2023版高中数学第一讲坐标系学案新人教A版选修4

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第一讲坐标系

一平面直角坐标系

[学习目标]

1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.

3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.[知识链接]

1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？

提醒(1)假使图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)假使图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点.建系原则：使几何图形上的特别点尽可能多的落在坐标轴上.2.怎样由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝sin2x?

提醒曲线y＝sinx上各点保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的一半.3.怎样由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝3sinx?

提醒曲线y＝sinx上各点保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍.[预习导引]1.平面直角坐标系

(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合.

(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.

(3)坐标法解决几何问题的“三步曲〞：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；其次步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译〞成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换

(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用坐标方法研究几何变换.

(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

??x′＝λφ：?

?y′＝μ?

x（λ>0），y（μ>0）

的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直

角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

要点一运用坐标法解决解析几何问题

例1△ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.

解以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y).

取BC的中点N，则MN⊥BC，即MN是BC的垂直平分线.

由于|BC|＝2a，所以|BN|＝a，|MN|＝|y|.又M是△ABC的外心，所以|MA|＝|MB|.

又|MA|＝x＋（y－b），|MB|＝|MN|＋|BN|＝y＋a，所以x＋（y－b）＝y＋a，化简，得所求的轨迹方程为x－2by＋b－a＝0(x∈R，y>0).规律方法建立坐标系的几个基本原则：(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；(2)对称中心一般作为原点；(3)对称轴一般作为坐标轴.

跟踪演练1△ABC的边AB的长为定长2a，边BC的中线的长为定长m，试求顶点C的轨迹方程.

解取AB的中点为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0).

2

2

2

2222222222?x＋a，y?，由|AD|＝m，得?x＋a＋a?＋?y?＝m2.化简得(x设C(x，y)，则边BC的中点为D??2??2?2??2?????

＋3a)＋y＝4m.又因点C在直线AB上时不能组成三角形，故y≠0.因此顶点C的轨迹方程是(x＋3a)＋y＝4m(y≠0).要点二用坐标法解决平面几何问题

例2已知?ABCD，求证：|AC|＋|BD|＝2(|AB|＋|AD|).证明法一(坐标法)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点E?，?，由对称性知

?22?

?bc?

D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，

|AC|＝b＋c，|BD|＝(b－2a)＋c，|AC|＋|BD|＝4a＋2b＋2c－4ab

＝2(2a＋b＋c－2ab)，|AB|＋|AD|＝2a＋b＋c－2ab，∴|AC|＋|BD|＝2(|AB|＋|AD|).法二(向量法)

→→→→2→2→2→2→→→2→2在?ABCD中，AC＝AB＋AD，两边平方得AC＝|AC|＝AB＋AD＋2AB·AD，同理得BD＝|BD|＝→2→2→→→2→2→2→2→→→→BA＋BC＋2BA·BC，以上两式相加，得|AC|＋|BD|＝2(|AB|＋|AD|)＋2BC·(AB＋BA)＝2(|AB→222222

|＋|AD|)，即|AC|＋|BD|＝2(|AB|＋|AD|).

规律方法1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法，即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证〞的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感.2.建立平面直角坐标系的方法步骤

(1)建系——建立平面直角坐标系，建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；

(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算——通过运算，得到所需要的结果.

跟踪演练2已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|＋|PB|＋|PC|最小，并求出此最小值.

解以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A?0，

??3??a??a?a?，B?－2，0?，C?2，0?.

????2?

2

2

2

2

a?223?2?a?2??222

设P(x，y)，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝x＋?y－a?＋?x＋?＋y＋?x－?＋y＝3x＋3y?2??2?2??

25a33?22?22

－3ay＋＝3x＋3?y－a?＋a≥a，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立.

466??

∴所求的最小值为a，此时P点的坐标为P?0，要点三平面直角坐标系中的伸缩变换

2

?

?3?

a?，即为正△ABC的中心.6?

