复杂非线性系统中的混沌第二章

复杂非线性系统中的混沌第二章第1页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.1

混沌

2.1.1混沌的特征混沌运动限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂。具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征：局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、奇怪吸引子、分维数、正Lyapunov特征指数、正测度熵等。具有确定性运动的特征：无周期而有序、已发现的三条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和对初值具有强的敏感性。第2页，共74页，2023年，2月20日，星期四

大量的研究表明，在非线性耗散系统中有混沌并伴有混沌吸引子，在非线性保守（或保面积）系统中也有混沌，只是没有混沌吸引子（KAM定理）。可见耗散结构和混沌是非线性科学的两朵奇葩，是探索世界复杂性的两把金钥匙。

耗散结构:

图2.1热扩散实验包含两种介质（氢气和氦气）的容器。加热一端而冷却另一端。最后，两种介质分离，热的一端充满一种介质，冷的一端充满另一种介质。这是一种远离平衡态的有序结构。这种有序结构的出现和维持要从外部不断供应物质和能量，所以是一种耗费物质和能量的结构，因此称之为“耗散结构”。实际上，所有生物体都是一种高级的耗散结构。比如人每天要吃饭，时时要呼吸，就是一种开放系统和耗散结构。第3页，共74页，2023年，2月20日，星期四生物进化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构发展为高级的不均匀的有序结构的历史。一个系统要形成耗散结构需要满足四个条件：(1)系统必须是一个开放系统；(2)系统必须远离平衡态；(3)系统内部各要素之间存在着非线性的相互作用；(4)涨落导致有序。从上述的四个条件看，耗散结构的形成是一个不可逆过程。在Prigogine看来，Newton和Einstein的最大失误就是把时间看作是可逆的。他的耗散结构理论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的，系统的演化过程和结果与时间相关。基于上述分析，可见混沌的主要特征有：

1、敏感初始条件第4页，共74页，2023年，2月20日，星期四2、伸长与折叠3、具有丰富的层次和自相似的结构

4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子第5页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.1.2混沌的定义1990年，美国著名科幻小说家MichaelCrichton推出一力作《侏罗纪公园》。小说中的混沌：存在着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流有关的问题，这种方程很难求解，直至混沌理论的出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分敏感。如该系统是用以时间为自变量的微分方程来刻划，则我们研究的目的是试图预言微分方程的解在遥远的将来或推测在遥远的过去的最终状态。如该系统是以离散形式进行刻划，即第6页，共74页，2023年，2月20日，星期四其中f是集合M到M的映射，则我们希望了解，随着n变大，序列的最终性态。因此我们称的集合为x的前向轨道，用表示，即如果f是同胚，我们还可以定义x的全轨道为点的集合，x的后向轨道定义为的集合。第7页，共74页，2023年，2月20日，星期四

定义2.1

如果对某个有，但对于小于n的自然数k，，则称是f的一个n周期点。当是f的一个n周期点时，有。此时只有n个不同的元素。第8页，共74页，2023年，2月20日，星期四定义2.2

当是f的一个n周期点时，称为f的n周期轨道。第9页，共74页，2023年，2月20日，星期四定义2.3

设(X,

)是一紧致的度量空间，f:XX是连续映射，称f在X上是混沌的，如果：(1)f具有对初值敏感依赖性，(2)f在X上拓扑传递，(3)f的周期点在X中稠密。第10页，共74页，2023年，2月20日，星期四混沌一词最先由T.Y.Li和J.A.Yorke提出。1975年他们在美国《数学月刊》上发表了题为“周期3意味着混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，现称为Li-Yorke定义或Li-Yorke定理:第11页，共74页，2023年，2月20日，星期四

考虑一个把区间[a,b]映为自身的、连续的、单参数映射

,,亦可写成点映射形式：

,

定义2.4

连续映射或点映射,

称为是混沌的，如果：（1）存在一切周期的周期点；（2）存在不可数子集,S不含周期，，第12页，共74页，2023年，2月20日，星期四点，使得

,,,,,,p为周期点

，，此定义中前两个极限说明子集的点相当集中而又相当分散；第三个极限说明子集不会趋近于任意点。

第13页，共74页，2023年，2月20日，星期四根据Li-Yorke定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。可见周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态。这构成所谓“通向混沌的道路”。第14页，共74页，2023年，2月20日，星期四第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道；一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

