2021-2022学年上海市松江区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市松江区高一上学期期末数学试题一、填空题1．已知集合，，则___________【答案】【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.2．函数的定义域为______.【答案】【解析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.【详解】由，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：3．若，则=__________.【答案】2【分析】将对数式化为指数式，由此求得.【详解】由于，所以.故答案为：4．已知、是方程的两个根，则______．【答案】1【分析】利用根与系数关系求得正确答案.【详解】由题意得，所以．故答案为：5．设、为实数，比较两式的值的大小：_______（用符号或=填入划线部分）．【答案】【分析】利用作差比较法求得正确答案.【详解】因为，时等号成立，所以．故答案为：6．已知是奇函数，当时，，则的值为________．【答案】##1.5【分析】根据奇函数的定义求值.【详解】由题意.故答案为：．7．函数的严格减区间是_________.【答案】【解析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由可得，解得，即的定义域为，令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的严格减区间是.故答案为：8．已知函数，则不等式的解集为____【答案】（1，＋∞）【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x不等式，解之可得不等式的解集.【详解】因为，所以函数为奇函数，又，当时，，所以函数在时单调递增；当时，，所以函数在时单调递增，所以函数在R时单调递增.所以不等式化为，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【考点定位】本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.【解析】含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.10．对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】分离参数为，由基本不等式求得的最大值即得．【详解】由题意得恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为_______.【答案】【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标.【详解】设，线段的中点坐标为，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，因为点在函数的图像上，所以，，所以，所以，解得，所以点的横坐标为.故答案为：12．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．【答案】【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．二、单选题13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.C选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C选项正确.D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.故选：C14．已知函数可表示为1234则下列结论正确的是（

）A． B．的值域是C．的值域是 D．在区间上单调递增【答案】B【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.【详解】A.，所以该选项错误；B.由表得的值域是，所以该选项正确；C.由表得的值域是，不是，所以该选项错误；D.在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.故选：B【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.15．设、是实数，则“”是“且”的（

）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时不能推出且，例如，满足，此时但，当且同时成立时，，而，因此有，而，所以，即成立，因此题中应不必要非充分条件．故选：B．16．已知函数，若，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】由解析式易得的图象如下图所示，当时，，令，得或，因为，且，所以，所以，故选：D三、解答题17．已知全集，集合，．(1)求；(2)设集合，若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）因为，，，解得.，解得.所以，．所以．（2）因为或，由题意得或，解得或，所以实数a的取值范围是．18．已知函数．(1)证明：函数为偶函数；(2)证明：函数在区间上是严格减函数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据奇偶性定义证明；（2）根据单调性的定义证明．【详解】（1）因为，所以的定义域为，且．对于任意，因为，所以为偶函数．（2）当时，．

任取，且，

那么

因为，所以，，所以，即．

所以是上的严格减函数．19．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的下列数据：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．(1)当时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号汽车在200km的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)符合，且(2)此汽车以40km/h的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh【分析】（1）利用特殊值以及函数的单调性求得正确答案.（2）结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）选，理由如下：若，由得，由得；由得，矛盾，舍若，此时函数是减函数，，不符合题意；若，由，解得，，将代入，也符合．（2）汽车在的国道上行驶所用时间为，总耗电量为，由于，所以当时，

所以，此汽车以的速度行驶时，总耗电量最少，最少为.20．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的方程在上有解，求实数的最大值；(3)证明：函数关于点中心对称.【答案】(1)(2)最大值为(3)证明见解析【分析】（1）解分式不等式来求得不等式的解集.（2）通过求在上的值域来求得的取值范围，进而求得的最大值.（3）通过证明、都在的图象上来证得函数关于点中心对称.【详解】（1）的定义域为，因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，由，解得，所以不等式的解集为.（2）由题意得关于的方程在上有解，则的取值范围即在上的值域.因为，所以，所以，即，所以实数的最大值为.（3）在函数的图象上任意取一点，关于点的对称点，由得，即,把代入得,所以对称点在函数的图象上.即函数的图象关于中心对称.21．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；(2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；(3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案.（2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数.（3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围.【详解】（1）对任意，得，所以具有性质；对任意，得.易得只需取，则，所以不具有性质（2）设二次函数满足性质.则对任意，满足.若，取，，矛盾.所以，此时，满足，即为偶函数（3）由于，函数的定义域为R.易得.若函数具有性质，则对于任意实数