??x′＝3x，

例3在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：?

?2y′＝y.?

?1?(1)求点A?，－2?经过φ变换所得的点A′的坐标；

?3?

1??(2)点B经过φ变换后得到点B′?－3，?，求点B的坐标；

2??(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；(4)求双曲线C：x－

2

y2

64

＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标.

??x′＝3x，???1，－2?.?解(1)设点A′(x′，y′).由伸缩变换φ：得到?又已知点A?3?1

???y′＝y.?2y′＝y，?

?

2

11

于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1.

32∴变换后点A′的坐标为(1，－1).

x′＝3x，

??x′＝3x，?x＝x′，1??1?(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：?得到?3由于B′?－3，?，于是x＝×

2?3???2y′＝y，?

?y＝2y′，

1

(－3)＝－1，y＝2×＝1，∴B(－1，1)为所求.

2

1??x＝x′，

(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将?3代入y＝6x得2y′＝

??y＝2y′，

?1?6×?x′?，所以y′＝x′，即y＝x为所求.?3?

1?222

?x＝x′yx′4y′2

(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，将?3代入x－＝1，得－＝1，

64964

??y＝2y′化简得

1

x′2y′2

9－16

＝1，

∴曲线C′的方程为－＝1，

916∴a＝9，b＝16，c＝25，

因此曲线C′的焦点F1(5，0)，F2(－5，0).

规律方法1.解答此题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；

2

2

2

x2y2

(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解.2.伸缩变换前后的关系

已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：?系为

联系变换前类型点P曲线C(x，y)(λx，μy)变换后??x′＝λ??y′＝μ

则点的坐标与曲线的方程的关

y（μ>0），

x（λ>0），

f(x，y)＝0??f?x′，y′?＝0?1?λ1μ跟踪演练3在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换.

??x′＝λ·x（λ>0），

解设满足条件的伸缩变换为?将其代入方程2x′－y′＝4，得2λ

?y′＝μ·y（μ>0），?

x??x′＝x，

－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.所以?

?y′＝4y.?

直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.

1.坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创立，在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系，我们可以便利地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以便利地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法

(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解.

(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清爽旧坐标，区别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，

y′)的坐标适合变换后的曲线方程.

1.点P(－1，2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为()A.(3，6)C.(2，－4)

B.(3，－6)D.(－2，4)

解析设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.答案B

2.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin2x变成曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()

x＝2x′，??A.?1

y＝y′??3

C.?

?x＝2x′，?

??y＝3y′

x′＝2x，??

B.?1

y′＝y?3?

D.?

?x′＝2x，?

??y′＝3y

??x′＝λ

解析设?

?y′＝μ?

x，λ>0，y，μ>0，

则μy＝sinλx，即y＝

11

sinλx.比较y＝3sin2x与y＝sinμμ

x′＝2x，??11

λx，则有＝3，λ＝2.∴μ＝，λ＝2.∴?1

μ3y′＝y.?3?

答案B

11

3.如何由正弦曲线y＝sinx经伸缩变换得到y＝sinx的图象()

2211

A.将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的

221

B.将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍

2C.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍1

D.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的

2

答案D

4.已知函数f(x)＝（x－1）＋1＋（x＋1）＋1，则f(x)的最小值为________.

解析f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x，0)到两定点(－1，1)和(1，1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为22.答案22

一、基础达标

1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?则曲线C的方程为()A.25x＋9y＝0C.9x＋25y＝0

2

2

2

2

22

?x′＝5x，?

??y′＝3y后，曲线C变为曲线x′＋y′＝0，

22

B.25x＋9y＝1D.9x＋25y＝1

2

2

22

??x′＝5x，2222

解析将伸缩变换?代入x′＋y′＝0，得25x＋9y＝0，此即为曲线C的方程.

??y′＝3y答案A

2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是()A.(9，－1)C.(1，3)

B.(－3，1)D.(2，2)

??x＝1，→→

解析设D(x，y)，则由题意，得AB＝DC，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴?即D(1，

?y＝3，?