第15页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.1.3奇怪吸引子还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上，即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点）或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点的集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响，随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌，这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质。第16页，共74页，2023年，2月20日，星期四对耗散系统中四个常有的吸引子解释如下。(1)不动点吸引子或定常吸引子：是一个零维的吸引子，在相空间中是一个点，它表示系统在做平衡运动。(2)极限环：是一个一维的吸引子，在相空间中是环绕平衡点的一条闭合的曲线，它对应周期运动。

(3)准周期吸引子，表现为相空间上的二维环面，它类似面包圈的表面，轨道在状态空间的环面上绕行，这种运动有两个频率，一是轨道沿较短方向绕环面运动所决定的频率，一是轨道绕整个环面运动所决定的频率，这两个频率不可公约，它是准周期运动。第17页，共74页，2023年，2月20日，星期四(4)奇怪吸引子：也称“随机吸引子”、“混沌吸引子”。它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。定义2.5

由于耗散系统的相空间容积是收缩的，所以n维耗散系统的稳态运动将位于一个小于n维的“曲面”（超曲面）上，粗略地说，这个曲面就是吸引子。定义2.6

它首先应是一个吸引子，即存在一个集合U，使

(1)U是A的一个邻域；

(2)对每一初始点

，当t>0时，应有；当

时，，即A是吸引子；此外第18页，共74页，2023年，2月20日，星期四(3)

时，有对x0的敏感性(当初值误差为无穷小量时，它的像的误差随t按指数增长)，即A是奇怪吸引子；

(4)对，应有使，而奇怪吸引子不应分成两个。奇怪吸引子有以下几个重要特征：(1)对初始条件有非常敏感的依赖性。(2)它的功率谱是一个宽谱。(3)系统中存在有马蹄。(4)它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。第19页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.2分岔及产生混沌的途径2.2.1分岔理论混沌运动就是经过一系列解的突变才发生的。解发生突变的参数值称为分岔点。分岔理论的主要内容，就是研究非线性方程解的数目如何在参数变化过程中发生突变。

运动状态可以通过各种分岔现象发生质的变化。这种当控制参数变化到某个临界值时而使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔，它是非线性系统内部固有的一种特性。例如，考虑一个连续的动力学系统，即由常微分方程组第20页，共74页，2023年，2月20日，星期四

(2.2)

决定的动力学系统。方程组(2.2)有定态解

,即满足方程组的解。这个定态解的稳定性可通过线性化的小扰动分析方法来考察。令并假设初始时刻的zi很小，线性化的方程组为其中

第21页，共74页，2023年，2月20日，星期四它具有形式的解。这里是矩阵的特征方程的特征值。它的实部也称为

Lyapunov特征指数。因为，这些特征值的实部决定了随它的初值增加还是减小。如果所有这些特征值的实部都是负的，则定态解是稳定的。通常把它称为吸引子。如果这些特征值这至少有一个特征值的实部大于零。则此定态解是不稳定的。通常把它称为排斥子。Lyapunov特征指数是判断解的稳定性的一个特征量，也是定量表征运动轨道是否出现混沌的一个特征量。它依赖于系统的控制参数，系统是否发生分岔现象可通过对它的分析来判断。

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最常见的分岔有：叉型分岔或对称鞍结点分岔、切分岔或鞍结点分岔、跨临界分岔、滞后分岔、Hopf分岔、倍周期分岔、同宿和异宿分岔。第23页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.2.2通向混沌的道路2.2.2.1倍周期分岔通向混沌第一种是倍周期分岔途径，亦称Feigenbaum途径。这条途径是一种规则的运动状态（例如某种定态解或周期解）可以通过周期不断加倍的倍分岔方式逐步过渡到混沌运动状态。如Logistic映射是经过倍周期分岔达到混沌的，如下图：

第24页，共74页，2023年，2月20日，星期四第25页，共74页，2023年，2月20日，星期四

Feigenbaum指出Logistic映射分岔点的参数值

(m=1,2,3,…)形成无穷序列，并有一个极限值

=3.569945672…。同时Feigenbaum还发现Logistic映射系统伴随倍周期分岔的产生，还呈现别的复杂动力学行为。下面叙述Logistic映射的情形。

