复变函数课件第四章

复变函数课件第四章第1页，共69页，2023年，2月20日，星期四复习、引入收敛的本质——无限项和差是否为一个确定值？如何完成这种计算？定义—若存在，称级数收敛，否则级数发散第2页，共69页，2023年，2月20日，星期四定理一§4.1复数项级数一、复数列的极限

定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.第3页，共69页，2023年，2月20日，星期四二、复数项级数的概念第4页，共69页，2023年，2月20日，星期四三、复数项级数的审敛法第5页，共69页，2023年，2月20日，星期四第6页，共69页，2023年，2月20日，星期四§4.2幂级数一、函数项级数第7页，共69页，2023年，2月20日，星期四二、幂级数及其收敛性—正幂项级数2.收敛特征—Abel定理定理一第8页，共69页，2023年，2月20日，星期四xyO.第9页，共69页，2023年，2月20日，星期四证明第10页，共69页，2023年，2月20日，星期四第11页，共69页，2023年，2月20日，星期四三、收敛圆与收敛半径

利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围，对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设

(正实数)时,级数收敛,(正实数)时,级数发散.（既存在收敛点，又存在发散点）对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.第12页，共69页，2023年，2月20日，星期四bCbaCaRCROxy显然时,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.第13页，共69页，2023年，2月20日，星期四

当由小逐渐变大时,必定逐渐接近一个以原点为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.

在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径R称为收敛半径.所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对幂级数(4.2.2)来说,收敛范围是以为中心的圆域.在收敛圆上的收敛性,则不一定.第14页，共69页，2023年，2月20日，星期四第15页，共69页，2023年，2月20日，星期四例1

求幂级数解:级数实际上是等比级数,部分和为的收敛范围与和函数.第16页，共69页，2023年，2月20日，星期四第17页，共69页，2023年，2月20日，星期四收敛半径的求法第18页，共69页，2023年，2月20日，星期四第19页，共69页，2023年，2月20日，星期四第20页，共69页，2023年，2月20日，星期四第21页，共69页，2023年，2月20日，星期四例2

求下列幂级数的收敛半径第22页，共69页，2023年，2月20日，星期四第23页，共69页，2023年，2月20日，星期四第24页，共69页，2023年，2月20日，星期四

四、幂级数的运算和性质

在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.第25页，共69页，2023年，2月20日，星期四第26页，共69页，2023年，2月20日，星期四更为重要的是代换(复合)运算

这种代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.第27页，共69页，2023年，2月20日，星期四第28页，共69页，2023年，2月20日，星期四Oxyab当|z-a|<|b-a|=R时级数收敛第29页，共69页，2023年，2月20日，星期四第30页，共69页，2023年，2月20日，星期四§4.3泰勒级数z0Kzrz第31页，共69页，2023年，2月20日，星期四按柯西积分公式,有且z0Kzrz第32页，共69页，2023年，2月20日，星期四由解析函数高阶导数公式,上式可写成z0Kzrz第33页，共69页，2023年，2月20日，星期四z0Kzrz在K内成立,即f(z)可在K内用幂级数表达.q与积分变量z无关,且0q<1.第34页，共69页，2023年，2月20日，星期四K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数M使|f(z)|M.第35页，共69页，2023年，2月20日，星期四因此,下面的公式在K内成立:称该等式为f(z)在z0点的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0处的泰勒级数.

圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域|z-z0|<d内成立.第36页，共69页，2023年，2月20日，星期四定理(泰勒展开定理)设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d时,

注：如果f(z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a的距离,即R=|a-z0|.第37页，共69页，2023年，2月20日，星期四yz0ax

任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.

利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把f(z)在z0点展开成幂级数,称此为直接展开法第38页，共69页，2023年，2月20日，星期四例如,求ez

在z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:第39页，共69页，2023年，2月20日，星期四

除直接法外,也可以借助这些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sinz在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:第40页，共69页，2023年，2月20日，星期四[解]由于函数有一奇点z=-1,而在|z|<1内处处解析,所以可在|z|<1内展开成z的幂级数.因为例1把函数展开成z的幂级数.第41页，共69页，2023年，2月20日，星期四例2求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.[解]ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|<1展开为z的幂级数.-1OR=1xy第42页，共69页，2023年，2月20日，星期四第43页，共69页，2023年，2月20日，星期四推论1：第44页，共69页，2023年，2月20日，星期四

注：推论2:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)第45页，共69页，2023年，2月20日，星期四例如：第46页，共69页，2023年，2月20日，星期四推论3：例如：第47页，共69页，2023年，2月20日，星期四而如果把函数中的x换成z,在复平面内,函数它有两个奇点i,且都在此函数展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1。因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制。

在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都可导,且有确定的函数值。第48页，共69页，2023年，2月20日，星期四§4.4洛朗级数

一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:第49页，共69页，2023年，2月20日，星期四只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和.正幂项是幂级数,设其收敛半径为R2：这是t的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,如果令

t=(z-z0)-1,可得：

则当|z-z0|>R1,即|t|<R时,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域,原级数才收敛.第50页，共69页，2023年，2月20日，星期四z0R1R2例如级数第51页，共69页，2023年，2月20日，星期四在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。例如,上述级数在收敛环域内其和函数是解析的,而且可以逐项积分和逐项求导。

现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。第52页，共69页，2023年，2月20日，星期四其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy第53页，共69页，2023年，2月20日，星期四定理设f(z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析,则C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。Cz0R1R2第54页，共69页，2023年，2月20日，星期四称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.

一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.

根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.第55页，共69页，2023年，2月20日，星期四解：函数f(z)在圆环域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+内是处处解析的,可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2第56页，共69页，2023年，2月20日，星期四先把f(z)用部分分式表示:第57页，共69页，2023年，2月20日，星期四ii)在1<|z|<2内：第58页，共69页，2023年，2月20日，星期四iii)在2<|z|<+内:第59页，共69页，2023年，2月20日，星期四例2

把函数解：由第60页，共69页，2023年，2月20日，星期四函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.第61页，共69页，2023年，2月20日，星期四

例如在z=i和z=-i处将函数展为洛朗级数。

在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|<1中的泰勒展开式;

2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式;