3).答案C

3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD??x′＝ax，

在伸缩变换?(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为()

??y′＝yA.11

C.2

B.22D.3

解析如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，

11

∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.

22

答案C

4.已知f1(x)＝sinx，f2(x)＝sinωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所1

在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为()

31A.2C.3

?x′＝λ???y′＝μ

B.21

D.3

解析对照伸缩变换公式φ：?

x（λ>0），y（μ>0），

由y＝sinx得到y′＝sinωx′故

???x′＝x?ωx′＝xω.?，即?

?y′＝y??

?y′＝y11

∴＝，∴ω＝3.ω3答案C

1

xx′＝??2017，

5.若点P(－2023，2023)经过伸缩变换?后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝

y??y′＝2016

________.

x－2016

x′＝，?x′＝，??2017?2017

解析∵P(－2016，2017)经过伸缩变换?得?y2017

??y′＝2016，??y′＝2016

代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.答案－1

6.可以将椭圆＋＝1变为圆x＋y＝4的伸缩变换为________.

1082xy解析将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，

10852

2

?x′＝x，?52x?2?y?2

?＋??＝4.令??2?5?yy′＝??2

2

2

2

2

x2y2

22

x2y2

22

∴?

??

得x′＋y′＝4，即x＋y＝4.

?5x′＝2x，

∴伸缩变换?为所求.

?2y′＝y2

?x′＝x?5答案?

1y′＝y??2

7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x－2y－3x＝0变成曲线x′－8y′－12x′＝0的伸缩变换.解令伸缩变换为?

2

2

2

2

2

?x′＝λ???y′＝μ

2

x（λ>0），y（μ>0）.

将其代入x′－8y′－12x′＝0得λx－8μy－

222222

12λx＝0，与x－2y－3x＝0.

22

4μ＝λ，?????λ＝4，?x′＝4x，

?进行比较，得?12故从而伸缩变换为???μ＝2.y′＝2y.＝3.????λ

二、能力提升

1??x′＝x，

38.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换?后的直

??y′＝2y线方程为()A.3x′－4y′＋1＝0C.9x′－y′＋1＝0

B.3x′＋y′－1＝0D.x′－4y′＋1＝0

1x＝3x′，??x′＝x，??

3得?1解析由伸缩变换?代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.

y＝y′，???y′＝2y?2答案C

??x′＝λ

9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：?

??y′＝μ

x（λ>0，λ≠1），y（μ>0，μ≠1）

作用下仍是其本身的点

为________.

??x′＝λ

解析设P(x，y)在伸缩变换φ：?

??y′＝μ??x＝λ

依题意得?

?y＝μ?

x（λ>0），y（μ>0）

作用下得到P′(λx，μy).

x，y，

其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.

答案(0，0)

10.已知实数x，y满足方程x＋y－4x＋1＝0，则x＋y的最大值和最小值分别为________.解析x＋y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为（2－0）＋（0－0）＝2，所以x＋y的最大值是(2＋3)＝7＋43，x＋y的最小值是(2－3)＝7－43.答案7＋43；7－43

1

x′＝x，??2

11.在平面直角坐标系中，求以下方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形.

1

??y′＝3y(1)5x＋2y＝0；(2)x＋y＝2.

1

x′＝x，??2??x＝2x′，

解(1)由伸缩变换?得?

?y＝3y′，1?

??y′＝3y，

将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.1x′＝x，??2

所以经过伸缩变换?后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.

1

??y′＝3y，

??x＝2x′，x′2y′2x′222

(2)将?代入x＋y＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即

111?y＝3y′?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

4

＋

92

y′2

2

9

＝1.

1x′＝x，??2x′y′

所以经过伸缩变换?后，圆x＋y＝2变成椭圆＋＝1.

121

?29?y′＝3y2

2

2

2

12.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处.求城市B处于危险区内的时间.