1、混沌和奇怪吸引子当

=时，周期无穷大的解有无穷多个，映射进入混沌，其总体上是稳定的，同时，它又是奇怪吸引子。该映射之所以出现混沌，是由于它具有两个基本性质：（1）伸展和折叠（stretchingandfolding）（2）不可逆2、逆瀑布（inversecascade）（逆级联）当

=4时，周期为任意整数的解都存在，且全都是第26页，共74页，2023年，2月20日，星期四

不稳定的，所以在[0，1]上有可列无限个不稳定周期点，除去这些点后的[0，1]中仍有不可列无限多个点，这个点集将组成一个奇怪吸引子。3、周期窗口（periodicwindows）当时，Logistic映射存在周期3解。1975年，Li和Yorke曾提出“周期3意味着混沌”的论断。

4、U序列U序列（UniversalSequence）又称MSS序列或揉搓序列（kneadingsequence）。它表示在单峰映射中，其周期窗口的位置排列具有一定的次序。

第27页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.2.2.2阵发性通向混沌阵发性混沌是指系统从有序向混沌转化时，在非平衡非线性条件下，当某些参数的变化达到某一临界阈值时，系统的时间行为忽而周期（有序）、忽而混沌，在两者之间振荡。有关参数继续变化时，整个系统会由阵发性混沌发展成为混沌。阵发混沌最早见之于Lorenz模型，然而较详细的研究均是在一些非线性映射上作的。阵发混沌与倍周期分岔所产生的混沌是孪生现象，凡是观察到倍周期分岔的系统，原则上均可发现阵发混沌现象。

第28页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.2.2.3

Hopf分岔通向混沌是一种规则的运动状态最多经过3次Hopf分岔就能转变成混沌运动状态。具体地说，其通往混沌的转变可以表示为不动点极限环二维环面混沌，每一次分岔可以看作一次Hopf分岔，分岔出一个新的不可公约的频率。尽管这条通向混沌的道路提出较早，但与倍周期分岔道路和阵发混沌道路相比，其规律性仍知道得较少，近年来已引起了人们的关注。例如关于突变点附近的临界行为的研究还不够充分，目前尚不清楚这里是否也存在着普适的临界指数。这些已引起了人们的关注。

第29页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3混沌研究的判据与准则2.3.1庞卡莱截面法法国数学家庞卡莱为我们提供了一种有效的研究复杂的多变量连续动力学系统的轨道方法，即庞卡莱截面方法：在多维相空间中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面。）选取一个截面，这个截面可以是平面，也可以是曲面。然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系列交点的变化规律。这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞卡莱截面上的截点，由它们可得到关于运动特征的信息。第30页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.2相空间重构时间序列的重建相空间：把时间序列扩展到三维或更高维的相空间中去，才能把时间序列的混沌信息充分地显露出来。Packard等人提出了由一维可观察量重构一个“等价的”相空间：由系统某一可观测量的时间序列重构m维相空间，得到一组相空间矢量t是时间延迟；，d为系统自变量个数，M小于N，并与N有相同的数量级。

第31页，共74页，2023年，2月20日，星期四重构相空间的关键在于嵌入空间维数m和时间延迟t的选择。1、嵌入空间维数m的选择由Packard和F.Takens所提出的时间滞后延迟法构造相空间基于拓扑嵌入理论：基本思想：若将一条一维的曲线限制在一个二维的曲面上，一般来讲，这条曲线将在重构法曲面上相交。并且在曲线上只做微小的变形情况下，这些交点不会消除，相反，若是将一条曲线置于三维空间时，所有的自身相交点都可以通过一个小的形变来消除，因此，这些交点可以认为是偶然出现的。结论推广：A、B两个物体，维数分别为，第32页，共74页，2023年，2月20日，星期四它们都在d维空间中，我们定义一个“交叠维数”（codimension）以便用来表示的维数

这种交叠维数具有加法性质，即因此可得

(2.5)式(2.5)的确定性可以由一些例子说明，例如，将两条曲线置于一个平面上，通常会出现一些交叠（一般情况是一些点），这时,。由式(2.5)得

，即相交的是一些点，而在三维空间中，它们一般不相交，这是因为，。

第33页，共74页，2023年，2月20日，星期四在三维空间中的曲线将和的平面相交，这是因为。

下面将式(2.5)用于完全相同的物体，即，我们希望这个物体能在d维空间中自由伸展，即A上的任何部分在伸展是都不必碰到自身其它部分，由于这时不是一个好的标记方法，我们令式(2.5)左端为。因此，嵌入空间的维数为

