种产品每年的需求量为X吨，

X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？例1329第29页，共81页，2023年，2月20日，星期四解设每年生产y吨的利润为Y

，2000<y<400030第30页，共81页，2023年，2月20日，星期四故y=3500时，EY最大，EY=8250万元31第31页，共81页，2023年，2月20日，星期四

为普查某种疾病,n个人需验血,可采用两种方法验血：分别化验每个人的血,共需化验n次；将k个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性,则此k个人的血只需化验一次；若为阳性,则对k个人的血逐个化验，找出有病者,这时k个人的血需化验k+1次.设某地区化验呈阳性的概率为p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数.验血方案的选择32第32页，共81页，2023年，2月20日，星期四解

为简单计，设n是k的倍数，设共分成n/k组第i组需化验的次数为XiXi

P

1k+133第33页，共81页，2023年，2月20日，星期四若则EX<n例如，34第34页，共81页，2023年，2月20日，星期四§4.235第35页，共81页，2023年，2月20日，星期四36第36页，共81页，2023年，2月20日，星期四37第37页，共81页，2023年，2月20日，星期四例1

解例2

38第38页，共81页，2023年，2月20日，星期四解39第39页，共81页，2023年，2月20日，星期四§4.3方差引例检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下:A:2000150010005001000B:15001500100010001000试比较这两批灯泡质量的好坏计算得:平均寿命分别为:A:1200B:1200

观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好数学期望方差40第40页，共81页，2023年，2月20日，星期四

1.方差的定义(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量

E(X-EX)2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数注:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度41第41页，共81页，2023年，2月20日，星期四若X为离散型随机变量，概率分布为若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：42第42页，共81页，2023年，2月20日，星期四

2.方差的性质43第43页，共81页，2023年，2月20日，星期四例1

设X~P(),求DX解

3.方差的计算44第44页，共81页，2023年，2月20日，星期四例2

设X~B(n,p)，求DX解一

仿照上例求DX解二

引入随机变量相互独立，故45第45页，共81页，2023年，2月20日，星期四解例3

设X~U(a,b)，求DX46第46页，共81页，2023年，2月20日，星期四例4

设X~N(,2),求DX解47第47页，共81页，2023年，2月20日，星期四常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()48第48页，共81页，2023年，2月20日，星期四分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)49第49页，共81页，2023年，2月20日，星期四f(x)x0μ若μ固定,σ改变,则σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭σ小σ大方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同σ2的密度曲线反映出来:50第50页，共81页，2023年，2月20日，星期四解

例551第51页，共81页，2023年，2月20日，星期四证例652第52页，共81页，2023年，2月20日，星期四例7

已知X,Y相互独立，且都服从N(0,0.5),求E(|X–Y|)解故53第53页，共81页，2023年，2月20日，星期四例8

设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求EX,DX解

令Xi

表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n

相互独立,且54第54页，共81页，2023年，2月20日，星期四55第55页，共81页，2023年，2月20日，星期四故56第56页，共81页，2023年，2月20日，星期四例9

求EY,DY解57第57页，共81页，2023年，2月20日，星期四58第58页，共81页，2023年，2月20日，星期四标准化随机变量为X的标准化随机变量.显然，59第59页，共81页，2023年，2月20日，星期四仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P-101

0.10.80.1P

-2020.0250.950.025与它们有相同的期望,方差但是分布却不同60第60页，共81页，2023年，2月20日，星期四但若已知分布的类型及期望和方差，常能确定分布例10已知X服从正态分布,EX=1.7,DX=3,

Y=1–2X,求Y的密度函数解

61第61页，共81页，2023年，2月20日，星期四例11

已知X的密度函数为其中A,B是常数，且EX=0.5求A,B设Y=X2,求EY,DY62第62页，共81页，2023年，2月20日，星期四解

(1)63第63页，共81页，2023年，2月20日，星期四(2)64第64页，共81页，2023年，2月20日，星期四§4.4协方差及相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系65第65页，共81页，2023年，2月20日，星期四定义

称为X,Y的协方差，记为1.协方差和相关系数的定义为X,Y的相关系数若称X,Y不相关称66第66页，共81页，2023年，2月20日，星期四因此,方差是协方差的特例协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系可以证明

若(X,Y)服从二维正态分布,即则

67第67页，共81页，2023年，2月20日，星期四若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，68第68页，共81页，2023年，2月20日，星期四计算协方差的常用公式69第69页，共81页，2023年，2月20日，星期四注:70第70页，共81页，2023年，2月20日，星期四注:显然相关不相关正相关负相关完全正相关完全负相关71第71页，共81页，2023年，2月20日，星期四求Cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1