解以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)＋y＝30，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝402

＝202.求得|MN|＝230－d＝20(km)，故

2

2

2

2

2

|MN|

＝1，所以城市B处于危险区的时间为20

1h.

三、探究与创新

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

642

解(1)设曲线方程为y＝ax＋.

7由于D(8，0)在抛物线上，∴0＝a·8＋1

解得：a＝－.

7

1264

∴曲线方程为y＝－x＋.77(2)设变轨点为C(x，y).

2

64

，7

??100＋25＝1①

根据题意可知?

164

??y＝－7x＋7②

2

x2y2

得4y－7y－36＝0，

9

解得y＝4或y＝－(不合题意).

4

∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).∴C点的坐标为(6，4).|AC|＝25，|BC|＝4.

所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令.

二极坐标系

[学习目标]

1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性.2.把握极坐标与直角坐标的互化.3.把握极坐标系的简单应用.[知识链接]

1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点P的位置，这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更便利？

提醒直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，表达了数

2

形结合思想.在这里，应当使用角和距离刻画点P位置更便利.2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？

提醒平面上点的极坐标不是唯一的.假使限定ρ>0，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系.

3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？

提醒任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.

事实上，若ρ>0，则sinθ＝

，cosθ＝，

ρρ

2

2

2

yx所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x＋y，tanθ＝(x≠0).[预习导引]1.极坐标系的概念

(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；

自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(寻常取弧度)及其正方向(寻常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点

yxM的极坐标，记为M(ρ，θ).一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.

2.点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).

假使规定ρ>0，0≤θ0，－π0，0≤θ0，0≤θ

|AB|＝

1

?5ππ?4＋16－2×2×4×cos?－?＝20＝25.

3??6

1

5π

π

1

????S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝?2×4×sin?－??＝×2×4＝4.

3??222??6

1.极坐标系的概念

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.点的极坐标

每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.假使限定ρ>0，0≤θ0，sinθ＝

，cosθ＝，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x＋

ρρ

yx22

yy2，tanθ＝(x≠0).

x

1.极坐标?1，

??

2π?

?对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的()3?

B.其次象限D.第四象限

2π13

，∴x＝ρcosθ＝－，y＝ρsinθ＝，故它的直角322

A.第一象限C.第三象限

解析由题意可得ρ＝1，θ＝3??1

坐标为?－，?在其次象限.

?22?答案B

?2.点A的极坐标是?2，

?

A.(－1，－3)C.(－3，－1)

7π?

?，则点A的直角坐标为()6?

B.(－3，1)D.(3，－1)

77

解析x＝ρcosθ＝2cosπ＝－3，y＝ρsinθ＝2sinπ＝－1.

66

答案C

3.把点P的直角坐标(－3，1)化成极坐标为________(ρ>0，0≤θ0，

6θ∈[0，2π)时点M的极坐标为________，它关于极轴对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0，2π)).

π

解析ρ＝|OM|＝2，与OP终边一致的角为－＋2kπ(k∈Z).

6∵θ∈[0，2π)，∴k＝1，θ＝

11π?11π?，∴M关于极轴的对称点为?2，π?.

，∴M?2，???6?6?6??

?11π??2，π?答案?2，?6?6?????

一、基础达标

?7?1.点P的极坐标为?2，π?，则点P的直角坐标为()

?4?

A.(2，2)C.(2，2)

B.(2，－2)D.(－2，2)

解析x＝ρcosθ＝2，y＝ρsinθ＝－2.答案B

2.点M的直角坐标为?0，

??

π?

，则点M的极坐标可以为()2??

?π?A.?，0?

?2??ππ?C.?，??22?

解析∵ρ＝x＋y＝答案C3.以下各点与?2，

2

2

?π?B.?0，?

2??

π??π

D.?，－?

2??2

ππ?ππ?，且θ＝，∴M的极坐标为?，?.

22?22?

?