(2.6)由式(2.6)得到的嵌入空间维数通常比实际需要的要大。嵌入空间的维数至少是吸引子维数的两倍，才能保证吸引子的正确恢复。在实际中，m值的选取第34页，共74页，2023年，2月20日，星期四应该通过多次的尝试来确定，当m值取得过大时，无标度区对应于所有的（过大的m）m值都是相同的。在混沌运动特征的计算中，一般地讲，所须的嵌入空间最小维数取决于我们要从时间序列中提取什么样的物理量。如相图中，；而在计算Lyapunov指数、分维数时，只是计及沿轨道的平均性质，这时取就可以了。另外Roux等曾讨论了m和t值的选择。他们认为，在大多数情况下，m值可取得比m³2d+1的不等式所确定的值小一些，Wolf等在讨论Lyapunov指数计算时也得出了类似结论。大多数意见认为，m值的选取应通过反复试算来确定。Roux等建议让m值逐次加1，直到相图上没有附加的结构出现。第35页，共74页，2023年，2月20日，星期四2、时间延迟t的选取

1986年，Fraser等指出，自相关函数的方法只度量了变量的线性关系，为了量度两个变量的普遍依赖关系，应取重构的两分量间的“互信息函数”出现第一个极小值时的延迟值t作为最佳的延迟时间，重构相空间。所谓的互信息（mutualinformation）是这样定义的：是两个序列，在S-Q的面上用“数盒子”的方法我们可以得到概率分布

、及联合概率分布。

用对数表示所得到的信息的概念：当从一个具有N个元素的集合S中取得一个元素时，有

(2.7)第36页，共74页，2023年，2月20日，星期四Shannon考虑了在S集合中有n个子集Si的情况，对每个子集都应用式(2.7)，有

,,并对每个子集的信息平均，得到总的S集合的信息：

(2.8)将联合概率分布代入式(2.8)中，得到联合信息：由、得

、按下式定义，即为“互信息”：

第37页，共74页，2023年，2月20日，星期四

在实际应用中，最佳延迟时间t的选取仍需反复的尝试。第38页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.3功率谱分析法Welch所提出的平均周期图方法来计算标量信号的自功率谱估值：设序列的功率谱为，把序列分成长度为L的K个重迭段，就可求得修正的周期图谱估计。在实现过程中，诸序列段重叠个样点，诸序列段的总数目为。第i段的数值定义为其中为L个点的数据窗函数(如：矩形窗函数，汉明窗函数等)。经窗处理后序列段的M点离散付里叶变换：

第39页，共74页，2023年，2月20日，星期四是用FFT算法计算的(如果，序列要用个零值加以补零)。对修正周期图求平均以产生归一化角频率处功率谱估值其中。则用分贝表示的功率谱估值为根据采样定理，当采样的时间间隔为、采样频率为f时，时间序列能够反映的最大频率为

(2.9)第40页，共74页，2023年，2月20日，星期四这样对于FFT长度为M的时间序列，其频率间隔(分辨率)为

(2.10)

频率为f的周期系统的功率谱在频率f及其高次谐波2f、3f、……处有d函数形式的尖峰。每个尖峰的高度指示了相应频率的振动强度。特别当发生分岔时，功率谱将改变它的特征。基频为f1、f2、……fk的准周期系统的功率谱在f1、f2、……fk及其线性组合处有d函数形式的尖峰。对于混沌系统，尽管其功率谱仍可能有尖峰，但它们多少会增宽一些（不再相应于分辨率），而且功率谱上会出现宽带的噪声背景。可见功率谱分析对周期和准周期现象的识别以及研究它们与混沌态的转化过程是非常有力的。第41页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.4关联维数奇怪吸引子为分形结构。分维数可对吸引子的几何特征及集于吸引子上的轨道随时间的演化情况进行数量上的描述，因而可对吸引子的混沌程度进一步细分。分维数有多种定义，关联维数作为混沌行为的测量参数得到了广泛的应用。在由实验数据进行相空间重构的基础上，计算式(2.4)的相关积分

