2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省曲靖市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B，再利用交集的定义求出.【详解】，，则，故选D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．复数（其中i为虚数单位）的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据复数的乘除法运算法则可得复数，再根据复数的概念可得其虚部.【详解】因为，所以复数的虚部是2，故选：D．【点睛】本题考查了复数的乘除法算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x的值，从而求出sinθ，cosθ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】直角三角形中较短的直角边为x，则：x2+（x+2）2＝102，解得：x＝6，∴sinθ，cosθ，∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）sinθ﹣（）cosθ，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（

）A．甲、丙 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果.【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设，则∴，∴，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选:A5．函数的部分图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于轴对称，排除C，D；当时，，排除B.故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及，得，结合余弦定理，即可求得本题答案.【详解】在中，由正弦定理及，得，∴，又，∴；由正弦定理及，得，又由余弦定理得，所以，得．故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.7．已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率A． B． C． D．【答案】C【详解】由于，则，，，，，，，，，，则，选C.二、多选题9．如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．A、M、N、B四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面【答案】BC【分析】A.由点A、M、B在平面内，点N在平面外判断；B.平面，再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD的中点E，连接BE，NE，由，得到为异面直线与所成的角判断；D.利用反证法判断.【详解】A.点A、M、B在平面内，点N在平面外，故错误；B.在正方体中，平面，又平面ADM，所以平面平面，故正确；C.如图所示：取CD的中点E，连接BE，NE，得，则为异面直线与所成的角，易知是等边三角形，则，所以直线与所成角的为，故正确；D.若平面，又平面ADM，又，所以平面平面ADM，而平面平面，矛盾，故错误；故选：BC10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（

）A．两件都是一等品的概率是B．两件中有1件是次品的概率是C．两件都是正品的概率是D．两件中至少有1件是一等品的概率是【答案】BD【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；对于B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；对于C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.11．下列四个命题中，正确命题有（

）A．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是C．抛物线的准线方程为D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是【答案】ABCD【分析】对于A，求出点的坐标即可判断，对于B，根据条件可得，即可判断，对于C，根据抛物线的知识可判断，对于D，得到，然后可判断.【详解】对于A，当a为任意实数时，直线恒过定点P，因为方程可化为所以，而过点，故A正确；对于B，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则，

，

，解得，故双曲线的标准方程是，故B正确；对于C，抛物线的准线方程为，故C正确；对于D，根据题意，双曲线，其离心率，即，则，故D正确.故选：ABCD.12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数，则________．【答案】【解析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.【详解】根据题意，当时，，所以，当时，，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.14．若数列，都等差数列，且有，则__________．【答案】【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设等差数列、的前项和分别为由故答案为:15．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________;【答案】【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而求出这个球的体积【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，即解得，则其体积，故答案为：．16．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．【答案】【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率【解析】椭圆离心率四、解答题17．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，即可得到结果；（2）根据条件求出，由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出c即可.【详解】（1），故最小正周期为.（2），即，所以，所以，因为，所以，由三角形面积公式，且，解得，由余弦定理，解得.18．若数列满足，.(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，若数列的前项和为，求证：.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列的通项公式，可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．【详解】（1）证明：∵，∴，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，

∴．（2）解：由（1）知，∴，∴.19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试平均分的估计值为：；（3）成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成绩在同一分组区间的结果共种，利用古典概率计算公式即可得出所求概率．试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为，频率分布直方图如图所示；（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：；（3）由题意可得，成绩在的人数为，记他们分别是，成绩在的人数为，记他们分别是，则从成绩在和的学生中任选两人的结果分别是，共15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．【解析】1、频率分布直方图；2、古典概率．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．20．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到，问题得证；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）因为平面，所以，又因为，，，所以，因此，所以，因此平面，所以，从而，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，平面的法向量，设平面的法向量，由，由，令，即，所以，，所以，所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留1位小数，，)【答案】(1)年(2)万立方米【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，由题意知数列是等差数列，且首项，公差．设第n年后可以使绿化任务完成，则有，解得．所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.（2）因为年造林数量为，设到年年底木材总量为万立方米，由题意得．令①，两边同乘以，得②．②①，得．所以，所以．故到年年底共有木材万立方米．22．已知点与点的距离比它的直线的距离小2．(1)求点的轨迹方程；(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)(2)直线过定点.【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三点共线，结合向量共线定理，即可求解.【详解】（