(2.11)凡是距离小于给定正数r的矢量，称为有关联的矢量，这里的H是Heaviside函数

第42页，共74页，2023年，2月20日，星期四r的值取的适当，会随着r的增大而呈指数倍的迅速增加，关联维数定义为

在计算中随着嵌入维数d变化，双对数图曲线束中，互相平行的直线段的斜率，就是关联维数D2。该方法为研究一维时间序列信号的动力学特征提供了有力的工具，被研究者广泛地采用。本文也采用了这种方法来计算心电信号的关联维数。第43页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.5Lyapunov指数2.3.5.1Lyapunov指数的定义Lyapunov指数恰可定量表示奇怪吸引子对初始条件的敏感依赖性。对于n维相空间中的连续动力学系统，考察一个无穷小n维球面的长时间演化。由于流的局部变形特性，球面将变为n维椭球面。第i个Lyapunov指数按椭球主轴长度pi(t)定义为

(2.12)式(2.12)表明Lyapunov指数的大小表明相空间中相近轨道的平均收敛或发散的指数率。Lyapunov指数是很一般的特征数值，它对每种类型的吸引子都有定义。对于n维相空间有n个实指数，故也称为谱，并按其大小排列，一般令

第44页，共74页，2023年，2月20日，星期四

一般说来，具有正和零Lyapunov指数的方向，都对支撑起吸引子起作用，而负Lyapunov指数对应着收缩方向，这两种因素对抗的结果就是伸缩与折叠操作，这就形成奇怪吸引子的空间几何形状。因此，对于奇怪吸引子而言，其最大Lyapunov指数为正的（另外也至少有一个Lyapunov指数是负的），并且Lyapunov指数

越大，系统的混沌性越强；反之亦然.对于耗散系统，Lyapunov指数谱不仅描述了各条轨道的性态，而且还描述了从一个吸引子的吸引域出发的所有轨道的稳定性性态。对于一维（单变量）情形，吸引子只可能是不动点（稳定定态）。此时Lyapunov指数是负的。对于二维情形，吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点，任意方向的相空间中两靠近点之间的距离都要

第45页，共74页，2023年，2月20日，星期四收缩，故这时两个Lyapunov指数都应该是负的，即对于不动点，至于极限环，如果取相空间中两靠近点之间的距离始终是垂直于环线的方向，它一定要收缩，此时Lyapunov指数是负的；当取相空间中两靠近点之间的距离沿轨道切线方向，它既不增大也不缩小，可以想象，这时Lyapunov指数等于零（这类不终止于不动点而又有界的轨道至少有一个Lyapunov指数等于零。证明可参考Haken的书AdvancedSynergetics）[59]。所以，极限环的Lyapunov指数是

同样可知，在三维情形下有不动点极限环二维环面

第46页，共74页，2023年，2月20日，星期四

不稳极限环

不稳二维环面

奇怪吸引子在四维连续耗散系统中，有三类不同的奇怪吸引子，它们是：第47页，共74页，2023年，2月20日，星期四总结上面的分析可以看出，Lyapunov指数可以表征系统运动的特征，其沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨道沿该方向平均发散（li>0）或收敛（li

<0）的快慢程度，因此，最大Lyapunov指数

决定轨道覆盖整个吸引子的快慢，最小Lyapunov指数则决定轨道收缩的快慢，而所有Lyapunov指数之和可以认为是大体上表征轨道总的平均发散快慢。还可以看出，（1）任何（平庸的和奇怪的）吸引子必定有一个混沌Lyapunov指数是负的；（2）对于混沌，必有一个Lyapunov指数是正的（另外，吸引子也至少有一个Lyapunov指数是负的）。因此，只要由计算得知，吸引子至少有一个正的Lyapunov指数，便可以肯定它是奇怪的，从而运动是混沌的。第48页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.5.2Kaplan-Yorke猜想Lyapunov指数和分维数之间的关系：基于Lyapunov指数从大到小的排序，然后从最大的开始（混沌运动至少有一个指数大于零），把后续的指数一个个加起来。设加到时，总和为正数，而加到下一个时，总和成为负数，很自然设想吸引子维数介于k和k+1之间。用线性插值定出维数的分数部分，Kaplan和Yorke[60]曾猜测此关系为得到这里d为分维数，k是能使的最大k值。在二维情况下，上式简化为第49页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.5.3差分方程组计算Lyapunov指数的方法定义2.7

设空间上的差分方程：。f为上的连续可微映射。

设表示f的Jacobi矩阵，即令第50页，共74页，2023年，2月20日，星期四将的n个复特征根取模后，依从大到小顺序排列为那么，f的Lyapunov指数定义为第51页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.5.4微分方程组计算最大Lyapunov指数的方法1976年，Benettin等人提出了计算微分方程组最大Lyapunov指数的方法。其方法如下：在给定微分方程组所确定的相空间中，选取两个很靠近的初始点和，其间距离为，且值要很小，在一个小的时间间隔里去积分这个微分方程，利用变换Ｔ可得这两点间的距离为。然后选取一个新的点，它的位置在和的的联线上，并使得。对和

第52页，共74页，2023年，2月20日，星期四再作用一次变换Ｔ，可得到及，并有。这个过程重复进行，如图2.3所示，则

可由下列方程来计算这里n是积分的次数，故n必须很大（例如），而又必须很小（例如），只要不太大，计算结果就与的大小无关了。利用计算机可以实现这种算法，从而可以对系统运动是否是混沌作出判断。

第53页，共74页，2023年，2月20日，星期四图2.3微分方程组计算Lyapunov指数的演化替换过程第54页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.5.5实验数据计算Lyapunov指数的方法1、长度演化法1985年，Wolf等人在总结前人研究结果的基础上，提出了一种能从实验数据计算非负最大Lyapunov指数l1的算法—长度演化法计算方法：由实验数据的时间序列，利用时间延迟法构造m维相空间，空间中的每一点是由{，，…，)}给出的。首先找出距初始点{，，…，}最近的点，用表示这两点间的距离。到时刻已演化成，这时再按以下两原则寻找一个新的数据点：第55页，共74页，2023年，2月20日，星期四它与演化后基准点的距离很小；且与的夹角很小。这个过程重复进行，如图2.4所示，直到穷尽所有的数据点。则为其中N是长度元演化的总次数。至趋于某一稳定值时，计算才算成功。图2.4长度演化法计算Lyapunov指数的演化替换过程第56页，共74页，2023年，2月20日，星期四2、面积演化法长度演化法在实际处理中具有一定局限性。若当一条线段增长到显著大时，无法找到具有相同取向的较短线段的位移，则失去吸引子中最膨胀方向的意义，使正指数与零指数的贡献以系统相关和复合的方式混合在一起，不能正确算。面积演化法方法：由于考虑的是几近于平面局域结构的（+，0，-）谱的吸引子（即要求），在重构吸引子中确定3个近邻点，及，其中是吸引子中任一点，比如可取第一点

,对应时刻。点及则是用穷举法或其它方法找到的的最近邻点，然后按时间序列向前发展而求得这三个点在时刻的新位置记为，，。这两个三角形的面积记为和。保持点第57页，共74页，2023年，2月20日，星期四

作为三角形的一个顶点，而寻找其新的最近邻点及。三角形的面积为。显然量反映吸引子的局部膨胀和收缩特性。重复这一步骤直到所有的数据都用到，两个最大Lyapunov指数之和的估计值式中N是代换的总步数，是第k步代换的时间。至趋于某一稳定值时，计算才算成功。面积演化法的合理性在于：其一、整个计算中已经保留了三角形中一点的演化从而考虑了相应的一维映射不变概率密度对指数贡献的权重；其二，吸引子的局部近似平面，故面积演化不必考虑其它指数的修正。

第58页，共74页，2023年，2月20日，星期四图2.5面积演化法计算Lyapunov指数的演化替换过程第59页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.3.6测度熵动力系统另一统计性质的量是熵，它与Lyapunov指数和Hausdorff维数之间存在一定关系，是系统混沌性质的一种度量，常用的熵有拓扑熵（topologicalentropy）和测度熵（metricentropy或measuretheoreticentropy）测度熵是从我们熟悉的热力学熵概念引申而来的。在统计热力学中，熵是系统处在状态i的概率。熵S是系统无序程度的量度。无序程度的增加对应于对状态可知性的减少。根据Shannon的信息论，熵S可用来刻划我们对系统无知的程度。只要S>0，系统总存在一些我们无法认识的侧面。第60页，共74页，2023年，2月20日，星期四根据S，可引入测度熵K。K熵的定义如下：考虑奇怪吸引子上动力系统的轨道。设d维相空间被划分成尺寸为的盒子，系统的状态可在时间的时间间隔内观察。设是在盒子中，在盒子中，……，在盒子中的联合概率，根据Shannon公式

它正比于以精度l确定系统在特殊轨道所需要的信息。因此是已知系统先前处于而预测系统将在单元中所需的附加信息，这意味着量度了系统从时间n到n+1的信息损失。K熵定义为信息的平均损失率第61页，共74页，2023年，2月20日，星期四极限说明K与分划的选取无关。对离散时间步长的映射，可以省略。

K在混沌的量度中是很有用的。它可以区分规则运动，混沌运动和随机运动。对规则运动，；在随机系中若系统表现确定性混沌，则K是大于零的常数。K熵越大，那么信息的损失速率越大，系统的混沌程度越大，或说系统越复杂。K与正Lyapunov指数有密切关系。对于有限维的可微分的映射，

(2.18)即所有正的Lyapunov指数之和，给出K熵的上限。在实践中，式(2.18)中的等式往往成立，它成为所谓Pesin等式第62页，共74页，2023年，2月20日，星期四测度熵K是刻划混沌系统的一个重要量。在不同类型的动力系统中，K的值不同。因此通过K的计算可给出系统的粗略分类。不知系统的微分方程时，K是难以计算的。由于K是q阶Renyi熵的下界且，。因此通常计算熵作为K的近似。现在介绍从单变量时间序列计算的方法。给定一时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得到一个点（或向量）集J(m)，其元素记作式中是固定时间间隔，即时间延迟，是两次相邻采样的间隔，k是整数

第63页，共74页，2023年，2月20日，星期四从这

个点中任意选定一个参考点，计算其余个点到

的距离对所有重复这一过程，得到相关积分函数

,按的定义得对于给定的时间延迟，在无标度区内给出一个r，对m=2,3,，求出，由式(2.11)可求出。当其不随m而改变时得到，

是使对m达到饱和的最小值。在无标度区内减小r的值，再按上述方法求出

,当其不随r而改变时的值即可作为的估计值。

第64页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.4分形分形这个术语是Mandelbrot为描述所有尺度上复杂结构的不规则、破碎形状而创造的。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版的三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》、《大自然的分形几何学》，把许多人引进了分形百花圆。什么是分形？事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是对没有特征长度（所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所包含有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度。）但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。第65页，共74页，2023年，2月20日，星期四大多数分形在一定的标度范围内不断放大其任何部分，其不规则程度都是一样的，这个性质称为比例自相似性；而按照统计的观点，其任一局部经移位、旋转、缩放变换后与其它任意部分相似。这两个性质揭示了自然界中一切形状及现象都能以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。Mandelbrot最先引入分形（fractal）一词，意为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似集合[13]。为此，在他的最初论述中曾给出分形的一个尝试性的定量刻画。定义2.8

如果一个集合在欧氏空间中的Hausdorff维数恒大于其拓扑维数，即则称该集合为分形集，简称分形。第66页，共74页，2023年，2月20日，星期四

定义2.9

组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。英国数学家Falconer在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性。一般地，称集F是分形，即认为它具有下述典型的性质：1F具有精细的结构，即有任意小比例的细节。

2F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。

3F通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。

4F在某种方式下定义的“分形维数”通常大于它的拓扑维数。

5

在大多数令人感兴趣的情况下，F可以以非常简单的方式来定义，可能由迭代产生。第67页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.4.1分形与混沌的关系

在非线性科学中，分形与混沌有着不同的起源，但他们又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果，这表明它们有着共同的数学祖先——动力系统，奇怪吸引子就是分形集，或者说混沌是时间上的分形，而分形是空间上的混沌。第68页，共74页，2023年，2月20日，星期四2.4.2构造分形图的逃逸时间算法动力系统：定义2.10

度量空间(X,)上的动力系统是一个变换f：XX，记为X,f。X中一点x的轨道是序列。设(X,)为给定的度量空间，(F(X),h)